AVANT-PROPOS

« L origine la plus naturelle et la plus » élémentaire en même temps que l’on » puisse assigner aux logarithmes, consiste >' à considérer ces quantités comme les » termes d’une progression arithmétique » dont le premier terme est zéro, corres- )) pondant aux termes d’üne progression

(*) Je fais imprimer ce Mémoire dans la forme et dans les termes où il a été adressé à l’Académie de Bruxelles. Je tiens à constater cette observation, parce que, indépendam» ment de la question de fond , on trouvera , soit dans l’avantpropos, soit dans le cours de l’ouvrage, quelques idées dç réforme qui, tacitement du moins, paraissent avoir obtenn l’assentiment de l’Académie. Ce motif m’a déterminé à ne rien changer à ce Mémoire ; et cette détermination est d’autant plus puissante, que, depuis l’époque où il a été écrit, les idées dont je parle ont pris dans les applications que j’en ai faites un degré de confirmation qui ne permet plus le doute à leur égard. Au reste, c’est un objet dont le public sera, j’espère, très pr<M-bainenient juge.

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» géométrique dont le premier terme est » l’unité. » (M. Pagani, Note sur la théorie des Logarithmes , compte rendu de la séance du 6 avril 1889 de l’Académie royale de Bruxelles, page 256 .)

Si , en effet, il est vrai que cette origine est la plus naturelle et la plus élémentaire , n’est-on pas en droit de se demander pourquoi elle n’est pour ainsi dire qu’indiquée par tous les auteurs d’éléments, et dans presque toutes les écoles? pourquoi l’on n’en fait mention que pour donner une Idée sommaire et très-vague de ce qu’il faut entendre par le mot logarithmes?

pourquoi enfin l’on s’empresse d’ajouter, après en avoir fait connaître les premiers éléments , que plus tard , après une étude plus approfondie de l’algèbre, on sera en mesure de mieux comprendre la théorie des logarithmes, et d’en faire une étude à la fois Complète et rigoureuse.

La réponse à toutes ces questions est facile, car nous savons tous que sous le rapport de la rigueur des raisonnements , de

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la complète validité des démonstrations , il y a dans cette partie des éléments beaucoup à desirer ; de sorte que jusqu a ce jour . on a été obligé, en désespoir de cause, de remettre après l’étude des exponentielles et après celle des séries , l’examen des théorèmes qui constituent la théorie des logarithmes.

Et cependant le besoin d’appliquer les propriétés des logarithmes , la nécessité de l’usage des tables sont tellement sentis , que , faisant pour cette fois défaut aux premières exigences de la logique , on veut , en France, que les élèves qui se présentent à la plupart des écoles du Gouvernement sachent se servir des tables, bien que leurs connaissances sur la théorie soient fort incomplètes, puisqu’on ne leur demande rien de plus en algèbre que la partie de cette science qui s’arrête à la résolution des équations du second degré.

On peut donc dire avec raison qu’une théorie à la fois 'naturelle, élémentaire et rigoureuse des propriétés des logarithmes

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est une chose qui manque complètement à la science, et qu’en présence de la né* cessité bien reconnue de l’usage des tables logarithmiques , une semblable théorie serait d’une incontestable utilité.

Tel est le but que je me suis proposé d’atteindre dans la composition du Mémoire que je présente au jugement de l’Académie. J’ai voulu ramener toutes les propriétés des logarithmes au point de départ signalé par M. Pagani, à la comparaison des deux progressions ; mais j’ai voulu en même temps , dans la marche que j’ai suivie, m’assujétir à ne faire aucun pas qui ne fût appuyé sur les règles solides des raisonnements les plus. rigoureux , sans qu’il fût nécessaire, pour trouver cet appui, d’aller au-delà des notions les plus élémentaires de l’analyse. Peut-être trouvera-t-on que j’ai atteint ce but, puisque la résolution des équations du premier degré' m’a suffi pour tout démontrer.

Toutefois, ce n’est point par un vain désir de triompher de quelques difficultés

, ( ix ) ^

d’analyse que j’ai consacré à ce travail

quatre années d’études , et à Dieu ne plaise

qu’on ne voulût y voir qu’un exercice sur

quelques artifices de calcul r^ç^^visagé sous

ce point de vue, il serait peu digne de -

l’attention de l’Acadénaie, et son mérite à

mes propres yeux serait presque complètement efiacé. > , '

Mais ce travail est le résuhatjde, cette, pensée, que l’étudé^ de da4éri tarife Sophie de la science conduit à des enseignements plus utiles et ^plus; sitbples

que le jeu des formules algébriques ; et,

comme je l’aj dit dans lêfccours de ce Mémoire ,^il y a toute’cette différence entre les deux rnéthodes que je compare ici , que celle dont j’ai fait usagè^ -çelle que je cherche à appliquer constamment dans mes études, a pour but de faire comprendre le pourquoi d’4^*i^rité , tandjs- que l’autre ne va presqa%^î^ais au-^elà du parce que. ^

Peut-être ces obàervànons ne paraîtrontelles pas dépourvues d’opportunité, à une

époque où les écrits des géomètres ne consistent guère qu’en des accumulations de formules. Il semble que dans la recherche de la vérité on ne veut tenir compte que de l’exactitude mathématique , et qu’on a peu compris l’importance d’un mode d’investigation philosophique , soit pour donner aux résultats obtenus leur véritable

interprétation , soit pour en faire une application convenable à l’étude des faits naturels. Aussi , de nos jours , dans la science réputée exacte par excellence , le doute est-il parvenu à s’introduire. Combien ne pourrais-je pas citer de résultats obtenus sous des formes algébriques que nous croyons devoir admettre comme exacts, et qui cependant se refusent à' des interprétations rationnelles. Que penser , en effet , sous le point de vue philosophique, du cas appelé irréductible dans les équations du troisième degré? Que dire, sous le même point dè vue, de la forme problématique des racines de l’équation x"= i ? Peuton accepter autrement que comme un

fait algébrique cette singulière relation

cos« + \/ — 1 . sina = c‘*^

et savons-nous à quelle considération de . ,

philosophie naturelle elle pourrait s’appliquer? Enfin , dans le nombre des choses créées, y en a-t-il une ou plusieurs à la supputation desquelles puissent se prêter les formes que nous nommons imaginaires? Ainsi, sans même sortir du domaine de l’algèbre ordinaire, il faut reconnaître que nous sommes entourés de mystères , et que se restreindre exclusivement à l’étude des formules algébriques, c’est se condamner à subir les lois de quelques formes symboliques plutôt que celles de la raison. Que serait-ce si nous jetions un coup d’œil sur le calcul infinitésimal?

Ici il ne faudrait pas aller bien avant pour se trouver en face de graves difficultés ; les premiers pas que l’on fait dans son exposition ne révèlent-ils pas entre les auteurs des divergences inexplicables? Et, pour