CHAPITRE PREMIER
§ !• ^ Choix du type de roue à employei* pour la chute située en B.
Pour cette chute, le programme indique que le niveau d'amont varie entre les cotes 8°^, 10 et 7«,70, et que le niveau d'aval oscille entre les cotes ô^jTO et 6 mètres ; la chute varie donc de S^,10~-6^=2^,10, correspondant à la période des hautes eaux, à 7">70 — 5"»,70=2 mètres, correspondant à Tétiage.
Le débit varie lui-même de 2.200 à 3.300 litres par seconde ; nous admettrons, comme pour le cab de la chute située en A, que le maximum du débit correspond au niveau d'aval le plus élevé, c'est-à-dire à la chute de 2» JO.
La considération qui doit prédominer dans le choix du récepteur hydraulique est celle relative à l'économie dans les frais de construction et d'établissement de ce récepteur et de sa transmission de mouvement.
spécialement dans le cas qui nous occupe, à cause des variations de la résistance.
S t. — DéteriiiHiatl«^fei de la valeur ^to la tAte finMhIfe B» de la tovée Ae vanne B et de la largeur Li de la %'anne et dd la roue*
Nous avons vu, dans la 4^ Introduction de cette Série, que la valeur (le la tête d'eau, dans le cas du niveau d'amont le plus élevé, est donnée par la formule suivante :
HYDRA.UUQUE APPLIQUEE 247
dans laquelle :
a=ft— A4=«»,10— 7'n,70z=0-,40
(variation du niyeaa d'amont).
Qi 2200
(rapport des valeurs extrêmes du débit).
Ce sont les seules quantitésidonnées par le programm e«
e, désigne la levée de la vanne dans le cas du maximum Q du débit S, le rapport des vitesses d'éeouldment de Teau pour les levées extrêmes de la vanne.
Pour que la roue soit d'une construction économique et qu'elle puisse servir de volant, le travail à produire étant irrégulier, il faut que sa vitesse de rotation soit au moins comprise entre les limites 1^,80 et 2^,50, admises en pratique.
Mais, comme pour obtenir le maximum théorique du rendement, nous devrions avoir :
VcosVtT
»ZZ rz
et que Tangle Yv est compris entre 60^ et 70°, il en résulterait pour V des valeurs de 7">,20 à 15 mètres^ correspondant à des têtes d^eau de 2°>,65 à 1 1°^,40. Comme la plus petite de ces deux valeurs est plus grande que la chute dont nous disposons, on voit qu'il n'est pas possible, dans le cas particulier du programme, d'appliquer la relation ci-dessus et qu'il convient mieux de prendre :
»=Ycos. V» .
La perte de chute provenant du terme — est ainsi augmentée ; mais
comme, d'autre part, la résultante w ainsi obtenue est plus petite que celle qui correspond à :
VcosVu
il s'établit une sorte de compensation.
Les limites entre lesquelles doivent se trouver comprises les valeurs de e sont égales à 0«,200 et 0«,400 f).
La roue devant avoir une vitesse constante, les valeurs de la vitesse absolue V de l'eau doivent donc être peu différentes l'une de l'autre;
(*)Voirla 4« Introduction de la Série D, Hydraulique appliquée.
cette condition sera remplie en prenant S compris entre :0,60 et 0,90.
Nous devons donc choisir les valeurs de e et de <y les plus convenables pour obtenir dans les cas des deux débits extrêmes des têtes d'eau donnant des vitesses d'écoulement différant peu Tune de Tautre» et telles que la vitesse v obtenue, dans le cas du débit minimum, en projetant la vitesse absolue Yi sur la tangente à la circonférence extérieure de la roue, soit comprise dans les limites pratiques 1°>,80 et
La méthode que nous avons employée consiste à calculer les valeurs de h^hi et e^ en supposant e égale successivement à 0^,200, 0°*,dOO et 0'n,400 et en faisant varier * entre 0,60 et 0,90.
