DU MESURAGE

ZT DK LAPPREUATIOU DES PLATE8^AIf9£S , ARCS ET TOUTES*

Pour pouvoir mettre à prix les ouvrages de ce genre , il faut eo»naître trois choses :

Leur cube par équarrissement, leur cube en assise, et la surface de leurs paremens de face, d'intrados et d extrados.

Leur cube par équarrissement s'obtiendra comme pour les murs en pierre, eu cherchant à inscrire chaque claveau, ou voussoiren assise, dans le plus petit parallélipipède possible.

Le cube en œuvre s'obtiendra en retranchant du solide formé par les faces verticales , les surfaces d'extrados et le plan passant par la nais^ sance des voûtes , le vide compris entre le même plan et la surface d'intrados.

Ces deux cubes étant connus , en les retranchant l'un de Tautre on obtiendra le cube du refouillement et déchet.

Les surfaces apparentes des paremens de face et celles d'extrados s'obtiendront comme pour les assises en pierre, en distinguant ce qui est sans évidement qui sera toujours compté à l'entier, de ce qui est après évidement , qui devra être compté à moitié.

La mesure d'intrados des plates-bandes et arcs sera toujours le pro^duit de leur pourtour cinglé par leur longueur ou épaisseur; mais la surface d'intrados des quatre principales voûtes qui s'exécutent le plus souvent dans la construction , sont le résultat de règles que nous allons faire connaître.

Règles pour mesurer géométriquement la superficie des différentes espèces de $^oûtes exécutées sur toutes sortes de cintre.

Les voûtes peuvent être considérées comme des constructions en inaçonnerie à un parement, qui est ordinairement courbe. On en distingue de quatre espèces principales, qui sont: les voûtes en berceau , les voûtes d'arête , les voûtes d'arc de cloître et les voûtes sphériques.

La surface d'une voûte en berceau est à son plan de projection, comme la ligne courbe qui forme la circonférence de son cintre est k la ligne droite qui sert de corde à cette courbe.

Application pour les voûtes en pldn cintre.

La circonfëi'ence d'une voûte en plein cintre étant celle d'un demi cercle, son rapport avec son diamètre, qui lui sert de corde , sera comme 11 esta?.

Si le plan de projection est un can^é , dont chaque côté soit de 7 mètres , la superficie de ce plan sera de 49 mètres ; cette superficie sera à celle de la voûte comme le diamètre du cercle est à sa demi-circonfé ren<îe , c'est-à-dire comme 7 est à 1 1 , ce qui donne pour k superficie de cette voûte 49 x^ ou par 1 ^=77.

Si, au lieu d'une voûte en berceau, il s'agit d'une travée de voûte d*aréte , pour avoir sa superficie il faut savoir qu'on démontre en géo^ métrie que les parties de berceau qui se croisent pour former une voûte d'arête sur un plan quelconque , éprouvent des retranchemens capables de former sur le même plan une voûte d'arc de cloître dont la superficie courbe est double du plan de projection ; d'où il résulte que la superficie courbe de ces deux voûtes est égale à celle des deux parties de berceaux dont elles se forment, c'est-àrdire au plan de projection qui leur est commun par ^xS ou par 3;.

Si de cette expression on ôte celle -de la voûte en arc de cloitré , qui est égale au plan de projection multiplié par 2, il ne restera pour la superficie de la voûte d'arête que celle du plan de projection multiplié par 1 ^

Supposant que le plan de projection commun à ces trois espèces de voûtes est un carré dont les côtés sont de 7 mètres, produisant une superficie de 49 mètres carrés, la superficie de la voûte en berceau répondant à ce plan sera 49x1 7, qui donne 77; celle de la voûte en arc de cloître 49x2, qui donne 98, et celle de la voûte d'arête 49 x 1 7 , qui donne 56. D'où il résulte que les superficies de ces trois espèces de voûtes sur un même plan de projection , comparées à celle de ce plan , seraient entre elles comme 49, 77, 98 et 56 : comme 7, 11, 14 et 8.

La superficie de la sphère étant égale à celle du cylindre circonscrit,- *il en résulte que la surface d'une voûte sphérique est égale à celle d'uu^ voûte en berceau de même diamètre sur un plan carré ; ainsi la superficie d'une voûte sphérique de 7 mètres de diamètre serait de 77.mèlrcs carrés.

ApplicatioD8 poar les yo&tes surbaisiëet oa torhaiinéet.

Le cintre de ces voûtes est ordinairement formé par une demî-cîr« eonférence d'ellipse ou une imitation de cette courbe avec des arc de cercle.

