SÎ — T
L'épaisseur désignée par e ayant été trouvée dans les application? précédentes e= 3,51 , son carré sera 12,3201 ; et supposant la base du talus égale au sixième de la hauteur=;=4^==3,75, son carré 3era 7,5625. Substituant ces valeurs dans la formule précédente , on aura
qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, a:=1 77, c'est-à-dire qu'en donnant à ce profil un sixième de talus et un pied 77 ou 1 pouce 2 lignes 7 d'épaisseur par le haut , sa superficie serait de 40 pieds î et s^ résistance égale à celle d*un profil rectangulaire, ou d'un mur à plomb, dont l'épaisseur uniforme serait de 3 pieds ^ produisant une superficie de 57 pieds -^ presque double de celle d'un mur en talus. Ce calcul , qui est justifié par la théorie et l'expérience , prouve l'avantage des murs en talus sur les murs à plomb, tant pour la solidité que pour l'économie, lorsqu'il s'agit de murs de revêtement ou de terrasse.
Comme on peut donner différentes formes aux profils des murs qui soutiennent les terres, nous allons comparer la résistance à superficie égale de celles qui sont le plus usitées.
Pour trouver l'épaisseur au sommet d'un mur en talus dont la superficie du profil soit égale à celle d'un mur droit, tel que celui dont il a été question ( ci^demnt page 180 , 4*. application) ayant 16 pieds J de hauteur sur 3 pieds ^ de largélir et produisant, comme nous l'avons déjà dit, une superficie de 57 pieds ^, il faudra, après avoir fixé le talus soustraire la supeiHBcie du triangle (qu'il forme dans le profil ) de la superficie donnée , et diviser le reste par la hauteur. Ainsi pour un sixième de talus , la superficie du triangle étant ,, dans ce cas , de 22 pieds 77 , si on la retranche de la superficie donnée 57 pieds 7—, le surplus 35 ^ étant divisé par la hauteur 16^, donnera pour l'épaisseur FH au sommet , Fig. 5, 2 pieds 77; ou 2 pieds 1 pouce 5 lignes, au lieu de 1 pied 1 pouce
5 lignes que donne le profil , Figure 6. Cette augmentation d'épaisseur produit une plus grande résistance, dont l'expression est égale au produit de la superficie du rectangle FHDI, Figure 5 , multiplié par le bras
2IK de levier A:L, plus la superficie du triangle HIA: multiplié par——,
c'est-à-dire 35 ^ x 3 ^, qui donne 134 i, plus 22 ^ x ^î|i? qui,
donne ii 77, et en tout 176 7;. La résistance du mur à plomb de même superficie repi'^senté par la Fig. t , est égale au produit du rectangle
FDHK, par la moitié de DK, c'est-à-dire il Tr,X ^ , qui donne 1 01 ;V;-
Ainsi, à superficie égale, la résistance d'un mur dont le talus est 7 de la hauteur, est plus d'une fois trois quarts celle du mura plomb, c'est à dire qu'elle est à ce dernier à peu près comme 7 est à 4 , sans avoir égard à la diminution de poussée qui résulte de la tranche de terre mnDY à supprimer, qui a plus d'épaisseur dans la Figure 5 que dans la Figure A.
La Figure 7 indique un profil de mur avec une espèce de .talus du côté des teires et d'aplomb à l'extérieur. Le talus est formé par des assises posées en retraites les unes au-dessus des autres, ce qui produit un plus grand eflfet pour la résistance , parce que la terre trouve des points d'appui dans ces retraites , qui diminuent son action contre ce mur. Malgré c«tté disposition avantageuse , il est facile d'apercevoir, sans calcul, que la résistance de ce profil ne doit pas être aussi grande que lorsque le talus est à l'extérieur, parce que c'est la moindre superficie , c'est-à-dire le triangle FDI qui a le plus grand bras de levier KL, et le rectangle FIHK qui a le plus petit KM. Le talus et la hauteur étant les mêmes que dans l'exemple précédent, le produit de la superficie du triangle par son bras de levier, sera 22 fj X 3 -, qui donne pour la résistance. . . . 69, 2 Celui de la superficie du rectangle par le sien sera 35 ^ x 1 , ^r?
qui donne pour sa résistance . 37,6
106, 8 att lieu de 101 , 64 que donne le profil rectangulaire. Figure 4 , et de 17* -•-» <!»« donne le profil 5 où le talus est en dehors.
