COEFFICIENTS MOYENS DE DILATATION

On appelle coefficients moyens de dilatation linéaire d'une substance, la quantité dont l'unité de longueur, le mètre, par exemple, de cette substance se dilate pour l® du thermomètre entre 0» et 100«. Le coefficient moyen superficiel de dilatation serait l'accroissement en surface de un mètre carré de cette substance, et son coefficient cubique serait Taccroissement en volume de un mètre cube.

En mesurant la dilatation de plusieurs corps, on a remarqué que chacun se dilatait d'une manière particulière et que les dilatations de chacun d'eux, entre la température de la glace fondante et celle de l'eau bouillante, étaient proportionnelles au nombre de degrés indiqué par le thermomètre à mercure ; c'esUà-dire que si le plomb, par exemple, se dilate de a pour lO», il se dilatera de 2a pour 20<>, les dilatations sont croissantes dans les températures supérieures et d'une manière irréguliére.

RÉGULATION 623

Tableau donnant les dilatations de quelques corps ddy* à 100<^

Acier non trempé. . 0,0010791 Fer fondu 0,0011000

Argent de coupelle . 0,0019097 Zinc 0,0088400

Cuivre 0,0017173 Or 0,0014661

Laiton 0,0018782 Platine 0,0008565

htain 0,0021730 Plomb ....... 0,0028484

Fer doux forgé . . . 0,0012205 Verre de St-Gobain . 0,0008909

Si nous admettons que les dilatations des corps sont proportionnelles à la température, il sera facile d'établir les relations entre les dimensions d*un corps à 0^ et ses dimensions à une tem^ pérature quelconque.

Soit / la longueur d'un corps quelconque cylindrique ou prismatique à la température de O^, soit d le coefficient moyen linéaire de dilatation de la matière dont il est formé.

La dilatation de 1 mètre pour IS celle de la longueur i" sera dx l aussi pour 1» et pour t^, elle sera de Idt; en ajoutant cette dilatation à la longueur primitive i, on aura la longueur finale à t^ ; d'où en appelant /' cette nouvelle longueur, nous aurons l'=zl 4- Wi = / (1 -j- dt) (1) formule qui servira à faire déterminer l'une des quatre quantités quand on connaîtra les trois autres. S'il s'agit, par exemple, d'établir la relation entre la longueur / d'un corps à la température t et la longueur /' qu'il acquerrait à la température f , on remarquerait que, en désignant par L la longueur de ce même corps à 0^ l'équation (1) donnerait pour le même corps aux températures t et f : l = L (i + dt) i, l' =: L ii+dt) ,, . l L(l+^0 l i+dt ,^,

^^" T = L{i + dn ^" T=T+dr (-)

Cette relation fera connaître la longueur d'un corps à une température donnée, lorsqu'on donnera sa longueur à une autre température également donnée.

Détermination des coefficients moyens de dilatation superficielle et cubique. — En appliquant les formules 1 et 2 de la dilatation linéaire, on pourra établir en désignant par s une surface à 0** et par s' sa surface à la température t', s' = s {i + ft) (3) f représentant le coefficient de dilatation de surface. De même pour le volume v' ■=^v {i •{• ht), h étant le coefficient cubique.

Pour trouver la valeur des coefficients f et h, on remarquera

d'abord que les deux surfaces «' et s sont semblables et qu'elles

sont entre elles comme les carrés des lignes homologues d'où

s P — = =5 , si dans cotte équation à la place de s' et l' on met leurs

valeurs des formules (1) et (3) ; on aura i-\-ft=zi -|- (d«)*, d'où en développant, il vient i + fC ^=z i + 2dt + (P t*; mais la quantité r/ étant toujours une fraction très petite, surtout pour les corps solides, on pourra donc négl iger le terme d^ t* de Téquation précédente, ce qui la réduit à f=2d (4). On établirait le même calcul pour trouver le coefficient cubique, car \'=zv {{+dt)cil' = 1 (i-^ dt);