Le rapport de la circonférence de Tellipse comparée à ses axes , qui peuvent varier à Tinfini , n*ayant pas encore été déterminé comme pour le cercle, on ne peut le trouver que mécaniquement ou par un calcul extrêmement long, indiqué dans le Manuel d'Architecture de M. S^uin, qui ne le donne qu'approximativement. Plusieurs essais de calculs, que j ai faits à ce sujet, m'ont donné pour résultat une règle facile pour trouver dans tous les cas, d'une manière assez approchée pour l'usage, le développement de la circonférence des voûtes surbaissées ou surhaussées qui ne sont jamais des ellipses parfaites. Cette règle , appliquée à un demi-cintre ou quart d'ellipse , consiste à ajouter au demi-axe qui forme le demi-diamètre de la voûte , les 7 de l'autre demi-axe qui indique la hauteur du cintre ; ainsi , pour trouver la demi-circonférence d'une voûte surbaissée, dont le diamètre serait de 7 mètres et la hauteur du cintre de deux , on ajoutera à trois et demi ( qui est le demi-diamètre de la voûte, les 7 de deux, ce qui donnera i ^, et pour la circonférence entière de la voûte 9 7 ; et si Ton suppose que ce soit une voûte en berceau, dont la longueur serait de 7 mètres, sa superficie serait de 97x7, qui donne 65 mètres.

La superficie des voûtes d'arête et des voûtes d'arc de cloître surhaussées ou surbaissées varie dans ses rapports avec leur plan de projection ; mais, à cintre égal , elles conservent entre elles les mêmes rapports que les voûtes en plein cintre de même genre , c'est-à-dire qu'une voûte d'arête et une voûte d'arc de cloître de même cintre , prises ensemble , ont une superficie double de celle d'un berceau de même cintre et sur un même plan.

Supposons un berceau semblabiC au précédent, dont la superficie soit de 65 mètres carrés : la somme des voûtes d'arête et d'arc declottre de même cintre sur ce même plan serait de 130 mètres carrés. Cette superficie doit se diviser en deux parties, qui soient entre elles comme H est à 8. Dans le rapport , 14 indique la voûte en arc de cloitre, et 8 la voûte d'arête; ainsi , pour avoir la superficie de la voûte d'arc de cloitre dont il s'agit, on fera la proportion 14+8=;33 : 130 :: 14 : .837^ qui

sera la superficie de cette voûte, laquelle étant ôtce de 130, donnera pour celle de la voûte correspondante 47 7;-.

Foutes sphéroïdes surbaissées , sur plan circulaire.

On démontre en géométrie que la superficie d'une demi-sphère est égale au produit de la circonférence du grand cercle qui lui sert de base par le rayon ; d'après cette propriété de la sphère , on pourrait croire qu on devrait suivre la même règle pour les voûtes surhaussées ou surbaissées à base circulaire; c'est-à-dire que leur superficie devrait être égale au produit de la circonférence de leur base par la hauteur du cintre. Ainsi , pour une voûte surbaissée dont le diamètre serait de 7 mètres et la hauteur du cintre d'un mètre, la superficie devrait être égale au produit de 22, qui est la circonférence de la base par 1, qui est la hauteur du cintre, qui donnerait 22 pour cette superficie ; mais, telle surbaissée qu'une voûte puisse être , sa superficie doit toujours être plus grande que celle de son plan de projection , qui doit être de 22 par 1 \ ; c'està-dire au produit de la circonférence par la moitié du rayon , qui donne 38 mètres et demi. Ainsi , la superficie d'une voûte ellipsoïde n'est pas , comme celle d'une voûte sphérique , égale au produit de la circonférence de la base par la hauteur du cintre.

On trouve, parmi les mémoires de l'Académie royale des sciences, de 1719, un mémoire de M. Senès, de l'Académie de Montpellier, sur une nouvelle manière de toiser les voûtes en cul-de four surhaussées et surbaissées. Cette manière est fondée sur une lemme ou proposition démontrée dans les Œuvres de Wallis , célèbre mathématicien anglais.

Le résultat de la méthode de M. Senès > beaucoup trop compliquée pour l'usage , est que , pour les voûtes en cul-de-four surhaussées ou Surbaissées , il faut multiplier la circonférence de leur plan de projection par la racine carrée du produit de leur demi-diamètre , par la hauteur du cintre; ainsi, pour une voûte à base circulaire surbaissée, dont le diamètre serait 7 et la hauteur du cintre 2, le produit du demi-diamètre par la hauteur du cintre sera 3^x2=7, dont la racine 2,65 étant multipliée par la circonférence de la base, qui est 23, donnera pour la superficie de cette voûte 58 mètres 30 centimètres.

Quoique cette méthode ne puisse pas être rigoureusement démontrée, c'est cependant celle de toutes les règles proposées qui approche le plus de la véritable superficie, et qui est la plus simple.