Le profil repi'ésenté par la Figure 8 a uû double talus , l'un du côté des terres du sixième de la hauteur formé en dedan», et l'autre d'un douaiéme placé en dehors, en sorte que sa résistance se compose, 1»du
f84 TRAITÉ DE L'ART DE BATIR.^
triangle intérieur FDD multiplié par son bras de levier LK , c'est-à-dire
3'' du rectangle FIHN, du milieu par son bras de levier MK ou
23,72 X 0,72 qui donne • <7,08
et enfin du triangle extérieur HNK multiplié par son bras de levier NK ou 11,35x0,916==. , 10,39
en tout 112,16.
Le profil représenté par la Figure g , formant à l'extérieur un talus d'un douzième de sa hauteur, et à l'intérieur un sur-plomb par encorbellement de même saillie , a une résistance égale au produit de sa superficie FDHK par son bras de levier LK, lequel est égal à la moitié de l'épaisseur du mur, plus à la moitié du talus , c'est-à-dire 57, 75 X 2, 47, qui donne 142 , 64 ; lorsque le talus est d'un sixième, la résistance est 57, 75 X 3 , 1 25= 1 80 , 46 ; ainsi les résistances des profils , Figures 4,5,6,7, 8, 9, seront 101 ,64; 106, 14; 112, 10; 142, 64; 176, 09 et 180, 46.
On voit par ce rapprochement , que les murs les moins propres à soutenir la poussée des terres , sont ceux dont les faces sont à plomb et dont le profil est un parallélogramme rectangle, et que les murs qui ont pour profil un trapèze , résistent avec plus de force ,'surtout ceux dont la face extérieure est en talus , et la face intérieure à plomb comme dans la Figure 5.
Ceux dont le profil est un parallélogramme oblique, Figure 9, opposent encore une plus grande résistance ; mais il ne faut pas que la verticale abaissée du centre de gravité sorte de la base, et même qu'elle passe fes trois quarts. Lorsqu'on a en vue la solidité, il faut préférer le profil , Figure 5 , avec un talus à l'extérieur et d'à plomb du côté des terres : quant à l'appareil et à la manière de construire ces murs , nous renvoyons à ce qui a été dit au Chapitre II du troisième Livre, Tome IIV, pages 19 à 22.
Des contre-forts.
Il a déjà été question au même Chapitre que nous venons de citer. Tome II*., pages 1 9 à 22, de ces espèces de renforts qu'on ajoute aux murs de terrasse, en raison de leur épaisseur et de la manière dont ils sont construits. Nous allons les considérer ici, sous le rapport de la plus grande résistance qu'ils procurent aux murs auxquels on les adapte.
Nous avons déjà remarqué à l'occasion des profils , Figures 5 ^ 6 ^ 7 et 8, susceptibles de se diviser en plusieurs parties , que leur résistance était plus considérable lorsque les plus grandes masses répondaient aux plus grands bras de levier ; c'est-à-dire , en raison de ce -que la verticale abaissée de leur centre de gravité était plus éloignée du point d'appui autour duquel Teffort de la poussée tend à les faire tourner : il en est de même des murs avec des contre-forts ; il résistent davantage lorsque ces jcontreforts sont appliqués à la face extérieure , que lorsqu'ils sont placés à l'in- .' térieur du côté des terres; parce que, dans le premier cas, c'est le mur qui est toujours la plus grande masse qui répond au plus grand bras de levier ; d'où Ton peut conclure que le degré de stabilité des murs dépend souvent de leur forme et de ja disposjition des parties qui les composent. Soit BDEF, Figure 10, le profil d'un mur de terrasse de 16 pieds { de Jbaut et2 pieds ^.d'épaisseur , auquel on veut ajouter des contre-forts de 2 pieds 7 de large s.ur même hauteur que le mu^, afin de suppléer à son épaisseur qui devrait être de trois pieds ~j, d'après les calculs précédens^ page 125, 15* paragraphe, pour pouvoir résister à l'effort de la poussée 4es terres. Nous allons d'abord supposer que les contre-forts doivent être placés à l'intérieur, comme on le pratique pour les murs de revêtement des fortifications , et que l'intervalle entre les contre-forts est égal à la hauteur du mur.