V l^ mais — = -p- en remplaçant v' et /' par leur valeur et en supprimant d^ t^ il vient h = 3d (5). Connaissant le coefficient moyen de dilatation linéaire d'une substance, il suffit donc de le doubler pour avoir le coefficient superficiel et de le tripler pour avoir le coefficient cubique. On voit ainsi que la connaissance de la dilatation linéaire suffit pour résoudre les problèmes que Ton peut se poser sur les variations superficielles et cubiques déterminées dans les corps par les diverses températures auxquelles ils peuvent être soumis et que Ton peut employer à ces sortes de calculs le moyen des trois équations (^) P =: l {i + dt (6) s' =: s (1 -j- 2dt) (7) v' = v (1 + 3d^) ; mais il ne faut pas oublier que lorsqu'on établit que la dilatation superficielle d'un corps est le double de la dilatation linéaire et que la dilatation cubique en est le triple, on doit entendre que Tunité de surface ou de volume prise à zéro reçoit pour chaque degré de l'échelle thermométrique un accroissement dont la valeur est double ou triple du nombre qui exprime la dilatation linéaire : considéré comme un nombre qui représenterait une surface ou un volume. Par exemple, pour le zinc ou trouve à peu près d = 0,00003; c'est-àdire que pour un mètre et pour un degré, le zinc se dilate de 0^,00003, le mètre carré se dilatera du double ou 0«,000000 et le mètre cube du triple ou 0°*,000090 ce qui exprime 60 millimètres et 90 millimètres cubes. La formule 2 pourra être également appliquée aux dilatations de surface et de volume en y remplaçant d par 2 dei par 3 d.

Applications namériques des formules relatives à la dilatation des solides. — i^ La longueur d'une tige de fer à 0^ est égale à 1™,75 quelle sera sa longueur à 15**. La formule (1) donne l' =: i",75 (1 + 15 X 0,000012205) = 1«",75032.

2® La longueur d'une tige de cuivre à 15** est égale à 1 mètre, quelle serait sa longueur à 0®.

/ — 1 — QIB Q4Q749

3» La longueur d'une tige de platine à 15® est égale à 1 mètre, quelle sera sa longueur à 100®. La formule (2) donne :

(1 + 0,000008565) 100 * - (1 + 0,000008565) 15 "" * ,wu/^/

4'» Trouver le rayon d'une sphère de cuivre à la température de \0Q^, lorsque Ton sait que sa valeur à 0° est égale à 5 centimètres. La formule 5 donne /' = 5 (1 + 0,000017173 x 100 = 5,0085865. La surface de la sphère à 0*» est égale à 4ir/* ou 4tc5* ou enfin 314,15926. Pour trouver ce qu'elle devient dans les mêmes circonstances, la formule (6) s' = 4ico* (1 + 2 x 0,000017173 x

100) = 315,2382716. Le volume de la sphère à 0<» V — -i ^'*

= 523,5987761. Pour trouver ce qu'il devient à lOOS la formule (7)

donne V = y ttS^ -f 3 x 0,000017173 x 100 = 526,2963046.

Applications des principes précédents à quelques exemples industriels. — Dans toutes les constructions industrielles, chemin de fer, machines, etc., la connaissance des coefficients représentant les dilatations et les contractions des divers corps employés dans la construction est très utile. Dans les machines, les cylindres fêlés peuvent être ramenés à leur dimension primitive à l'aide de frottes chauffées à une certiiinc température que Ton emmanche à chaud ou que Ton réunit à l'aide de boulons et qui par leur contraction ramènent les parties écartées à leur vraie dimension. Il faut donc aussi craindre la déformation de ces mêmes pièces dues à la dilatation et laisser le jeu nécessaire pour permettre librement cette dilatation l'irrégularité de l'épaisseur de la matière donne également lieu à ces mêmes déformations, à ces mêmes inconvénients ; pour les tiges des tiroirs, l'allongement peut faire varier la régulation. Ce qui existe à froid est donc modifié à chaud ; les indicateurs indiquent ces variations dans leur longueur. Dans l'établissement des tuyaux de vapeur d'une certaine longueur on les munit de prcssc-étoupe ou joints glissants, ou on leur donne des souffiets ou un enroulement pour parer à ces variations de dimensions; sans ces précautions on s'exposerait à des avaries qui se sont souvent produites. On peut estimer la valeur de l'effort qui serait, par exemple, exercé sur une barre de fer de 5 mètres de longueur, de 0™,06 de largeur et de 0™,03 d'épaisseur fixée à ses deux extrémités, à la température de 25®, lorsque sa température s'abaisse de 10** au-dessous de 0^ c'est-à-dire pour une variation de 35®. Cette contraction étant égale à la dilatation pour la même température 35** : nous aurons W< = 5 x 0,0000122 x 35 qui représente le raccourcissement ou l'allongement. D'après les expériences qui ont été faites, s'il agit d'un tirant, d'un tube de chaudière, quand la limite d'élasticité du métal n'a pas été dépassée, la résistance qu'un prisme offre à la traction : 1» est proportionnelle à l'aire A de la section transversale ; 2« est proportionnelle à l'allongement de l'unité linéaire, le mètre, ou au rapport de l'allongement /°* d'une

