kil
Réaction du palier H=: 14.405 kil .
Il y a une observation à faii'e en ce qui concerne la réaction du palier A. La charge qu'il supporte se trouve diminuée, ainsi qu'on vient de le voir, de la composante de la force tangentielle de 5206 kg. exercée par cette roue sur le pignon et due ali travail qu'elle transmet. Nous avons considéré le cas des grandes eaux, où la roue hydraulique fournit un travail effectif de 5195 kgm. par seconde ; mais àl'étiage ce travail sd trouve réduit à 3150 kgm. et la foroe tangentielle à :
5208 kg.yS-sm kg.
olyo ^
Il eil résulte qu'à Tétiage, la réaction du palier A se trouve augmentée de :
(5200^-3157) X^'|?^= 19G2 kg.
o,Uo
et portée à :
10359+1962=12321 kilogr.
Pour la même raison^ la réaotioû du palier H se trouvé augmentée de :
(5206-^8157) X^^=87 kg.
et portée à :
14405+87=14492 kilogr.
En ce qui concerne la résistance de Tarbre à la torsion, il faut considérer le cas des hautes eaux, c'est-à-dire la plus grande valeur du travail transmis par la roue.
Le moment du couple produisant la torsion est :
Pp:r5206kgx^-^ii:8387.
Il correspond aux sections B et C de l^arbre.
Dans la section D| ce moment est réduit aux 5/6, dans la seûtion Ë & la moitié et dans la section F à 1/6 de la valeur calculée ci-dessus.
Il ne nous reste plus qu'à calculer la valeur du moment fléchissant dans les sections principales de Tarbre, c'est-à-dire aux points B, C, D, EetF.
• En B :
,=lOmx^^l^^^^= 2214,
EnC :
{iLiz:10359xO,57+2206xO,365-- .^/C'^— 6598
En D :
0=10359X2,0254-2206X1,81 -4459x1,455 — ^ ;" = 17352 EnE :
2800 "vl fîO* a=14405xl.QO-4459xl.455-> "-;;'•" = 15855
En F :
—^AAn-'^(^^Ar 2800x0,1 45 ix 1440ox0.145 2;^8-= 2059
Nous pouvons donc dresser le tableau suivant :
DtSISKATIOIf
des
MOliliNT FLiCHiaSANT
MOMBRT DU OOOPLB
de
sections
torsion Pp
Nous pouvons donc maintenant calculer le diamètre deTarbre en ses points principaux. Pour les sections qui ont à résister simultanément à la flexion et à la torsion, nous prendrons, pour résistance totale du fer :
Ri=:4xl06.
Diamètre et longueur du tourillon A. — Le maximum de la pression exercée par ce tourillon =12321 kilogr.
En prenant : \
l=l.bd,
nous aurons :
pour tenir compte de l'usure, nous prendrons
rfr=0'n.240
11 en résulte :
lzzO"™,24Xl.5=0»,300.
Diamètre de Parbre en B. — Le rayon r se déduit de :
*--;^iô^\/^«x2~^*'+^x^«^'
d'où :
r-:0"',ll5.
A cause, du clavetage de la roue dentée sur cette partie de l'arbre, nous devrions faire son diamètre i=:0'",260.
Diamètre de Farbre en C. — Le rayon r se déduit de :
d'où :
A cause du clavetage du premier tourteau, nous prendrons pour le diamètre de l'arbre en ce point :
Comme les portées B et C de l'arbre sont très voisines l'une de l'autre, nous leur avons donné le même diamètre de O^jSOO.
Diamètre de l'arbre en D.
d'où:
nr0'",192.
A cause du clavetage du deuxième tourteau, nous prendrons :
dn0°',420 Diamètre de l'arbre en E.
d'où:
A cause du clavetage du troisième tourteau, nous prendrons :
rf=0'",380.
186 PARTIR PÎDACTlOtJR
iamètre de l'arbre en F :
d'où :
A cause du clavetage du quatrième tourteau, nous devrions prendre
rf=0'",200,
mais nous Axerons plus loin la valeur définitive du diamètre de Tarbre en F.