Pour chacun de ces essais, nous connaissons toutes les valeurs à introduire dans la formule (266) ; nous pouvons donc calculer A, puis en déduire h^ par la relation :
et en déduire la levée 64 de la vanne dans le cas du débit minimum par la formule (265) O:
e,=z-Xe (265)
Nous formons ainsi le tableau ci-après :
-De l'examen de ce tableau, et d'après ce que avons dit à la page 198 de la 4® Introduction de cette Série, nous avons conclu que les meilleures conditions étaient réalisées en adoptant
e=0~,300 et 4rz=0,85 ; d'où nous avons déduit :
d'où :
et la levée de la vanne,dans le cas du minimum de débit, est, en appliquant la formule (265) :
K 0,6C7xO'«,30 ^^^
Dans cette hypothèse, les valeurs de la vitesse absolue d'arrivée de
{*) Voir la 4» Introduction de la Série D, Hydraulique appliquée, page 198.
Vzz0,60 Azd)«,812 A,=0-,412 C4=0m,222
*=0,70 h=0^fi30 A4=0-,530 e<=0",190
<5rz=:0,80 A=0ffl,909 A,=i0m,509 c,=0-,167
4f=0,85 A=rln>,798 A,=il»»,398 e,=0-,157
(y=0,90 Air:2«,040
ôzr:0",300
Az=0«,909
8=0,70 A=:1«,000 h^=0^,GO0 ci=0°»,286
<yir0,80 Anlni,240 A^=^0«,840 c, =0^,250
âfi:i0,85
A=:lni,495
<y=:0,60 Anl^OOO
ei=0«',444
(5f=0,80 Anl°»,283 ft,=i0°,883 C|-0°»,333
*ii:0,90
Teau, pour les deux cas extrêmes du débit» sont respectivement égales, ainsi que nous le calculons plus loin» à :
pour le cas du niveau d'amont le plus éleré» et :
pour le cas de Tétiage. Les valeurs obtenues en prenant :
d'une part, et :
250 PARTIE DroACnQUE
d'autre part, donnent des têtes d^ean trop considérables, car les valeurs de Y correspondantes sont égales à 7°^,25 et &^,30; d'où les valeurs ()e
Vcos^ seraient plus grandes que 3 mètres et 2",50, tandis que les valeurs de — -^ — seraient trop petites.
Connaissant la valeur de la tête d'eap et la levée de la vanne, nous pouTons calculer le débit par mètre de largeur de la roue par la formule :
<?=meV 2y(A-^,8c) (262)
la vanne étant inclinée à 1 de base pour 2 de hauteur, nous prenons:
Appliquée au cas des hautes eaux et du débit maximumj la formule précédente donne :
g=0,74x0»,30 \^2x9,8088x(l-,495— 0,8x0»,30)ir l"^101 .
La largeur l de la roue est donc :
en nombre roAd.
Dans le cas du débit de 2.200 litres par seconde, à Tétiage, la largeur de la roue restant évidemment la même, le débit par mètre de largeur et par seconde sera :
--— litres 1Z733 litres.
Ce débit est vérifié par Téquation :
ff 4 -mtK >/2^(A4--0,8c0=0,74x0,235y2X9,8088X(l'»,095-^,8X0,235)^0,733
En raison de sa largeur, la roue sera formée de deux travées, aj^ant chacune l'^ydOO de largeur, les parties d'aubage en porte-à-faux ayant G",200.
3* — I>éteriiiln«Uoii du dlaméu*e !tR de la roiie«<le la vlteaae abaoloe V de l*eaa, de la vitesse V de la roue, du nombre de tours AT par mlnnte,de la prorondeur(R->r)de l*aabase et du nombre IV des anbasea.
Ainsi que nous Tavons dit dans la 4« Introduction de cette Série, le
HYDBAUUQVE APPWQUEE 851
diamètre 2E de la roue se prend arbitrairement ; il est compris entre 3m,50 et 7 mètres ; nous avoirs pris 2R=6 piètres aân de diminuer
l'angle Yv pour augmenter le rendement de la roue.
