TOME I

Cette règle s'accorde aussi avec les expériences faites par MM. Perronnet , Larablardie et Girard.

Dans le traité analytique sur la Résistance des Solides de M. Girard , on trouve, n°. 8 de la première table, qu'une pièce de bois de chêne posée debout, dont la longueur était de 2 mètres 273 millimètres, la largeur de 155 millimètres f , et l'épaisseur de 104 millimètres, s'est rompue sous une charge de 33120 kilogrammes.

En réduisant les dimensions de cette pièce en pieds, pouces et lignes, on trouve sa longueur de 7 pieds 8 pouces 7 lignes, sa largeur de 5 pouces 9 lignes, et son épaisseur de 3 pouces 10 lignes, formant une base de 3174 lignes carrées. Le poids de 33120 kilogrammes sous lequel elle s'est rompue équivaut à 67663 livres. En supposant cette pièce d'une bonne qualité et sans défaut, sa force moyenne, par ligne carrée, serait de Ai livres pour un cube de même superficie de base; mais comme cette pièce a une hauteur qui est d'environ 22 fois son épaisseur, cette force, doit, d'après la progression que nous avons indiquée, se réduire à moitié, c'est-à-dire à 22. Ainsi, en multipliant les 3174 lignes de la base de cette pièce par 22, on trouvera 69828 pour l'effort sous lequel elle aurait dû se rompre, au lieu de 67663 qu'a donné l'expérience ; mais il est facile de concevoir que le moindre défaut de position ou de qualité peut avoir produit cette différence.

Il résulte de ces expériences que dès qu'une pièce de bois commence à plier , elle perd beaucoup de sa force ; c'est pourquoi un poteau ne devrait jamais avoir en hauteur plus de dix fois la largeur ou le diamètre de sa base.

En ne calculant la force d'un pareil poteau qu'à raison de 10 livres par ligne superficielle , c'est-à-dire qu'au quart de la charge sous laquelle il s'écraserait , on trouve qu'un poteau d'un pied superficiel comprenant 20736 lignes carrées pourrait soutenir un poids de plus de 200 milliers. Cependant, comme il se trouve une infinité de circonstances qui peuvent doubler ou tripler l'effort d'un poids ou d'une charge, il est prudent de ne compter la force d'un poteau dont la hauteur n'excède pas dix fois la largeur de sa base , qu'à raison de cinq livres par ligne superficielle , ce qui réduit la charge à porter par un poteau d'un pied superficiel, à cent milliers, et celle d'un poteau de six pouces en carré à 25 milliers.

Pour un poteau dont la hauteur serait de quinze fois la largeur de la

base , il ne faut compter que quatre livres par lignes ; et , pour 20 fois , 3 livres seulement.

Dans l'usage ordinaire les charges sont beaucoup moins considérables, parce qu'il ne suffît pas, comme nous l'avons déjà dit, qu'un poteau ait une étendue de base proportionnelle au fardeau qu'il a à soutenir; il faut de plus qu'il ait une stabilité convenable en raison de sa situation et de son isolement. Ce degré de stabilité porte le rapport du diamètre de la base avec la hauteur de sept à dix.

3°. De la force des bois couchés.

Toutes les expériences faites sur les bois couchés, c'est-à-dire posés horizontalement selon leur longueur sur deux appuis, prouvent qu'à grosseur égale, leur force diminue en raison de leur portée, c'est-à-dire de la distance entre les appuis.

Dans les bois de même longueur entre les appuis, la force est en raison de leur largeur et du carré de leur hauteur ou épaisseur verticale.

Expériences.

Une tringle en bois de chêne, de deux pouces en carré de grosseur sur 24 pouces entre les appuis, s'est rompue sous une charge de 2304 livres; tandis qu'une autre de même grosseur et de 18 pouces entre les appuis, a porté 3105 : d'où il résulte que la force de ces deux tringles est à peu près en raison inverse de leur longueur entre les appuis. Le rapport juste donnerait 18 : 24 :: 2304 : 3072, au lieu de 3105.

A Utre expérience.

Une autre tringle en même bois , de deux pouces sur 3 pouces de grosseur , posée de champ , c'est-à-dire sur la face de 2 pouces de largeur , celle de 3 pouces étant d'aplomb sur deux appuis éloignés de 24 pouces, s'est rompue sous une charge de 5123.

Par l'expérience précédente , on a trouvé qu'une tringle de 2 pouces en carré, posée sur deux appuis éloignés de 24 pouces, a porté 2304. Pour que les forces de ces deux tringles fussent exactement comme le carré de leur hauteur, on devrait avoir 4:9 :: 2304 : 5184. C'est-à-dire qu'elle aurait dû porter 5184 au lieu de 5123. Cette différence, qui peut avoir une infinité de causes, n'empêche pas de reconnaître le rapport indiqué par la théorie.

Autre expérience.

Une autre tringle en même bois, de mêmes dimensions que la précédente , posée de plat, c'est-à-dire sur la face de 3 pouces de large, celle de 2 pouces étant d'aplomb et les appuis à même distance , s'est rompue sous un poids de 3475 ; d'où il résulte que les pièces de bois qui ont une même épaisseur verticale , ont une force qui est en raison de leur largeur : ainsi, en prenant pour point de comparaison la pièce de 2 pouces en carré qui a porté 2304, on aurait dû avoir 2 : 3 :: 2304 : 3356, au lieu de 3475.

Il résulte d'une infinité d'autres expériences et de calculs faits pour trouver le rapport de la force absolue du bois de chêne , à celle qu'il a étant posé horizontalement sur deux appuis, que le moyen le plus simple est de multiplier la surface de la grosseur de la pièce par la moitié de sa force absolue, et de diviser le produit par le nombre de fois que son épaisseur verticale est contenue dans la longueur comprise entre les appuis.

Nous allons appliquer cette règle aux expériences rapportées par plusieurs auteurs : 1 °. A celles faites par M. Bélidor sur des tringles en bois de chêne de 3 pieds de long entre les appuis , sur un pouce en carré. Le poids moyen sous lequel elles se sont rompues est de 187. Comme la force absolue pour chaque ligne superficielle varie de 90 à "102 livres, cette force moyenne serait de 96 livres, et de 48 livres pour

la moitié, et la règle donnerait ^£ — — 1 92 au lieu de 187.

Trois autres tringles de 2 pouces en carré sur même longueur entre les appuis, se sont rompues sous un poids moyen de 1585 livres. La rèele aurait donné 7 „ = 1 536.

Trois autres tringles de 20 à 28 lignes d'équarrissage, posées de champ, ont porté, pour poids moyen, 1660 livres. Le calcul aurait donné ^££ = 1734.

Les expériences faites par M. Parent, et un grand nombre d'autres que j'ai répétées, donnent des résultats qui s'accordent avec la méthode proposée. Mais comme ces expériences ont été faites sur des pièces de petites dimensions , nous avons pensé qu'il était avantageux d'en faire l'application aux grandes expériences de M. de Buffon; cependant comme il résulte de ces expériences que la force des bois de même grosseur posés

horizontalement ne diminue pas exactement en raison de leur longueur, comme le suppose la théorie sur laquelle est fondée la règle précédente, nous avons cherché , pour la rendre plus conforme à l'expérience, à y faire quelques modifications qui n'en rendent pas l'application plus difficile. Il résulte des expériences de M. de Buffon, qu'une solive une fois plus longue qu'une autre de même grosseur, ne porte pas la moitié du poids que soutiendrait la plus courte. Ainsi on trouve qu'une solive de 7 pieds de longueur sur 5 pouces en carré de grosseur , s'est rompue sous une charge de 11570 livres,

tandis qu'une autre de même grosseur, sur 14 pieds de

longueur, n'a pu porter que 5388

et une troisième de 28 pieds de longueur, dont la grosseur était aussi de 5 pouces en carré, a porté, avant de

se rompre, une charge de 1956

En conservant le premier résultat pour point de comparaison , l'application de la règle sans modification, donne pour 7 pieds 11570

Pour U pieds 5785

Pour 28 pieds 2892 {

11 résulte de cette différence, qu'on peut attribuer à la flexibilité du bois, que les forces de ces pièces, au lieu de former une progression géométrique décroissante, dont l'exposant est le même, en forment une dont l'exposant est variable , et que ces forces peuvent être représentées par les ordonnées d'une courbe que nous avons reconnue être une espèce de chaînette.

OBSERVATIONS

Il faut remarquer, relativement à la diminution de la force des bois qu'elle doit être non-seulement proportionnée à leur longueur et grosseur , mais de plus , modifiée en raison de leur force absolue ou primitive, et de leur flexibilité; en sorte que des bois absolument de même qualité devraient donner des résultats qui suivent une même loi, de manière à former les ordonnées d'une courbe qui ne présente aucune inflexion ni ondulation dans sa trace ; ainsi , dans les pièces dont les grosseurs et les longueurs forment une progression régulière, les défauts ne peuvent être causés que par une différence dans leur force primitive; et comme cette force varie dans les pièces prises dans un même

tronc d'arbre , il est impossible d'établir une règle qui donne des résultats qui s'accordent toujours avec l'expérience, maison peut, en prenant une force primitive moyenne, obtenir des résultats assez exacts pour l'usage ordinaire.

Prévenus que la force des pièces de bois posées horizontalement ne diminue pas précisément en raison de leur longueur entre les appuis , nous avons cherché, en comparant les résultats d'un très-grand nombre d'expériences faites sur le bois de chêne, à découvrir en quelle raison se fait cette diminution.

Il résulte de tous les essais que nous avons faits, que, pour avoir cette diminution ou force relative, la règle la plus simple, et qui s'accorde le mieux avec l'expérience , est :

1 °. D'ôter de la force primitive le tiers de la quantité qui exprime le nombre de fois que l'épaisseur verticale est contenue dans la longueur de la pièce entre les appuis.

2°. De multiplier le reste par le carré de la hauteur de la pièce;

3°. de diviser le produit par le nombre qui exprime le rapport de l'épaisseur verticale à la longueur.

Ainsi , nommant la force primitive a , le nombre de fois que l'épaisseur verticale est contenue dans la longueur == b, l'épaisseur verticale de la pièce = e , sa longueur = /,

— * v on aura la formule générale - qui se réduit à -b — "•

Supposons la force primitive a = 59 , 59 pour une ligne carrée , on trouvera que , pour une solive de 5 pouces en carré, sur 18 pieds de longueur entre les appuis, ou 216 pouces, le rapport de l'épaisseur verticale à cette longueur sera exprimé par -^ = 43 , 2 = b.

L'épaisseur verticale étant de 5 pouces ou 60 lignes, ee sera 3600; substituant ces valeurs dans la formule t—Jl — If on aura f)'3;? .

— qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, 3765 f, au lieu

de 3815, trouvé pour résultat moyen d'après les expériences de M. de Buffon , faites sur deux solives de mêmes dimensions que celle sur laquelle nous venons d'opérer. Mais comme la force primitive moyenne de ces solives était , d'après la deuxième table , de 60 , 1 8 au lieu de 59, 59 que nous

CONNAISSANCE DES MATÉtUAlj X. 239

avons pris pour force moyenne de toutes les pièces indiquées dans cette table (i'ojez ci-après), nous avons dû trouver moins ; on trouvera même qu'en prenant pour la valeur de a de la formule, 60, 18, on aura

— qui donnera, comme l'expérience, 3815.

Les cinq tables qui suivent offrent une comparaison des résultats des expériences faites par M. de Buffon, sur des solives de 4, 6, 7 et 8 pouces de grosseur en carré sur différentes longueurs, avec ceux trouvés par notre règle modifiée.

La première colonne indique la longueur des pièces en pieds;

La seconde, le rapport de leur épaisseur verticale à leur longueur;

La troisième , le poids de chaque pièce en livres ;

La quatrième, la flèche de leur courbure avant de se rompre;

La cinquième , la force absolue ou primitive , c'est-à-dire celle indépendante de leur longueur.

La sixième indique cette force réduite en raison du rapport de l'épaisseur verticale des pièces avec leur longueur , donné par la seconde colonne.

La septième indique les charges que les pièces ont portées avant de se rompre, indépendamment de leur poids.

La huitième indique l'effort moyen sous lequel les pièces se sont rompues, en y comprenant la moitié de leur poids (l'autre moitié agissant sur les appuis).

La neuvième indique la force réduite des pièces en raison du rapport de leur épaisseur verticale à leur longueur, en supposant une force primitive égale pour toutes les pièces d'une même table.

Enfin la dixième indique les résultats du calcul d'après l'application de la règle que nous venons de proposer.