Dimensions du tourillonH. — Il exerce au maximum, une pression de 14492 kilogr., donc :
Pour tenir compte de l'usure^ noua prendrons :
rf=0°»,260 ; il en résulte :
/=:0ni,26xl ,50=0m,390 .
Comme il faut que l'arbre présente un épaulement contre le tourillon H, nous lui donnerons, dans la portée F, un diamètre de 0°*,280, au lieu de 0in,200.
Cet arbre aura donc définitivement les dimensions cotées sur la flg. 3 de la pi. XXV.
Les tourillons de l'arbre reposent sur des paliers à vérins, dont les détails sont représentés sur les flg. et 7 de la pi. XXV. Des paliers semblables supportent les tourillons de l'arbre en bois de la roue hydraulique établie sur la chute A.
Ainsi que le montre la flg. 3 de la pi. XXV, nous avons donné, aux tourillons de l'arbre en fer, une longueur plus grande que celle qui a été fixée par le calcul, mais nous avons maintenu pour les coussinets, les longueurs calculées. Les deux tourillons dépassent ainsi de quelques centimètres leurs paliers ; cela permet, en cas de besoin, de soulever l'arbre et la roue avec des vérins autres que ceux dont ces paliers sont pourvus.
HYDliiVtlLlQUE APPLIQUÉE 187
S s. — Épatfl«eut* de» moyens des t<^iirt6AUx en fbnte.
L'épaisseur de ces moyeux se calcule comme celle d'uu moyeu de roue d'engrenage, en tenant compte du moment du couple qui tend à produire la torsion de Tarbre. Nous obtenons ainsi les résultats sui" vants :
Pour le premier tourteau^ calé en 0, le moment du couple de torsion correspond au sixième du travail fourni par la roue hydraulique ; sa valeur est 1395 ; donc :
A cause des clavetages, il faut prendre au moins s
er=Û^,070.
Le tourteau calé en F sera exécuté sur le même modèle mais il ne sera alésé qu'à 0°'|280 au lieu de O^'iSOO.
Pour le deuxième tourteau, calé en D, le moment du couple de torsion correspond au tiers du travail fourni par la roue hydraulique ; il a pour valeur :
en î — Om 070
0,20x2Xl0«X7rX0,300x0,420 '
A ôausô du clavetage, il faut prendre au moins :
Le tourteau calé en E sera exécuté sur le même modèle mais il ne sera aléâé qu'à 0'n,380 au lieu dô 0«,420.
§ 6, — Complément do la transmlsBlon «le mouvement à établir entre It
roue hydraulique et l*arbi*e vertical de l*UBlne.
Nous avons vu que le travail disponible sur les augets de la roue
hydraulique est, au maximum, de 5195 kgm. par seconde. Il faut en
retrancher le travail absorbé par les frottements des tourillons de cette
roue. En adoptant 0,10 pour la valeur du coefficient de frottement, ce
travail est :
°-^^^^^^^(l0359^&X0n',240+14405'^ex0™,260)=195kgm.
par seconde.
Le travail disponible sur la roue dentée, calée sur Tarbre de la roue hydraulique n'est donc que :
5195— 195=r5000 kgm.
par 1".
Il faut tenir compte aussi de la perte de travail due au frottement des dents de la première paire d'engrenages ; de telle sorte que le travail Ti disponible sur les dents du pignon est donné par :
T^=500o[l~0,15:r(i+^)]=4910 kgm.
par seconde, ou :
=6r)ch.,47.
Deuxième paire d'engrenaoes servant à relier Carbre de couche intermé^ diaire et l'arbre vertical de iusine. — Ce sont des engrenages coniques et ils doivent être calculés pour un travail de 65'=^,47 à transmettre, bien qu'en réalité, il y ait à en déduire la perte de travail par les frottements des tourillons de Tarbre de couche.