La vitesse absolue de Teau à son entrée dans la roue, est égale à celle qui se produit au passage sous la vanne, cette dernière étant inclinée pour la rapprocher le plus possible delà roue; le coursier présente une pente convenable depuis le seuil de la vanne jusqu'à la roue pour conserver à l'eau cette vitesse.
La pente par mètre à donner au coursier, pour conserver à Teau la vitesse qu'elle prend à son passage sous la vanne, est donnée par la formule :
ou :
Cette pente étant très faible, le seuil de la vanne parait hori^ntal & cause de Téchelle employée (Voir âg. 2 de la planche XXVII)*
La vitesse de feau à son passage sous la vanne est donnée par la formule :
Yrzy/2gih'-0,Se) qui, dans le cas du niveau d'amont le plus élevé, devient :
V=v'2x9,8088x(l"^,495— 0,8x0°^,30)=4",962 ; et dans le cas du niveau d'amont le plus bas :
Vi=v^2x9,8088x(l",095--0,80x0»,235)^4-,2î8.
Nous devrions prendre »
Vcos.Vv
Vss -— .
pour obtenir le maximum analytique du rendement de la roue de côté à tête d'eau ; mais la valeur ainsi trouvée n'est que un mètre ; on perdrait donc tout l'avantage de l'allure rapide particulière aux roues à tête d'eau, au point de vue de la simplication de la transmission de mouvement, si Ton adoptait cette solution.
L'économie à réaliser sur le prix d'installation étant l'objectif principal dans le cas actuel, et rexpérience ayant démontré que le rende-
(') Voir la 2« Introduction de la Série D, Hydraulique appliquée^ pago 83«
ment pratique reste à peu près constant pour les valeurs de i; comprises entre 0,33 V et 0,80 V, nous avons pris :
vzz2 mètres qui correspond à :
pour le cas du débit maximum, et à :
•pour le cas du débit minimum.
Le nombre de tours que fera la roue par minute est :
Pour calculer la profondeur (R— r) de l'aubage, il faut tenir compte de la place occupée par les aubes.
Nous avons vu, page 208 de la 4« Introduction de la Série D, que le coefAcient de réduction tenant compte de l'épaisseur de l'aubage a pour valeur :
Or:
^ 2:tR'
pas de l'aubage sur sa circonférence moyenne d'immersion ; ou :
nombre des aubes.
ezz0»,027
épaisseur des planches constituant les aubes ; Donc :
La roue ayant 6 mètres de diamètre, nous lui avons donné C bras et 48 aubes, nombre multiple de celui des bras.
L*écarte ment de ces aubes sur la circonférence extérieure de la roue est donc :
„ 2^R 2icX3» ^^ ^j,^.
Ce nombre est compris entre les limites 0*,32 et 0*,50 admises dans la pratique, nous l'avons adopté définitivement. La profondeur (R— rj de l'aubage se déduit de l'équation :
Q:r:0,92xK«R*-r*)X^ (259)*)
Nous en tirons :
0,92xK/u
dans laquelle :
Rii:3 mètres,
rayon extérieur de la roue ;
débit maximum par seconde ;
coefficient de remplissage pour le cas du maximum de débit;
/ir:3 mètres,
largeur de la roue ;
v=2 mètres, vitesse de la roue.
Donc :
r^ y 9— ^ ^ ZZ^^d"^ ^ ^^= 2",054.
Nous en déduisons la profondeur de l'aubage :
R— m3«— 2«,054=0",946 ; la hauteur de l'eau dans l'aubage sera;
(voir la flg. 2 de la planche XXVII).
Comme le niveau d'aval varie de 0",30, il ne reste plus que 0*,410 de
(') Voir la 4* IntrodacUon de la Série D, Hydraulique appliquée, page 192.
264 PAETIB DIDACTIQUE
hauteur d'eau dans Faubage pour le cas du mimmum de débit.
