CHAPITRE PREMIER
PS LA IfOUSSÉI DBS TBAIBS.
On remarque que les terres prennent d'elles-mêmes un talus proportionné à leur consistance. Pour avoir quelques données à ce sujet, nous avons fait faii^ une caisse dont un des côtés peut s'dter lorsqu'elle est remplie de la terre qu'on veut éprouver. Il résulte de plusieurs expér riences faites avec différentes espèces de teiTes, que la plus mobile est le sable fin bien sec, ou le grés pulvérisé. Le talu^ qu'il prend, lorsqu'on ote la' dalle qui forme le côté mobile , forme an angle de 55 de* gras 7, avec un plan vertical , et de 3^"* { avec le* plan horizontal , sur lequel pose le sable ou le grès. Dans l'usage ordinaire, on suppose que les terres forment un angle de 45 degrés; c'est, à ]>eu de chose près, rinclinaison moyenne que prennent les terre^ nouvdlement riemuées et jetées sur ]a bei^e.
M. Bélidor, pour pai^enir à évaluer la poussée des terres contre les murs de terrasse ou de revêtement pour les fortifications, divise le PL 192. triangle EDF, Figure 1 , Planche CLXXXXII, représentant la masse de terre qui opère la poussée, par des parallèles à sa base ED , formant des tranches d'égale épaisseur qu'il suppose divisées en triangles égaux entre eux, et semblables au grand; d'où il résulte qu'en prenant le premier triangle a¥b pour unité, la seconde tranche est 3, la troisième 5, la quatrième 7, ainsi de suite, en suivant une progression dont la différence est 3.
Chacune de ces tranches étant supposée glisser sur un plan incliné parallèle à ED pour agir contre la face FD , si on les multiplie par la hauteur moyenne à laquelle elles agissent , la somme de ces produits donnera l'efibrt total qui tend à renverser le mur; mais comme cette somme est égale au produit du triangle total par la hauteur déterminée par la ligne tirée de son centre de gravité parallèlement à sa base , c'est cette dernière méthode que nous Hvons suivie , parce qu'elle est beau-
coup moins compliquée et plus facile , et que d'ailleurs M. Bëlidor, pour rendre sa méthode moins difficile, a recours à des suppositions qui ne sont pas rigoureusement exactes.
Première application.
La caisse indiquée au commencement de ce chapitre a de longueur 16 pouces 7 sur 12 pouces de lai^e et 17 pouces ^ de hauteur, mesurés dans œuvre, c'est-à-dire à l'intérieur; comme le talus que prend la poudre de grès lorsqu'elle n'est pas soutenue par la dalle de devant , fôrme avec l'horizon un angle de 34 degrés \, la hauteur AE, Figure 1 , est de 1 1 pouces \ , de sorte que la partie qui agit contre cette dalle est représentée par le triangle EDE.
Pour trouver par le calcul la valeur de cet effort et l'épaisseur que doit avoir la dalle pour y résister, il faut, 1^ chercher la superficie du
triangle EDFs^ — ^-^ — ^qui donne 93^, mais comme la pesanteur
spécifique (c'est-à-dire à volume égal) de cette poudre de grés ft'est que les ^ de celle de la dalle de pierre qui soutient son efibrt, elle se réduira à 73 ^ x 77, qui donne 81. Cette masse étant censée glisser sur le plan ED, son effort sera à son poids comme AE est à ED : : 11 -^ : 20
ce qui donne 81 x -7^=^ ^5,9: il faut considérer cet effort comme une
puissance oblique ^r, passant par le centre de gravité de la masse,
et agissant à l'extrémité d'un levier ik. Pour parvenir à connaître ce
bras de levier dont la longueur dépend de l'épaisseur de la dalle que
l'on ne connaît pas encore, on remarquera que les triangles 9^ r, qho,
et kio étant semblables, ont leurs cètés proportionnels, ainsi on aura
qs: sr:: qh : ko;etf comme ko=^hk — ko,on mxtei qriqs :: hk — ho : 5^
d'où Von tire îr=îii:^^>^'.
Les trois c6tés du triaaigle qsr sont connus à cause de la position de l'angle q au centre de gravité du grand triangle EFD, qui donne chacun des côtés^ du petit triangle ^al au fiers de celui du grand , auqud il correspond*
Ainsi désignant le côté qr par a,
le côté qs par h^
le côté rs par c,
^À qu'on ne connaît pas par x^
hk par/, Teffort de Ia poussée 45,9 par />, la hauteur de la dalle DF par dj
on aura è:c :: è + x:^£i^ = Ao et AA — Ao, sera/—^^^
Pour avoir i A:,on fera la proportion a : b iif^^ — r — : ik
d'où Ton tire ik=-^^ en sorte que la poussée pxik est re^
présentée par /> f -=^^ j à laquelle devra faire équilibre la résistance
de la dalle exprimée par -y-; on aura donc Téquation d'équilibre
ou :c^ + ^IÎl=MÈt±l, ad ad
Pour rendre la solution plus facile , faisons ^ '^~J ^=2m,et~=2^^
ad ad
on aura x' + 2nx=:3m, équation du second degré qui résolue nous, donnera x=-V^2m+na — /i, qui est la formule générale pour résoudre tous les prpblémes de ce gçnrç.