Il est évident que pour avoir la résistance d'un pareil mur avec ses contre-forts , il faut opérer sur une partie comprise du milieu d'un contrefort à l'autre , ou , ce qui revient au même,3ur une des parties intermédiaires et un contre-fort, en y comprenant la partie du mur à laquelle il répond , telles que ESGH et ADBCES, Fig« 1 i . Cela posé , on désignera la hauteur EF,Fig. 10, commune au muret au contre-fort, par d }a longueur de la partie de mur, entre les contreforts, étant égale à la moitié de la hauteur, sera indiquée par r
répaisseur du mur .ainsi que la largeur des contre-forts , que
nous supposerons être égales, par e,
la longueur ou saillie des contre-forts qu'il s'agit de trouver, par x, le bras de levier de la partie de mur, par rapport au point
d'appui K, exprimé dans le profil, par IK, sera -^
le bras de levier KL, du contre-fort, joint à la partie de mur à
laquelle il répond, sera • ^-r^
186 TRAITÉ Ï)E UART DE 6ATIR.
D'après ces données , le cube de la partk de mur entre les contre*
forts , sera flï X -^ X c= -^; son bras de levier étant — , sa résistance sera X -ô="~r"î ^^ ^^^ ^^ contre-fort, joint à la partie à laquelle
il tient, sera (e+^)X<37xe,qui donne dé^+dexy son bras de levier étant ^^~^,8a résistance sera exprimée par
et nommant R Teffort que le mur et le contre-fort doivent soutenir, on aura Téquation
qui devient, en Tordonnant par rapport aux quantités multipliées par Xj et faisant passer les autres dans le second membre,
dex^^2dB^x d^ tP^
Multipliant les deux membres par 2, et les divisant par de pour
dégager xx , on aura xx -f- ^ex = é — -^ ; ajoutant à chaque mem-
bi'e le carré de ^, pour qu'on puisse extraire la racine du premier, an aura
2R d x^-h2cjp+««=5 , dont extrayant la racine, il vient
Puisque ce mur avec ses contreforts doit soutenir un effort égal à celui du mur à plomb, dont nous avons trouvé l'épaisseur (page 179, 4\ appBcation) de 3 pieds ^f^, c'est la résistance de ce mur qui doit être la valeur de R. Pour la trouver, il faut faire le calcul pour une longueur égale à la partie du mur comprise entre les contre-forts, c'est-à-dire à 8 pieds 7, plus 2 pieds 7, qui font 10 pieds J, ou 10, 75, ce qui donne pour le cube 10, 75 x 16, 5x3, 51=622, 59, et pour sa résistance 622, 59 X 1,755= 1092,64 = R; substituant cette valeur, et les autres connues dans la dernière équation , on aura
^ /2185,28" it,25 «r
qui donne> après avoir fait les opérations indiquées^ x as 3,iâ6.
Ainsi la longueur des contre-forte placés à TinUrieur doit être de 3 pieds 7;^, ou 3 pieds 2 pouces 3 lignes, pour que ce mur avec ses contreforts soit en équilibre avec la poussée des terres.
Application pour servir de preiu^e.