Dans le mémoire du Projet n<» l de la série B, Cinématique^ page 60, nous avons établi une formule qui donne le rayon primitif d'un pignon
conique de 36 deats, mesuré sur le cône intérieur (la plus petite base du pignon). Cette formule est :
RmV
les lettres y ont la même signification que dans la formule relative aux engrenages cylindriques.
Dans la pratique, on mesure généralement les diamètres primitifs des engrenages coniques sur le cône extérieur, et ce sont ces diamètres que l'on calcule d'après le rapport des vitesses angulaires des deux arbres à réunir. Pour tenir compte de cette manière d'opérer, nous calculerons le diamètre primitif d'un pignon conique par la formule relative à un pignon cylindrique.
Dans le cas qui nous occupe, nous ferons usage de dents en bois de cormier pour la roue et de dents en fonte pour le pignon. Le rayon primitif de ce pignon, correspondant à 36 dents, sera donc donné par la formule :
Nous avons :
T=65,47 ; l'=AO^ ;
Nous prendrons :
R=i2xl0« et mz=:0.
Le diamètre primitif de ce pignon sera donc :
2x0n„516=zl^,0:^2.
Le nombre des dents de la roue conique devrait être :
mais il faut que le nombre des dents en bois soit divisible par celui des bras de la roue, et, comme celle-ci comportera 8 bras, il faut lui donner 96 dents et un diamètre primitif de :
En partant de 5t,07 par minute pour la roue hydraulique, l'arbre vertical en fera :
ou bien, si l'on part de 40 tours par minute! pour l'arbre yertioftl» la roue hydraulique ne devra faire que :
au lieu de 5t,07.
Cette dernière solution peut-être admise si la vitesse imposée pour Tarbre vertical doit être rigoureusement observée.
Il sera préférable, toutefois, de donner 37 dents au pignon conique en portant son diamètre primitif à :
2«n,752xS=l^,060.
Pour 5t,97 de la roue hydraulique, l'arbre vertical en fera :
par minute.
ou bien, pour 40 tours de l'arbre vertical, la rou»i hydraulique en fera :
Cette dernière solution est préférable.
La roue conique, à dents de bois, aura donc 2",752 de diamètre primitif et 96 dents ; son pignon, à dents de fonte, aura lm,000 de diamètre primitif et 37 dents.
Le pas des dentures sera donc :
L'épaisseur des dents en fonte du pignon sera s
et la largeur des dents du pignon et de la roue sera :
Nous calculerons le diamètre de l'arbre de couche intermédiaire comme nous l'avons fait à propos de la roue sans tête d'eau, c'est-àdire en appliquant la formule ;
KA
dans laquelle nous ferons :
K=0,00000075, A=:4010x6(fe=80460Û kgm.
et :
fi=15t,45.
Il en résulte :
c'est le diamètre du tourillon contigu au pignon droit de 36 dents et placé entre ce pignon et la roue d'angle; mais, comme il faut tenir compte de l'usure par suite du frottement, nous adopterons :
cîzz0m,248
pour le diamètre de ce tourillon.
Il faut vérifier, en outre, s'il est suffisant pour résister à la flexion sous l'action du poids du pignon droit et de la force tangentielle appli* quée à ce pignon.
Cette force tangentielle = 5206 kil.
Le poids du pignon peut être estimé approximativement à :
— Of )'><i^=
B646kil.
Moment âôchissant :
La relation :
Rirr8
donne, en y faisant
[x=1411,5etr=0'n,124:
^XUlUo^ ^^g^ kg.
Au point de vue de la résistance à la flexion seule, ce tourillon est donc plus fort qu'il n'est nécessaire, mais il faut se préoccuper aussi du graissage.
La pression que ce tourillon exercera par centimètre carré sur son coussinet sera, en négligeant le poids de l'arbre lui-même :
seulement.
Mais ce tourillon doit résister à la fois à la flexion et à la torsion. Le moment du couple produisant la torsion est :
Sa résistance totale par unité de section se déduit donc de :
Ôâ24^=:^i/ 16 X141 1.5^+4x3212'^ ;
d'où :
lUz'
R=1428000 kilogr.