Reprenant les valeurs des quantités connues, ejcprimées par des lettres, on aura a?= 67,
m = ©6 x"^— 7 deviendra iîw=45,9x5; x ^/, ,/, , qui dcmne , après
CM O î -j» 1 1 j
avoir fait les calculs indiqués, /7i=<2,70, et 2m=25,4; et — -
ad
deviendra ^^4111^=2,28, et nn=5,20.
THÉORIE DBS CONSTRUCTIONS. 177
Ainsi , la formule x==\/2mH-ii3n — n donnera x=V25,4+5,20 —^2,28 ; x=V^— 2,28; enfin, jc=5,50— -2,28=3,22.
Ce résultat s'accorde autant qu'il est possible avec Texpërience , car il a fallu, pour le cas dont il est question , une dalle de 3 pouces ^ d'épaisseur pour résister à Tefiort de la poussée de la poudre de grès qui renversait une dalle de 3 pouces d'épaisseur.
Par la méthode de M. Bélidor, on aurait trouvé 4 pouces 7;, mais nous avons déjà observé que dans cette méthode , Tapplication des principes n'est pas faite comme il convient.
Deuxième application.
Lorsque la même caisse est tout-à-fait remplie de poudre de grés , îl faut une dalle de 5 pouces j pour résister à sa poussée.
Pour appliquer la formule précédente à cet exemple , il faut d*abord chercher la superficie du trapèze BEDF, Figure 2, qu'on trouvera de 195 ^, qu'il faudra multiplier par ^ pour la réduire à une même pesanteur spécifique que la dalle, ce qui donnera 169 f. Cette maése étant x^ensée glisser sur un pl^n incliné ED, son efibrt parallèle à ce plan
sera ^^5 | x -rr^, qui donne pour cet effort 95,76 désigné par/?; ayant
.trouvé que dans la formule qs^ désigné dans la première équation
par h = 6,93, que sr désigné par c = 4,76, que qr désigné par a = 8,40, /= 11,3, rf=17,5,
l'épaisseur de la dalle = f A — x^mzsr^phyc.'^—^ deviendra , en substi-
tuant les valeurs , m = 95,76 x 6,93 x ' ' ^ , et faisant les calculs in-
diqués, on aura m=29,52, et 2 m= 59,04; n=:^ deviendra
n= ' ; et après les calculs faits, n=3,1 et nn = 9,61 , substi-
tuant ces valeurs dans la formule ar= ^2m+nn — n, on aura x= v^59,Ô4+9,6f — 3,1; Jc,= y^6M5— -3,1.ar=8,3— 3,1, et enfin ap=5,2.
On voit que le résultat de cette seconde application est encore cou^
forme à Texpërience; c'est une nouvelle preuve de Tavantage que peut procurer l'union des principes de la théorie avec Texpérience.
Troisième apptication.
\jdL même caisse remplie de terre ordinaire bien sèche et pulvérisée , forme un talus de 46 degrés 50 minutes; la superficie de la partie poussante est de \H pouces-^, mais comme lé poids de cette terre, à volume égal , n'est que les \ de celui de la dalle qui la soutient , elle se réduit à 108. L'efibrt de cette masse , en agissant selon la direction oblique qr^ est à son poids comme AB est à BD, c'est-À-dire comme M \ est à 24, ce qui le réduit à 78 1.
La partie poussante étant, dans ce cas-ci , un triangle BDF semblable au petit triangle qrs^ leurs côtés seront proportionnels. Un de ses angles étant placé au centre de gravité du grand triangle, comme dans la première application (page 117, paragraphe 7), chaque côté de ce petit triangle sera le tiers de celui du grand triangle auquel il cor* i^espond.
Ainsi, en conservant les mêmes notations que ci-*des8us, nous aurons-
q r désigné par a = 8 , qs désigné par h = 51, sr désigné par c = 5 j, sT} désigné par/==± 1 ^ , l'effort de la poussée désigné par /> = 78 i , la hauteur de la dalle désigné par d=2=17 7.
D'après ces données, m de la formule exprimée paï* P^X-^ donnera to=s 78,55, X 5,5 x -l-^-j^qui se pëdnit, d'après les calculs faits, *Jii=s48,04 et 2m=36,d8.
n de la même formule, étant =^, deviendra „ ^78.55x5.83 ^^. ^ ^^^.^ ^ ^__3 j et im= 10,24 ; substituant ces var
leurs dans la formule x=\/ÏÏm^fTm-^n, elle devient
X =ss V36,08H-1 0,24 —3,5, qui donne, après les calculs faite, «=6,8—3,2, et enfin jc=3 pouces ^.
