Loi de Laplace- — Laplace a fait connaître la valeur i
l'actioD mutuelle élémentaire qui s'exerce entre un élément de courant et un pOle magnétique.
Soit (fig. 24) ds un élément de courant ayant son
milieu en M, t l'intensité du courant, m ta masse d'un pôle magnétique placé
enP, r la distance PM, et ô l'angle de la direction du courant
avec le prolongement de PM. f/' ^g- 2*.
L'action du pâle sur ^élément du courant a pour valeur
h désignant une constante positive; celle action est perpendiculaire
au plan des deux droites PM et ds ; elle est dirigée vers la gauche ou vers la droite de Vobservateur d'Ampère^ suivant que la masse m est positive ou négative,
La réaction de Télément de courant sur le pôle est égale et directement opposée à «p; elle est, par conséquent, appliquée à Télément de courant et non au pôle P. C'est là une apparente
F anomalie, mais il faut remarquer qu'un élément de courant ne peut pas exister isolément ; cet élément de courant fait toujours partie d'un circuit fermé dont Faction totale doit passer par le pôle ; nous verrons plus loin que la loi de Laplace conduit, en effet, à une résultante de ce genre.
La force magnétique au point M du champ magnétique créé par le pôle P est égale à ^^ ; soit F cette force magnétique (fig. 25). Le produit F ds. sin^ représente Taire rfA du parallélogramme construit sur cette force F et sur l'élément ds ; on a donc
o = hi dk,
Convenons de remplacer l'unité CGS d'intensité, telle que nous l'avons définie au n^ 72, par une unité h fois plus grande, que nous appellerons unité électromagnétique CGS d^intensité. Nous remplacerons ainsi Tintensité électrostatique i par l'intensité électromagnétique
Fig. 25.
et nous aurons
o = I dk.
La loi de Laplace poyrra, grâce à ces conventions, s'énoncer de la manière suivante :
U action exercée par un pôle magnétique sur un élément de coU'
ÉLECTROMAGNÉTISME
rant est égale an produit de rintensité éleclromagnétique du courant par Fane du parallélogramme construit sur félé^ ment et sur la force magnétique émanant du pâle. Cette action est normale au plan du parallélogramme et dirigée vers la gauche ou ve7*s la droite de P observateur d* Ampère suivant que le pâle magnétique estpositifounégatif.
Fif?. 26.
77. Généralisation. — Soit AB (fig. 26) l'élément de "^ courant ds^ et abaissons du point A sur la force F la perpendiculaire
AK = ÂMsin 0 = -s d^ sin 6 ;
nous aurons
et
dk = 2. AK. F
o = I dA = 21. AK. F.
Or AK, F est le moment de la force magnétique F relativement au point A. On peut représenter ce moment par un segment de droite ^, perpendiculaire au plan (F, ds) et dirigé de manière qu'un observateur placé debout suivant ^^ les pieds en A, voie la force F entraîner le point M dans le sens du mouvement des aiguilles de la montre; le segment de droite ^ ainsi défini est parallèle à 'f et dirigé en sens contraire. Nous pouvons écrire
en sorte que la force électromagnétique <p est égale à deux fois le produit de F intensité électromagnétique du courant par le moment de la force magnétique F relativement à F origine A de F élément de courant ds.
Si Ton avait plusieurs pôles P agissant sur l'élément de cou-
rant, les forces électromagnétiques ç correspondantes se composeraient comme les moments des forces magnétiques F relatifs au point A. En désignant par W le moment résultant et par O l'action totale, on aura
Représentons par dû Taire du parallélogramme construit sur l'élément ds et sur la résultante des forces magnétiques F ; nous aurons
dQ = 2V, et, par conséquent,
La loi de Laplace peut donc se généraliser de la manière suivant : VcLCtion exercée par un champ magnétique sur un élément de courant est égale au produit de Vintensité électromagnétique du courant par Faire du parallélogramme construit sur Vêlement et sur la force magnétique du champ. Cette action est normale au plan du parallélogramme et dirigée vers la gauche de fobservateur d'Ampère regardant dans la direction du champ.