Comme la résistance de l'usine est supposée régulière et que les organes de la transmission de mouvement ne sont pas soumis à des chocs, il y a lieu de diminuer le diamètre de l'arbre en faisant :
R=z4000000 kilogr.
Il en résulte :
d'où:
Pour tenir compte de Tusure, nous donnerons, au tourillon contigu au pignon droit de 36 dents, un diamètre de 0°^,180 et une longueur de 0*,270 ; la pression par centimètre carré sera •
ce résultat peut-être admis.
La portée de Tarbre recevant le pignon aura 0(d,210 de diamètre afin de former un épaulement ou embase pour le palier et en même temps aân de tenir compte du clavetage, mais le corps de Tarbresera maintenu à 0«»,18() de diamètre.
Quant au tourillon d'extrémité du dit arbre, la charge qu'il transmettra au palier comporte :
La force tangentielie à la circonférence de la roue conique :
5206 kg.X^'^= 2344 kg.
le poids de cette roue :
Le diamètre de ce tourillon se déduit de :
oirorr . /2,752\3 164
4176 kil.
Nous adopterons :
et :
c£=:Ûin,090,
(') Nous aurions pn arriver directement à ce résnltat sans recourir aux essais dont nous l'avons fait précéder, mais nous ayons opéré ainsi pour montrer quelle est la méthode à employer pour vérifier la résistance d'un arbre existant.
SER. D. BTD. APP.
Il ne nous reste plus qu'à calculer le diamètre de l'arbre vertical ; pour le faire, il faut connaître le travail qui sera fourni à cet arbre.
Nous avons vu que le travail disponible sur le pignon droit de Ô6 dents est 4910 kgm. par seconde.
Il faut en retrancher le travail absorbé par les frottements des tourillons de l'arbre intermédiaire et par ceux des engrenages coniques. Le poids de l'arbre intermédiaire est :
7800k«X^i 0,090>c:l,770 =474 kg,
que, pour simplifier, nous supposons également réparti entre les deux paliers.
Nous aurons donc :
Charge sur le palier intermédiaire :
5646+237=5883 kilogr.
Charge sur le palier d'extrémité :
4176+237=4413 kilogr.
Travail absorbé par les frottements des tourillons de l'arbre intermédiaire, en adoptant 0,08 pour la valeur du coefficient de frottement:
(♦,O8x^^^^^(5883x0»M80+4413x0,O90)=92kgni,5O.
Le travail disponible sur la denture de la roue d'angle est donc :
4910— 92,50=4817,50 kgm.
par seconde.
Il en résulte que le travail disponible sur le pignon d'angle est, en prenant 0,10 pour le coefficient de frottement des dents :
T2=4817,50[ 1-0,10 7:(i+^)]=4760 kgm.
par seconde.
Nous savons que le travail disponible sur la roue hydraulique est de 5195 kgm. par seconde, en hautes eaux, tandis que nous ne recueillons que 4760 kgm. sur l'arbre vertical de l'usine. Le rendement de la transmission (ou coefficient d'utilisation) est donc :
Les frottements de cette transmission font donc perdre environ 8,5 0/0 du travail recueilli par la roue hydraulique.
Ce résultat montre combien il est important de bien étudier les transmissions de mouvement afin de faire concorder la résistance de leurs organes avec la plus petite perte de travail par les frottements.
Le diamètre de l'arbre vertical de l'usine se calculera, dans le cas actuel, par la formule :
dans laquelle nous ferons :
Donc :
A--4760x6()ir:285600
Observation. — Sur la pi. XXV, fig. 4 et 5, nous donnons les détails relatifs à un œillard en fonte logé dans un mur, pour recevoir le palier d'un arbre horizontal. Mais on remarquera que, dans les transmis* sions des deux roues à augets étudiées, nous n'avons pas eu l'occasion d'en faire usage. Le lecteur en trouvera des applications dans d'autres projets.
Série D. — HYDRil.UL.IQUE: il.PPL.IQUÉE:
