OBSERVATIONS FINALES

ET

DÉTERMINATION ÉLÉMENTAIRE DES DÉRIVÉES DES FONCTIONS LOGARITHMIQUE ET EXPONENTIELLE.

Ici se termine tout ce que j’ai à dire sur la théorie des logarithmes, non pas que toute la matière soit épuisée, mais parce que je suis convaincu que dans les principes ci-dessus exposés , on trouvera la base des démonstrations de tous les théorèmes, des solutions de toutes les questions qui peuvent être proposées sur ce sujet.

Je ne dis rien de la construction des tables; cet objet est toujours une conséquence des principes sur lesquels s’appuie la théorie des logarithmes, quel que soit d’ailleurs le mode d’exposition de ces principes. Je m’en réfère, pour mon silence à cet égard, à ce quej’aidéjàditdansl’avant-propos.

Mais une remarque qui, je l’espère, paraîtra digne de quelque attention , est celle qui consiste à montrer comment la dérivée, soit de la

fonction logarithmique, soit de la fonction exponentielle , est une conséquence des principes précédents. C’est un objet digne de quelque intérêt et susceptible d’exciter la curiosité à un assez haut degré, de voir qu’il suffit, pour arriver à la connaissance de ces dérivées, de savoir résoudre l’équation générale du premier degré , et qu’ ainsi, pour effectuer ces déterminations, les développements en série ne sont nullement indispensables. En traitant cette dernière question , j’aurai ainsi épuisé tout ce que la fonction logarithmique peut offrir d’essentiel à connaître, et peut-être serai-je parvenu à donner une preuve de plus de cette vérité proclamée en tête de ce Mémoire, qu’on ne trouve pas moins d’enseignements dans la véritable philosophie de la science que dans les formules algébriques.

fonction lo- 8 Occupons-nous d’àbord de la fonction loga-

narithmique. r ithmique.

Soit x un nombre quelconque, et augmentons-le de la quantité £. Nous savons que le nombre de termes compris dans la progression par quotient,

entre x et x H- est plus grand que — d et

moindre que - d.

D’où il suit qu’on pourra écrire indistincte-

ment

ou

log (* + £)— log

log(x-f-£) — logx

à la condition de commettre, une erreur moindre que

dft.

Gela posé , des deux précédentes équations on déduit, en divisant les deux membres par Ç ,

log (* + £) — logx

Or, lorsque £ devient nul, les deux quantités

et

et en même temps la limite de l’erreur devient nulle. Donc on peut écrire que lorsque £= o on a exactement t '

^-= du sont identiquement les mêmes ,

log (* + £)-- log X

mais le premier membre exprime en général le rapport de l’accroissement du logarithme d’un nombre quelconque à l’accroissement de ce nom-

Dérivée de la fonction exponentielle.

( lj6 )

bre ; or comme ce qu’on appelle dérivée est précisément la valeur que prend ce rapport pour un accroissement nul , on en conclura que la dérivée du logarithme d’un certain nombre est égale au quotient de la quantité dp par la valeur de ce même nombre, et comme dp est le module des tables, ou si l’on veut log e, on reconnaît de suite

la forme ordinaire de la valeur de cette dérivée.

Passons à l’exponentielle.

Nous avons montré que le nombre des termes compris entre X' et X avait pour limites

Or si x et x -+• £ sont les exposants correspondant à X' et X , on en conclura que £ est le véritable nombre de termes compris entre X et X', et en conséquence on pourra écrire

Or lorsque £ devient nul, ces deux limites sont identiquement les memes, et l’on en tire cette conséquence que pour £ = o on a exactement

Mais le premier membre exprime en général le •rapport de l’accroissement de l’exponentielle d’un nombre quelconque à l’accroissement de ce nombre, et comme ce qu’on appelle dérivée est précisément la valeur que prend ce rapport pour un accroissement nul , on en conclura que la dérivée de la fonction exponentielle est égale au produit

de l’exponentielle elle-même par la quantité

Reste à faire voir, pour passer de là à la forme sous laquelle on met ordinairement cette dérivée, que la quantité ^ est égale au logarithme

( ii8 )

népérien de i 4- Or nous avons déjà fait voir

(art. module) que e étant la base de ce système de logarithmes, on a

donc, en désignant par l’indice l les logarithmes népériens, il viendra