Prenant trois axes rectangulaires, désignons par x, y, z les coordonnées du milieu M de l'élément ds^
par a, p, y les cosinus des angles que la direction du courant fait avec les trois axes,
par I rintensité électromagnétique du courant, par y le potentiel du champ magnétique,
et par Ç, t), 2^ les trois composantes de l'action du champ sur l'élément de courant.
Nous aurons :
, - /ÔV dV \
78. Action d'un courant rectiligne indéfini. — Cherchons raction totale exercée par un courant rectiligne indéfini , d'intensité magnétique I, sur un pôle magnétique de masse m, que nous supposons positif pour fixer les idées.
ÉLECTROMAGNÉTISME
Prenant la position 0 de ce pôle (fig. 27) pour origine des coordonnées, dirigeons Taxe des z parallèlement au courant et dans
Fig. 27.
le même sens; faisons passer le plan des zx par le courant luimême et désignons par a la distance du pôle au courant. Pour un élément de courant ds^ pris au point quelconque M, l'action exercée sur le pôle 0 est perpendiculaire au plan des xz et toujours située d'un même côté de ce plan ; prenons Taxe OY parallèlement à cette action et dans le même sens. Il est clair que les actions partielles, toutes parallèles et de même sens, donneront une résultante unique ; en groupant les éléments ds par couples correspondant à deux points M et M', symétriques relativement à OX, on voit que Taction résultante passera par 0 ; elle se dirigera donc suivant OY.
La projection sur OY de l'action cp exercée par Télément ds correspondant au point M est d'après la loi de Laplace,
om I ds
r désignant la distance OM ; on trouve le même résultat pour l'action exercée par l'élément ds pris en M' ; en faisant la somme de ces deux projections on trouve
A 2 ami ds
L'action totale cherchée est par conséquent
F = — 2 am I
s désignant la distance PM .
En désignant par 8 l'angle MOX, on a
5=atgO, ds = -^d%, r = --''
cos* 6 ' cos 0
et, par conséquent,
cos 6 d 6 =
De là la loi suivante que Biot et Savart ont découverte par l'expérience :
L'action cTun courant rectiligne indéfini sur un pâle magnétique est proportionnelle à la masse magnétique^ proportionnelle à tintensité du courant et inversement proportionnelle à la distance du pôle au courant. Cette action est perpendiculaire au plan du pôle et du courant; elle est dirigée vers la gauche ou vers la droite de r observateur d^ Ampère suivant que le pôle magnétique est positif ou négatif,
79. Potentiel magnétique du courant* — La translation du pôle magnétique 0 parallèlement au courant ne modifie ni la direction, ni l'intensité de la force F; cette force ne dépend que de la projection du pôle magnétique sur un plan perpendiculaire au courant.
Transportons Torigine des coordonnées sur la trace horizon-
ÉLECTROMAGNÉTISME
taie P du courant (fig. 28), conservons la direction de l'axe des z et prenons arbitrairement celle de Taxe des x.
En désignant par a: et y les coordonnées du pôle magnétique
Fig. 28.
0 relativement à ce nouveau système d'axes rectangulaires, nous trouverons pour valeurs des trois composantes de la force F
X = 2ml
En posant
nous aurons
V = 21 arc tg ^,
dV ■„
dV
par conséquent, Faction d'un courant sur un pôle magnétique admet un potentiel. En désignant par u l'angle XPO on a
V = 2 1 u + constante.
Le second membre doit nécessairement contenir une constante arbitraire, attendu que la direction de Taxe OX, à partir duquel Tangle u est compté dans le sens du mouvement des aiguilles de la montre, a été prise arbitrairement. Si le pôle magnétique P décrivait un élément de trajectoire dans le plan XOY, le travail de la force F serait égal à — mrfV, en désignant par rfV l'accroissement correspondant du potentiel Y ; si Ton faisait décrire à P, dans le sens du mouvement des aiguilles de la montre, une circonférence ayant son centre en 0, le travail de la force F serait égal à — iwnly en sorte que le potentiel V prendrait un accroissement égal à iiTzml ; cette observation montre que le potentiel de l'action magnétique du courant ne peut pas être une fonction complètement déterminée des coordonnées du point P.
Menons par le point 0 une droite OX^ parallèle à PX, mais en sens contraire ; langle POXj, égal à XPO, mesure Tangle dièdre des deux plans verticaux dont les traces horizontales sont OP et OXj. Cet angle dièdre découpe sur une sphère, de rayon égal à Tunité ayant son centre en 0, un fuseau sphérique dont l'aire est égal au double de l'angle POX,, c'est-à-dire à la valeur absolue de 2u; or ce fuseau sphérique représente la surface apparente o), pour le point 0, du demi-plan vertical qui, passant par zz\ serait limité à cette droite et contiendrait le prolongement de Taxe PX. Nous avons, par conséquent,
V = I w + coDstanle
Comme la direction de PX est arbitraire, il en est de même de celle du demi-plan dont nous avons représenté la surface apparente par co ; par conséquent : Le potentiel magnétique d'un courant rectiligne indéfini estj pour un point quelconque de tespace^ égal (à une constante arbitraire près) au produit de fintensité du courant par la surface apparente j pour ce points dun demi-plan quelconque passant par le courant.
Il faut toutefois, pour que ce théorème soit exact, que Taccroissement infinitésimal de la surface apparente co soit positif lorsque le pôle 0 tourne infiniment peu autour de Ta^re PZ, en allant de la droite vers la gauche de l'observateur d'Ampère qui se tournerait vers lui; de là la nécessité d'affecter cette surface apparente d'un
ÉLECTROMAGNÉTISMK
IH
signe conventionnel. Supposons que Tobservateur d'Ampère se tourne de manière à regarder l'horizon du demi-plan considéré ; ce demi-plan aura une face du côté gauche de Tobservateur et une autre face du côté droit ; la convention à faire est d'attribuer à la surface apparente co le signe + ou le signe — suivant que la face du demi-plan qui est vue du point 0 est la face gauche ou la face droite.
80. Plusieurs courants indéfinis parallèles. — Considérons un système de plusieurs courants indéfinis parallèles entre eux. Leur champ magnétique aura des surfaces de niveau cylindriques dont les trajectoires orthogonales seront ses lignes de force.
Coupons ce champ magnétique par un plan perpendiculaire aux courants et traçons dans ce plan (fig. 29) deux axes rectangulaires OX, OY.
Désignons par a:n, y^ les coordonnées de la trace 0. d'un des courants, par In l'intensité de ce courant affectée du signe + ou du signe — suivant qu'il est ascendant ou descendant,
par ar, y les coordonnées d'un point quelconque P, et par r^ la distance On P.
La force Fn correspondante au point P est perpendiculaire à
Oa P et est égale à -^ . Faisons-la tourner d'un angle droit, dans le sens des aiguilles de la montre, de manière qu'elle vienne se placer sur la droite On P ; ses projections deviendront
Fig. 29.
*-■—'**- — ZTt — »
comme s'il s'agissait de l'action exercée en P sur l'unité de masse matérielle par une masse matérielle (positive ou négative) 21^ la repoussant en raison inverse de la distance r^.
Faisons de même pour chacun des courants; la résultante de toutes les forces F„, après leur rotation, sera la force totale du champ des courants au point P, laquelle aurait tourné d'un angle droit dans le sens des aiguilles de la montre ; les projections de cette force seront
X = 2 X. = 2 2 1. "LZ-Il
elles sont égales aux deux dérivées partielles changées de signe de la fonction
<ï» = — 2 2 1, log. nép. r„
Le système des lignes enveloppes des forces (X, Y), perpendiculaires aux résultantes des forces F», se confond géométriquement avec le système des courbes de niveau du champ magnétique des courants donnés ; les trajectoires orthogonales des forces X, Y sont les enveloppes des lignes de force de ce champ magnétique et ont pour équation
2 I. log nép. r. = constante
La figure 30 représente le champ magnétique d'un système de trois courants indéfinis, de même sens et de même intensité, dont les traces M|, M,, M, occupent les sommets d'un triangle isocèle. Les lignes fermées sont les lignes de force du champ et les lignes à branches hyperboliques en sont les courbes de niveau.
L'équation des lignes de force est
(y» — 3 ic» y + 3 y + 14)« + {x^ ^^ x y^ ^ Z x)^ =r constante ,
ces lignes de force sont des cassinoïdes homofocales du sixième degré. Les courbes de niveau sont des stelloïdes cubiques convergentes qui ont pour équation
— 3 5 — 2« — (Constante.
On a pris pour unité de longueur la moitié du rayon OM, du
ÉLECTROMAGNÉTISME
cercle circonscrit au triangle isocèle Mi Ms M3 dont les trois sommets ont pour coordonnées
( Vi =-2 ( y, = 1 ( y, = 1.
«• >if* î
t ««Vit
Les points du champ pour lesquels la force magnétique s'annule (points neutres du champ) sont les points nodaux communs à certaines courbes de niveau et à certaines lignes de force; on les détermine en annulant X et Y ou, ce qui revient au même, en annulant le binôme X — Y y^^^. En recourant aux coordonnées affixes
2 = oî + y v^— 1
TBAITÉ PRATIQUE D'éLECTRICITé.
ii4 TRAITÉ PRATIQUE D'ÉLECTRICITÉ
pour le point mobile P et
pour le point fixe On, on trouve
L'équation obtenue en égalant à zéro le numérateur du second membre, après avoir fait la somme des fractions simples réduites au même dénominateur, est du degré (;? — 1), /? désignant le nombre des courants ; il y a, par conséquent, (jt? — 1) points neutres.
Dans le cas particulier auquel correspond la figure 30, il y a deux points neutres J^ et Js dont les coordonnées affixes sont les racines de Téquation
+ .^— , r+ . rr— ,-===0;
S + 2 v^— 1 s — ^6 — v^— 1 :: + yfb^ V— 1
cette équation se réduit à
on a par conséquent,
OJ, = OJ, = 4- OMj.
8i. Electromagnétisme calculateur. — Nous pouvons faire ici une remarque analogue à celle du n® 70. Etant donnée une équation algébrique quelconque
à coefficients réels et du degré p, on pourrait demander à l'électromagnétisme d'indiquer ses racines.
Traçant sur une feuille non conductrice, de papier ou de verre, deux axes rectangulaires, prenons, sur Taxe des a:, {p + i) points arbitraires ayant pour coordonnées affixes
et posons
F(*) ^{l'-z^^iZ'-z^) (s — Zp + ,).
ÉLEGTROMÂGNETISME 115
La formule de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples donnera
Les paramètres [Xg, positifs ou (négatifs^ sont déterminés par des formules telles que
„ -. ? (O ? fa) , ^ " T (zj "■ F (a?.) '
leur calcul numérique sera surtout facile si Ton a eu soin d'adopter pour Xiy Xif..* des valeurs entières telles que
Cela posé, faisons passer par chacun des points marqués sur Taxe des x un courant indéfini, perpendiculaire au papier, ascendant ou descendant suivant que [jLq est positif ou négatif et ayant une intensité proportionnelle à jx^. Les points neutres du champ magnétique de ce système de courants seront les points-racines de Téquation proposée
On obtiendra leur indication en répandant de la limaille de fer sur la feuille de papier et marquant les points nodaux du spectre magnétique ainsi obtenu.
Soit, par exemple, l'équation du troisième degré
prenons sur Taxe des x les points
Sj = a?, = — 1, z, = Xj = 0, Zj = ar, = 1, z^ = a?^ = 2
et formons le polynôme
nous trouverons
Hi = y » f^i = -fi » f^3 = — "6 ' ^* - y
Les courants à employer seront ascendants pour les points de Taxe des x dont les numéros d'ordre sont 1, 2 et 4 et descendants pour le point 3 ; leurs intensités seront proportionnelles aux nombres 29, 39, 25 et — 4S. Les points neutres du champ magnétique seront
Pour obtenir la proportionnalité des intensités des courants aux nombres 29, 39, — 45 et 25, on pourrait établir entre deux points A et B du circuit extérieur d'une source d'électricité un circuit multiple composé de quatre fils conducteurs ayant des diamètres égaux avec des longueurs inversement proportionnelles aux nombres dont il s'agît.
L'expérience est assez difficile à réaliser, parce que, pour obtenir des spectres magnétiques de quelque étendue au moyen des courants rectilignes, il faut donner à ces courants des intensités considérables. J'ai pu constater, grâce à l'obligeance de la maison Breguet, qu'un courant de 35 ampères passant dans un fil de cuivre de 3 millimètres de diamètre, traversant une feuille de papier perpendiculaire à sa direction, n'agit sensiblement sur la limaille de fer répandue sur cette feuille que dans un rayon'd'environ 3 centimètres.
82. Potentiel magnétique d'un courant fermé. — Si l'on considère un courant recliligne indéfini comme se fermant à l'infini dans un demi-plan quelconque passant par son axe, on peut donner à son potentiel (n** 79) la définition suivante : le 'potentiel magnétique dH un courant rectiligne indéfini^ pour un point quelconque de F espace^ est égal [à une constante près) au produit de F intensité de ce courant par sa surface apparente pour le point considéré. Cette notion d'un potentiel magnétique et sa définition peuvent se généraliser et s'étendre à un courant fermé quelconque.
Considérons d'abord (fig. 31) deux courants rectilignes indéfinis AA' et BB', ayant la même intensité I et se coupant en un point 0 ; le système de ces deux courants donnera, pour un point quelconque P de l'espace (projeté [en P' sur la figure), un poten-
ÉLECTROMAGNÉTISME
tîel égal à la somme algébrique de leurs potentiels respectifs. Considérons les deux courants comme se fermant dans le demi-plan de droite de la figure; leurs surfaces apparentes relativement à P sont de signes contraires, en sorte que leur somme algébrique se réduit à la somme des surfaces apparentes des deux espaces angulaires AOB' et A'OB.
La première de ces surface apparentes est négative et représente le potentiel du courant angulaire AOB'; la seconde est positive et représente le potentiel du courant angulaire BOA'; il est clair, d'ailleurs, que le système de ces deux courants angulaires équivaut au système des deux courants rectilignes donnés.
MM. Mascart et Joubert, dans leurs Le* çons sur t Electricité et le ifa^n^/i^me publiées en 1882, concluent de là que le potentiel dtin courant angulaire est égal, à une constante près^ au produit de son intensité par sa surface apparente au point P. L'observateur d'Ampère, regardant vers Tintérieur de Fangle, détermine la face gauche et la face droite de son plan ; la surface apparente est positive ou négative suivant que, du point P, on voit la face gauche ou la face droite. Cette démonstration n'est pas complètement rigoureuse, car le raisonnement sur lequel elle repose s'applique au système de deux courants angulaires opposés par le sommet et non à un seul de ces courants ; elle doit être considérée comme intuitive et acceptée seulement comme postulatum.
Considérons, en second lieu, un courant triangulaire abc (fig. 32). Il est équivalent au système des trois courants rectilignes indéfinis AA^ BB', CC, accompagné du système des trois courants angulaires A'cB, C'6A et B'aC; la somme algébrique des potentiels de ces six courants relativement à un point quelconque P de l'espace, projeté en P' sur la figure, donnera le potentiel du courant abç. On en conclut aisément que le potentiel d'un courant triangulaire est égaly à une constante prèsy au produit de rintensité électro-magnétique de ce courant par sa surface appa-
rente relative au point P. On donne à cette surface apparente le signe + ou le signe — suivant que la face plane, vue du point P,
Fig. 32.
est la face gauche ou la face droite du plan pour l'observateur d'Ampère regardant vers Tintérieur du triangle. Il est évident que ce théorème s'étend à un courant polygonal
plan ou gauche, qui peut toujours être regardé, comme l'indique la figure 33, comme résultant de la superposition de courants triangulaires. En supposant que le nombre des côtés |du polygone augmente indéfiniment, de manière à produire une courbe plane ou gauche, on étend le théorème dont il s'agit à tout circuit fermé. Par conséquent : Le potentiel dvn courant fermé quelconque esi igalj à une constante près ^ au produit de l'intensité électro-inagnétique de ce courant par sa surface apparente vue du point P. L'observateur d'Ampère couché dans le courant et regardant vers l'intérieur
ÉLECTROMAGNÉTISME 119
du circuit, attribue une face gauche et une face droite à la surface conique qui aurait pour sommet un point quelconque du périmètre et pour directrice le périmètre lui-même ; la surface apparente est positive ou négative suivant que, du point P, on voit la face gauche ou la face droite.