Nous ne pouvons obtenir la condition iznp dans le cas da débit minimum qu'en faisant croître la vitesse de la roue ; mais comme l'arbre de couche doit faire un nombre de tours constant et fixé à 40 par minute d'après le programme, nous aurons dans ce cas une insuffisance d'immersion, c'est-à-dire que t sera plus petit que p\ à l'étiage.
En effet :
i'=0«»,710— 0",3(K)^0»,410, tandis que :
En admettant que la période des hautes eaux est celle qui dure le plus longtemps, nous établirons la roue en vue d'utiliser la chute et le débit dans le cas, et d'avoir pour cette période tizp.
Dans le cas où la période des eaux moyennes serait prédominante, on établirait la roue en vue de l'utilisation de la chute correspoudante et du débit moyen :
^,200+3.300^gQ ^^^^
par seconde, ainsi que nous l'avons dit dans la quatrième Introduction de cette Série,
S 4. — Tracé de la direction de l'aubade*
La direction de Taubage s'obtient en composant la vitesse de rotation » à la circonférence de la roue avec la vitesse absolue d'arrivée de l'eau Vi correspondant au minimum Ai=l",095de latête d'eau.C)
Donc, au point m (voir la fig. 2 de la pi. XXVII), où le filet supérieur de la lame d'eau correspondant à la levée e4=0*,23& coupe de la circonférence extérieure de la roue, nous composons la vitesse absolue d'arrivée de l'eau :
V4=4'»,218, avec la vitesse :
v=VcosYv,
mmmmtmmmmmmmmmmmmmi^t^^mm
*) Voir la 3* latrodaetion de la S^rie D, HyiravÀiqy^ appliquée, pages 170 et
obtenue en projetant Yi sur la tangente en m à la circonférenee extérieure de la roue.
La vitesse t»==2",00 et la direction de Taubage obtenue en menant par m une parallèle à w^» passe par le centre de la roue.
Nous avons également indiqué, en pointillé, la composition de la vitesse V correspondant au maximum h=il"»,495 de la tête d'eau, et prise pour le filet supérieur n, la levée de la vanne étant eir0",300, avec la vitesse t;=2",60 prise au point où ce filet supérieur coupe la circonférence extérieure de la roue.
On voit que dans ce cas, Teau frappera en avant les aubes dirigées suivant le rayon ; ce cboc dans le sens du mouvement est préférable au choc à l'arrière et détermine une moins grande perte de travail.
Les aubes et les coyaux ont donc une direction radiale jusau'à une distance de 0",710, à partir de la circonférence extérieure de la roue; cette distance est égale à la profondeur de l'eau dans l'aubage dans le cas du maximum de débit. A partir de ce point ils présentent un pli pour la contr'aube et sont inclinés à 45* sur la direction du rayon ; les coyaux se présentent obliquement sur les jantes en fer plat et y sont fixés au moyen de deux rivets.
S 5. «» Xravall utile et rendement.
Nous établirons le calcul pour les deux cas, c'est-à-dire pour les deux débits extrêmes du cours d'eau .
Le travail utile de la roue est donné par l'équation (174). O
Evaluons les pertes de travail dont la somme est représentée par Tf.
Premier cas, — Débit de 3,300 litres par seconde. — P Perte par le frottement de l'eau à son passage sous la vanne et sur le coursier qui la conduit à la roue.
Elle est comprise entre :
0,05PVa 0,06PV'
nous en tiendrons compte dans le choix du coefficient représentant le rendement pratique du récepteur.
2* Perte due à la vitesse relative d'entrée de l'eau sur la roue et égale à:
n Voir la 8® Introdaction de la série D, Hydraulique appliqtêée.
256 PARTIE DmACTIQUE
nous prendrons pour w la valeur correspondant à V maximum, soit:
Donc:
Pw' 3300'^X474 2g ~ 2X9,8088
-:z3256kpn-
La contr'aube a pour effet de diminuer un peu cette perte ; comme on ne peut calculer exactement la portion de chute restituée ainsi, nous considérerons cette perte comme existant tout entière.
3^ Perte résultant du jeu existant entre la roue et son coursier. Nous avons approximativement :
d'où l'angle :
et :
Appliquons, pour le calcul de cette perte, la formule (251). O Nous avons dans ce cas ;
R=3 mètres
N=48 aubes. ■
Le terme constant de la formule (251) a donc pour valeur, tous calculs effectués :
Nous calculerons l'intégrale par la formule de Th. Simpson. Les valeurs de a et de (sina)^ pour les différents points de division sont inscrites dans le tableau suivant :
(') Voir la 4* Introdaction de la Série D, Hydraulique appliquée, page 184.
N°» des divisions Valeurs de l'angle a Valeurs de (sin a)î
Nous avons donc :
/ (8in«)5=3^ 0,7852+4 0.3402 +2 0.4344 =0,i Jo 3X101 "^ 0,5287 p,6204y
Donc la perte de travjiil provenant du jeu qui existe entre la roue et son coursier est :
1 l,378x0,3599=4kgi", 10.
4» Perte due au frottement de l'eau contre le coursier. Cette perte de travail, en une seconde, a pour expression :
PxarcAxRxi±^^x6,»», et pour valeur numérique :
330o^i.ai3x3x' ^+.'^;^+;^J' °'xo,oo(>«>^=g,>..^.
5° Perte provenant de ce que l'eau quitte Taubage avec la vitesse même de la roue.
Cette perte a pour valeur -—; or:
t;=2°», et P=:3300 kg; donc :
Noua n'avons pas à tenir compte de la sixième perte indiquée à la page 185 de la A^ Introduction de la Série D,Qpuisque la profondeur de l'eau dans Taubage est égale à la hauteur de l'eau dans le canal de fuite c'est-à-dire que p=i.
En additionnant les différentes pertes calculées précédemment, nous obtiendrons la valeur de T/*, donc :
T/=:3KCk8»+4»'^,10+27k»m,9e4^2if»n»,86=S060k&n,88-
Comme nous avons produit un ressaut superficiel dans le canal de fuite, la roue fonctionne comme si la chate était:
H'=H+t'— i=2M00-fO-,102==2-,202.
(Nous calculons plus loin ce ressaut et Tapprofondissement à donner au canal de fuite pour l'obtenir).
Le travail brut de la chute, dans le cas du maximum de débit, est donc :
PH'=3300kgX2«;202=7266k«n,60 .
Le travail utile fourni par la roue est :
T«=PH'— T/i=7266»«»,60— 3960ï^88«3305^8°»,72,
et le rendement théorique de la roue est :
PH' 7266,6(y^««^ '
Pour obtenir le rendement pratique, il faut multiplier le rendement théorique par un coefficient égal & 0,90, O
Le rendement réel de la roue est donc :
ce rendement est compris dans les limites 0»40 et 0,55 que noas avons indiquées dans la 4* Introduction de cette Série.
Le travail réellement transmis par la roue, dans le cas du maximum de débit, est doue égal à :
0,41x7.266k»ni,6r:2979^8«.
Calcul du ressaut superficiel. *^ La production de ce ressaut permet d'utiliser environ la moitié de la hauteur due à la vitesse de sortie de l'eau de la roue.
Cette vitesse est égale à celle de la roue, donc t?=2'",00 ; nous récupérons par l'emploi du ressaut une hauteur de chute égale à :
Voir la 4« Introduction delà Série D, Hydraulique appliquée, page 188.
soit ane fi^ction de la choto égala à :
nous ayons donc intérêt à produire le ressaut.
Pour arriver à ce résultat, nous approfondissons brusquement le canal de ftaite à partir de l'extrémité (faval des bajoyers. sans changer la largeur du canal de fuite.