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longueur L™ de ce prisme à cette longueur. Si donc nous représentons par E la charge nécessaire pour produire un allongement d'un mètre, sur un prisme d'un mètre de longueur et d'un mètre carré de base, en admettant que cette hypothèse puisse se réaliser physiquement, la charge P nécessaire pour produire rallongement / sera exprimé par :

Reprenons la barre que nous avions choisie; dans laquelle A = 0,06 X 0,83 — E =: 20 000 000 000 Z = 5 X 0.0000122 x 35 L = 5 d'où en remplaçant par leurs valeurs, il vient P := E x

A X j- = 15 327 kilogrammes.

Formules relatives à la dilatation des gaz. — Les formules que nous avons trouvées et étiiblies pour la dilatation des corps sont applicables aux gaz lorsque d y exprime le coefficient moyen de dilatation cubique de ces dernières et dont la valeur est de 0,00375 pour 1® de 0° à 100<^ ; en désignant ce coefficient par K et par V et v', les volumes occupés par une même masse de gaz aux

températures toit'; nous aurons donc— 7 = "[] . Il faut pour-

ttint remarquer ici que cette formule ne pourra être employée que dans Thypothèse où la tension des gaz, eu égard à la pression qu'ils supportent, est restée constante quand on a mesuré les deux volumes v et v'. S'il en était autrement, il faudrait modifier la formule en se rappelant que les volumes du gaz sont inversement proportionnels aux pressions qu'ils supportent, quand la température est restée la même pendant la durée des expériences. Si donc nous désignons par v le volume d'un gaz à la température t et mesuré sous la pression p et par v' le volume de cette même quantité de gaz quand elle mesure sous la pression p' et à la température t', par K le coefficient moyen égal à 0,00375 et enfin par V le volume qui occuperait cette même masse de gaz si clic était soumise à la pression p' et à la température t; les volumes c et V étiint soumis à la température commune t sont en raison inverse des pressions, d'où -^ = ■£- ; si

nous comparons maintenant les volumes V et v', ils ont la même pression mais soumis à des températures différentes, d'où d'après

la formule admise— 7-= 1 wr ^ multipliant terme à terme les

deux formules, il vient :

Vxv p' (1 + A-0 j^ p' (1 + kt)

\ XV' " p[i + kV) "" t' - p (1 -f Â'O ^"^

„"-^J^JUU..Ï^, w'^'- -1 '

Cette formule nous fera connaître le volume d*un gaz soumis à la pression p et à la température t, quand on connaîtra son volume à une autre température t' et à une autre pression p'. On se sert souvent de cette formule pour ramener le volume d'un gaz à ce qu'il serait sous la pression et la température normales. Exemples : soit proposé de trouver le volume d'un gaz à 0^ et sous la pression de 0,76, lorsque son volume est de 1,35 sous la pression de 73^2 et à la température de i^^ ; d'après la formule (a)

« - w (^+kt)p' i,35xix73,2

(1 + ktyp ~" 76 (1 + 0,003:5) 15 ■" '