83. Equivalence d'un courant fermé et d'un feuillet magnétique. — Soit ^ la puissance magnétique d'un feuillet et û sa surface apparente pour le point P ; le potentiel de ce feuillet sera (n® 26)
la surface apparente û doit être affectée du signe + ou du signe — suivant que, du point P, on voit la face positive ou la face négative du feuillet.
Supposons que le contour limite du feuillet devienne un fil conducteur parcouru par un courant dlntensi té électromagnétique I dans un sens tel que, pour Tobservateur d* Ampère regardant vers l'intérieur, la face positive de ce feuillet soit à gauche ; le potentiel magnétique de ce courant fermé sera
Vc = 1 0 4- constante.
Si donc nous supposons que l'on ait
les deux potentiels V^ et Ve ne pourront différer que par une constante. Les dérivées partielles de ces deux potentiels seront les mêmes pour un point quelconque de l'espace, en sorte que la force magnétique en ce point sera la même pour le feuillet et pour le courant. De là ce célèbre théorème d'Ampère :
L'action magnétique du feuillet et celle du courant passant par son périmètre sont équivalentes.
Maxwell a indiqué une règle très pratique pour trouver la corrélation entre le sens du courant et le sens de l'aimantation du feuillet équivalent. Si Fon enfonçait un tire-bouchon dans la surface feuillet^ de manière à le faire avancer dans le sens de r aimantation (de la face sud ou négative vers la face nord ou
positive), le sens de la rotation de ce tire-bouchon serait précisément le sens du courant,
L^équivalence de l'action magnétique du courant et de celle du feuillet existe pour un point quelconque pris à Textérieur du feuillet ; elle cesse d'exister pour un point intérieur. Considérons, en effet, dans le champ magnétique du courant, un tube de force traversant le feuillet ; le flux de force émanant du courant est constant sur tout le parcours de ce tube, tandis que le flux de force émanant du feuillet varie brusquement à sa traversée parce qu'il englobe une masse magnétique agissante. Si à la force magnétique provenant du feuillet on substitue son induction, la discontinuité disparait (n^ 30) ; il n'existe aucune différence entre le flux d'induction du feuillet et le flux de force du courant. Le théorème de Gauchy peut donc s'énoncer sans aucune restriction sous la forme suivante :
L'induction du feuillet et la force magnétique du courant passant par son périmètre sont identiques.
Le potentiel du feuillet est une fonction complètement déterminée des coordonnées du point auquel il se rapporte {n? 26) ; si donc l'unité positive de masse magnétique, partant d'un point quelconque de l'espace, revient à son point de départ apr^s avoir suivi n'importe quelle trajectoire, le travail correspondant de la force magnétique sera identiquement nul, alors même que la trajectoire traverserait une ou plusieurs fois le feuillet. Si, au lieu de la force magnétique, nous considérons l'induction du feuillet, le travail de cette induction reste nul lorsque la trajectoire ne traverse pas le feuillet, puisque l'induction s'identifie alors constamment avec la force magnétique; lorsqu'au contraire la trajectoire traverse le feuillet, le travail de l'induction s'obtient en ajoutant au travail nul de la force magnétique le travail qu'une force additionnelle, égale et parallèle à l'intensité d'aimantation, effectue pendant la traversée (n® 29) ; ce travail a pour valeur rt 4t:^, suivant que la traversée a lieu dans le sens de l'intensité d'aimantation ou en sens contraire. Puisque l'induction du feuillet s'identifie constamment, dans tous les cas, avec la force magnétique du courant d'intensité I = $, nous voyons que, pour un parcours quelconque ramenant finalement l'unité positive de masse
ÉLEGTROMAGNÉTISME
magnétique à son point de dépari, le travail de la force magnétique du courant est égal à
ih 4ir n I,
n désignant Fexcës du nombre des traversées dans le sens de la face gauche du courant vers sa face droite sur le nombre des traversées en sens inverse ; le potentiel magnétique du courant prend, par conséquent, Taccroissement =b 4iml.
84. Cylindre électromagnétique. — Ampère a donné le nom de cylindre électromagnétique à un système de courants circulaires égaux, parallèles et équidistants.
On peut réaliser cette conception en reliant les cercles entre eux par des segments de droite parallèles à Taxe du cylindre (fig. 34) ; pour détruire l'effet de ces bouts de droite et suppléer à l'absence de petits arcs circulaires, on n'a qu'à ramener ensuite le fil de sortie sur le fil d'entrée, en le repliant sur lui-même et lui faisant suivre, à la surface du cylindre, r hélice qui passe par les milieux des segments de droite. Il est clair, d'ailleurs, que les cercles successifs étant très voisins, on peut remplacer l'enroulement discontinu qu'indique la figure par un enroulement hélicoïdal continu, de manière à obtenir une bobine cylindrique.
Comme chacun des courants circulaires peut ôtre remplacé par un feuillet magnétique plan équivalent, le système équivaut à un cylindre aimanté uniformément dans le sens de son axe. En désignant par e l'épaisseur d'un feuillet égale au pas de l'hélice, *par 9- la densité superficielle sur la base positive du cylindre et par I l'intensité du courant, nous aurons
On peut remplaber e par le rapport — de la longueur / du cylindre au nombre n des spires ; on trouve alors
Fig. 34.
OU, ce qui revient au même,
a = Wi I,
en représentant par n^ le nombre des spires enroulées sur Tunité de longueur du cylindre.
La force magnétique du système des courants en un point extérieur quelconque est identique avec la force magnétique du système des feuillets. Elle provient uniquement des masses magnétiques égales et de noms contraires qui sont distribuées uniformément sur les deux bases du cylindre. Si Ton désigne par S la section droite de ce cylindre, la valeur absolue de la masse magnétique totale d une de ses bases est
S (T = «i IS.
Quant à la force magnétique du système des courants en un point intérieur au cylindre, elle s'identifie avec Tinduction du cylindre aimanté uniformément. Si le cylindre est très long, de manière que l'action de chacune de ses bases soit négligeable sur un point intérieur pris vers le milieu de la longueur, l'induction est dirigée parallèlement à Taxe du cylindre, dans le même sens que l'intensité d'aimantation uniforme a- ; elle a pour valeur
4ira = iicwi I,
dans toute l'étendue de la section droite. Le flux correspondant traversant la section S est
4icn| I S.
Un cylindre électromagnétique se comporte comme un aimant dont les pôles seraient rigoureusement situés sur ses bases. Placé dans le champ terrestre, il subit la même action directrice qu'une aiguille aimantée.
85. Tore électromagnétique. — Un système de courants circulaires de même rayon et de même sens, disposés de manière que leurs plans passent tous par un axe 0 (fig. 35) et qu'ils interceptent des arcs égaux sur une circonférence passant par leurs centres et coupant normalement leurs plans, constitue un tore électromagné-
ËLEGTROMAGNËTISME
tique. On peut réaliser ce système en enroulant un fil sur la surface d'un anneau et ramenant le bout de sortie sur le bout d'arrivée, de manière à obtenir une bobine annulaire.
-BJ.
Fig. 35.
En remplaçant les courants circulaires par des feuillets plans équivalents, analo^es à celui qu'indiquent les hachures voisines du segment de droite AB, on voit que les faces de noms contraires des feuillets successifs se neutralisent mutuellement, en sorte qu'il n'y a pas de magnétisme libre ; ee système est, par conséquent, sans action à Fextérieur.
Sur un point intérieur quelconque, la force magnétique du système de courants s'identifie avec Finduction du système de feuillets ou, en d'autres termes, avec l'induction de l'anneau aimanté solénoïdalement par filets circulaires normaux à l'axe 0 et centrés sur cet axe. Désignons par n le nombre des courants circulaires,
par e la distance de deux courants successifs, comptée sur la circonférence qui passe normalement par leurs centres, par R le rayon de cette circonférence moyenne, et par I l'intensité du courant, nous aurons
n £ = 2iîR ;
rintensité d aimantation en un point pris sur la circonférence de rayon R sera
L — JlL .
r induction correspondante sera
" s "" Il '
Si le rayon des courants circulaires est petit relativement à R, on peut regarder la valeur de l'induction comme constante en chaque point intérieur ; le flux d^induction correspondant à la section droite S de l'anneau est alors
2nl|.
Dans le cas contraire , la valeur de l'induction en un point intérieur dépend de la distance x de ce point à l'axe 0 ; l'épaisseur du feuillet en ce point est^ en effet,
l'intensité d'aimantation correspondante est
et l'induction a pour valeur
4i: — - 4r — — — — • " e, £ j: aï '
le flux d'induction relatif à la section droite S de l'anneau est alors représenté par l'intégrale définie
86. Aimantation par les courants. — Du moment que les courants électriques donnent naissance à des champs magnétiques,
ÉLECTROMAGNÉTISME 125
ils peuvent être employés pour obtenir Faimantation temporaire du fer doux. On obtient ainsi des électro-aimants.
Introduisons un barreau de fer doux très allongé dans Tintérieur d'un cylindre électromagnétique indéfini, de manière que Taxe du barreau coïncide avec celui du cylindre. Faisons passer dans la bobine un courant d'intensité I. Le barreau de fer doux se trouvera placé dans un champ magnétique uniforme parallèle à son axe ; il prendra par conséquent une aimantation temporaire uniforme (n^ 36). L'intensité du champ étant (n* 84)
Tintensité de l'aimantation temporaire sera
& A = iitn^ k I ;
elle dépend du nombre des spires par unité de longueur, mais elle est indépendante du périmètre d'une spire. On a, pour ce motif, intérêt' à rendre la longueur des spires aussi faible que possible, pour diminuer la résistance de la bobine et, par suite, la dépense d'énergie sous forme de chaleur ; c'est pourquoi il convient d'enrouler directement le fil sur le barreau. La valeur de l'induction en un point intérieur au barreau est
B = 4i:ni I + 47r x 4iînj & I = 47cn, jx I = [x A
La position des pôles relativement au courant se détermine par la règle qu'a indiquée Ampère ; le pôle nord est à gauche du courant, c'est-à-dire à gauche de l'observateur d'Ampère placé sur la spire correspondant au milieu du barreau.
Si l'on enroulait successivement, suivant la longueur du barreau diverses bobines alternativement dextrorsum et sinistrorsum, on aurait autant de points conséquents^ ou systèmes de deux pôles voisins de noms contraires, qu'il y aurait d'inversions dans le sens du courant.
En enroulant un tore électromagnétique autour d'un anneau de fer doux et faisant ensuite passer un courant, on peut obtenir un aimant annulaire décomposable en solénoïdes fermés concentriques. Un aimant de ce genre est sans action à l'extérieur. Si le rayon des spires est petit relativement à celui du tore, l'intensité
du champ magnétique inducteur en un point intérieur quelconque a sensiblement la valeur constante
A = 4Ttn| I
Ui désignant, comme dans le cas du cylindre, le nombre de spires
par unité de longueur; Tintensité d'aimantation correspondante
est
4icn| h I,
et la valeur totale de Tinduction est
B = jx A = 4icn, (JL I.
Considérons maintenant un fil de fer enroulé en hélice autour d un tube isolant (de verre, par exemple), et faisons passer un courant dans un fil de cuivre traversant ce tube ; l'action magnétique de ce courant en un point du fil de fer sera tangentielle à
la spire et égale à —, a désignant le rayon de Thélice. En présence de ce champ magnétique, le fîl de fer deviendra un filet solénoïdal, dont les extrémités seront seules chargées de magnétisme libre, en quantités égales et de noms contraires.
87. Unités électromagnétiques. — La formule élémentaire de Laplace nous a conduits à remplacer la valeur de l'intensité i d'un courant électrique par une valeur proportionnelle
Nous avons démontré que cette nouvelle valeur I est égale à la puissance magnétique ^ du feuillet équivalent au circuit fermé ; on a, par conséquent,
d'où
Or, l'unité symbolique d'intensité t est
Ll«"M«"T"'J
ÉLECTROMAGNÉTISME 127
et celle de puissance magnétique ^ est