Nous observons que rexperience ne donne que 3 pouces, parce que cette terre ne coule pas aussi facilement que le grès pilé ou le sable fin : aussi les résultats de tous les essais que nous avons faits avec diverses sortes de terres , sont toujours moindres que ceux du calcul : les terres un peu humectées coulent encore moins. La moindre inclinaison du talus formée par ces terres, a été de 46 degrés 50, et la plus grande de 54; ainsi rinclinaison moyenne serait de 50 degrés, au lieu de 45 degrés qu^on a pris jusqu'à présent pour base du calcul de la poussée des terres. Cette dernière inclinaison doit donner des résultats beaucoup au-dessus de T^ort avec lequel elles agissent , surtout si Ton a la précaution de battre les terres le long des revétemens , et de les relier par des lits de fascinage qui les empêchent de glisser. D'ailleurs les murs ne sont pas mobiles sur leur base, comme on le suppose pour faciliter lapplication des principes.
Il faut de plus remarquer qu'à la rigueur on devrait supprimer de h partie poussante la tranche E^DV dont l'effort serait soutenu par le petit triangle DV* de la même terre, auquel se trouve substituée une maçonnerie plus pesante, et par conséquent plus forte ; mais cette suppression rendrait la solution de ce problème beaucoup plus difficile , parce que la largeur de cette tranche dépend de l'épaisseur D A que Ton cherche.
Cependant, comme la solidité exige que la résistance des mura soit plus forte que la poussée, on peut adopter cette hypothèse qui réunit le dou<ble avantage de produire ce résultat , et de rendre les opérations plus simples et plus faciles.
Quatrième application.
Ix>rsque les terres forment un talus de 45 degrés , Figure 3 , qu =sr^=:b=rc=- ei/=^— ce qui donne au lieu de
^ ad^ 3 Zad 9ad ^ ^ 9a*
et au lieu de n^ss^ n:=:^—qui se réduit à ~.
ad iad^ 3a
La surface du triangle nectangle isocèle EDF, qui cause la poussée, sera 1 6 ^ x 8 7 = 1 36 dont les \ sont 1 02; ce fë^ultat, qui indique le poids
t80 TRAITE DE L'ART DE BATIR-
de la partie poussante, sera à son effort comme 10 est à 7 , ce qui le réduit à 71 ,4, qui sei^ la valeur de/>; a sera=7 Y
D'après ces valeurs , on aura
7MX16.5 1178,1 .^^^ 71,4 o ^^ - ^^^
'w=-7F;^9- = -7Ô^=1M3;n=^j^=3,06 etmi=9,36;
€es valeurs substituées dans la formule x=:^2m^nn — n donnent
j:=V33,66 x9,36— 3,06, = 6,57—309 » «*^ «^fin jc=3 pouces Tv; , ou à peu près 6 pouces 6 lignes.
En adoptant Thypothèse que la poussée des terres se fait selon un angle de 45 degrés, on peut trouver une formule qui n'exige que la connaissance de la hauteur des terres à soutenir : ainsi, reprenant l'équation x= i/ 2m^nn —n dans laquelle nous avons fait voir que
pd p
Pour réduire ces expressions en dautres qui ne contiennent que la hauteur exprimée par d, on remarquera que la superficie du profil de
terre BFD qui cause la poussée, sera exprimée par dx «^"ô'î P*"^'
nant les j de cette superficie pour répondre à la pesanteur spécifique
de la maçonnerie du mur qui doit la soutenir, on aura — x |==-^.
Cette masse agissant sur un plan incliné de 45 degrés, son effort sera à son poids comme la hauteur AB du plan est à sa longueur BD : comme le côté du carré est à sa diagonale, qui se trouve, à très-peu de chose près, comme 70 est à 99, on aura pour l'expression de cet effort
— X gg=P de la formule et pd=—^ x ^.
Cette valeur étant divisée par 9a, on remarquera que a est égal au tiers de la diagonale BD. Ainsi on aura
70 : 99 :: a : „^ ==3a et 9a=z ——r — , ce qui donne 70 - 70 ^
idddXlOxlO ^dddx*9O0 . ,. .^.
dd , dd ^ ^ dd
^XT=^=m et 2m=y
w =f% deviendra ^, ^^ ^ , qui se réduit à
V — ^ L — — ce oui donne a: — \/^ ^ ^^ s^ 3rf 3rf. 3 X . — ^g, ce qui aonne j?y -^^-^—x ^— •^,
en faisant l'application de cette formule à Texemple précédent , on aura .\ / l67Xl6i 16ix3 16^X3 i6|xa ^~ V 8 "*" 16 ^ 16 16 '
qui donne, en faisant les opérations o'zzzzd^SI, comme la formule précédente. C'est de cette dernière , qui est beaucoup plus simple , dont je me suis servi pour calculer les tables qui terminent cet article.
Si au lieu d'un mur à plomb , on voulait construire un mur en talus dont la résistance fût ëgale, il faudrait considérer son profil, Figures 5 et 6 , comme formé d'un rectangle DFHI et d'un triangle HIK. Le talus pouvant être fixé à volonté , sa base IK sera connue, il ne s'agira que de trouver celle DI du rectangle : ainsi faisant
la hauteur du mur = c
la base du talus == a>
la base du rectangle = x,
comme la direction du centre de gravité de ce dernier tombe au milieu de la base DI, son bras de levier par rapport au point d'appui K sera