Nous avons vu dans la 2* Introduction de cette Série, page 104 que la relation qui lie les hauteurs de l'eau dans deux sections transversales entre lesquelles se produit le ressaut superficiel et la perte de chute due à ce ressaut, est exprimée par Téquation (130) :
^^'liJr (139)
dans laquelle h et h' désignent les hauteurs de Teau dans les deux sections transversales considérées et C la perte de chute due au ressaut: Cette équation ordonnée par rapport à A' donne ;
or:
An:0«,710 et Ç=0M02,
do ne l'équation ci-dessus devient :
résolue par approximations successives, elle donnd déflnitive-
ment :
l'approfondissement est donc :
A'A 0.,102:nl«,28a- 0-,710— 0«,1Q2:^0«,468.
Deuxième cas* — - Débit de 2;S0O lUres par seconde* — Dans ce cas» les pertes de travail sont les suivantes :
P Nous tiendrons compte, comme précédemment» d« U perte due au frottement de Teau à son passage sous la vanne et sur le coursier
qui l'amène à la roue, par un coefficient pratique affectant le rendement théorique que nous allons calculer.
2* La perte due à la vitesse relative d^entrée de l'eau sur la roue est '
or w,n:3«,72 dans ce cas et Pzz2200 kg donc :
3« Perte résultant du jeu qui existe entre la roue et son coursier.
Nous remarquerons tout d'abord que la valeur de l'intégrale, calculée dans le cas précédent, reste la même ; il n'y a que la valeur de p qui diffère dans la formule.
Dans le cas actuel j»'— 0",473.
Le coefficient de l'intégrale a pour valeur 1 1 ,803 dans le cas actuel tous calculs affectés; la perte de travail due au jeu entre la roue et le coursier est donc :
1 1 ,803x0,3599=4kgm,25.
4** La oerte due au frottement de l'eau contre le coursier a pour valeur :
2200^Xl.l03x3.°X ^'°+^!^ff ^;^f X0.0004X-2;ÔôW8lcgm,42.
5* Perte provenant de ce que l'eau quitte l'aubage avec la vitesse même de la roue.
Nous avons :
Pg;, 2200ic><3 ;^^ 58
6» Perte provenant de l'insuffisance d'immersion de la roue dans le bief d'aval. :
Nous avons en effet dans ce cas :
;>'=0'»,473, tandis que :
le niveau d'aval à l'étiage étant de 0°',300 plus bas que dans les crues.
La perte de travail due à l'insuffisance d'immersion résulte de ce que l'eau en sortant de la roue, à l'aplomb de la verticale du centre, tombe d'une hauteur (p' — i) sans produire de travail.
La perte considérée est donc égale à :
P(P— O=2.200ï^X(0-,473— 0»,410)=138kgm,60
La somme des pertes de travail de la roue, dans ce cas, est donc :
T/^irl551ï^gm,66f4l^gm,25H-28k«m,424-448*cgm,58+138kgm^60ri2171k«ni,51.
Le ressaut prodait est le même que dans le cas précédent, la roue fonctionne donc réellement sous une chute de :
au lieu de fonctionner sous une chute de :
H=7m,70— 5»,70=2in,00.
Le travail brut de la chute est alors :
PH'=2.200kx2m,102=:4624kgm,40.
Le travail théorique recueilli par la roue, dans le cas du minimum du débit est donc :
T»=PH'— T/':=i4624kgm,40— 2171kgin,51=2452kgm,89.
Et le rendement théorique de la roue est :
Tu 2452kgm ,89 ^
PH' 4624kgin,40 ' "
quant au rendement pratique, nous l'obtenons en multipliant le résultat précédent par 0,90.
Nous aurons ainsi :
soit en nombre rond 0,48.
Le travail réellement transmis par la roue, dans le cas du minimum de débit, est donc égal à :
0,48x4624kgni,40=;2219kgm,71,
soit 2.200kgm en nombre rond.
Il y a lieu de remarquer que le rendement de la roue est plus élevé à Tétiage que dans les crues ; c'est un résultat qu'il convient de rechercher afin de compenser ainsi, en partie, la réduction du travail moteur brut qui se produit généralement dans cette saison.
■SB» D. HYO, APP. 24