Le cube de la partie de mur entre les contre-forte doit être exprimé par 16,5 x 8,25 x 2,5, qui donne 340,312; le bras de levier par rapport au point d'appui K étant 1,25 sa résistance sera 340,3i2x 1,25 qui donne 425,390
Le cube des contre-ferte , en y comprenant la partie de mur à laquelle il répond, sera 3,188 4- 2,5 X 2,5 X 16,5 , qui donne
234,63, et le bras du levier étant égal à ^'^^ + ^'^ = 2,844,
Texpressipn de sa résistance sera 334,65 x 2,844, qui donne 667,287
En tout 1092,677
^u lieu de 1092,64, que nous avons ci-devant trouvé pour la valeur de R ou résistance d'un mur k plomb de même longueur. Cette légère différence, 7^ de pied, vient de ce que la valeur de x devrait être un peu plus petite que 3,188; mais comme elle approche plus de 3,188, que de 3,187, nous avons adopté la première, qui ne diffère pas d'un millième. Si les contre-forte doivent être placés ep dehors, comme aux Fig. 1 2 et 1 3, le bras de levier de la partie de mur entre les contre-forte, désigné par lE, Fig. 1 2, sera ^1 à x, plus la moitié de l'épaisseur du mur, c'est-ànlire
X -f- 2; ainsi son cube étent , comme dans Texemple précédent, exprimé
par ♦y , sa résistence sera -y 4- 4 .
Le cube du contre-fort joint à la partie de mur à laquelle il tient sera
comme ci-devant =s de* 4- dex^ et sa résistance -■ j-^ . Ces
deux résistences réunies donneront Féquation
d^ex d^^ d^^%de^x^dexx ^
ordonnant les termes multipliés par x^ et faisant paaser les autres dans le second membre , Téquation devient
ifexx-f rf3ear + 2A>x ^ A» d^e^ 2 =»n — ^ —;
multipliant par 3 et divisant par dey il vient
- ^ 2K ^ de
XX + dx + 2eai=^ -^ — e^ — -;
et faisant la quantité d+^e, qm multiplie jc = 2 n, on aura
2R de
Ajoutant à chaque membre nn, afin de pouvoir extraire ïa racine du
premier, on aura xx + 2nx + ^='d'e — ^ — j + w*, dont extrayant
^ /J5 de ^
la racine, il vient x + n = y/ j" — «* — 2 + '*'*î ^' ^^™
substituant les valeurs dans cette dernière équation , elle donne'
* == \/îS&-2,5 X 2,5^î^i^^ + 10,75 x 10,75 - 10,75,
qui donne, après avoir fait les opérations indiquées, â?=1,53, pour la longueur des contre-forCs , ou 1 pied 1 pouce 10 lignes au lieu de 3 pieds 2 pouces 3 lignes , que nous avons trouvé pour les contre^-forts placés en dédans, ce qui prouve combien il est plus avantageux de placer les contre-forts à F extérieur qiCà F intérieur, puisque ces derniers exigent près de trois /bis autant dé longueur que lès premiers.
Application pour servir de preuve.
Le cube dé la partie demUr comprise entre les contre-forts, sera, comme dans Texemple précédent, de 340,312; mais son bras de levier
étant de 2,403 sa résistance sera 340,312 x 2,403, qui
donne , 817,769
le cube du contre-fort sera
12,5+1,53 = 3,653 x 2,5 x 16,5 qui donne 150,686; son bras ^de levierétant^',8arésistance8era 150,686 X~ , qui donne 275,152
en tout 1092,921 qui diffère de la précédente à cause des restes obligés qui portent ce dernier résultat plus fort d'environ 4 pouces. Pour achever le parallèle, nous allons chercher quelle devrait être la
THÉORIE DES CONSTRUCTrONS. t89
base du falus qui pourrait suppléer à ces contre-forts. Les murs en talus tiyant partout un même profil comme les mursà plomb, il suffît d'opérer sur la superficie de leur profil, auquel on suppose un pied d'épaisseur. Ainsi ^ le mur à plomb qui sert de point de comparaison ayant 16,5 de haut sur 3,51 de largeur, et un pied d épaisseur, produit un cube de 57,915 , lequel étant multiplié par son bras de levier ^' donnera 101 ,64 pour l'expression dé sa résistance , que noiis indiquerons par R. Exprimant, comme ci-devant^ la hauteur du mut par dy son épaisseur au sommet fixée à 2 pieds 7, par e, on aura la superficie du rectangle connu FHDI, Figure 14,= rfe,- son bras de levier étant
X 4- -5- f sa résistance sera exprimée par defx-ir ^:=dex + -|-.
dx
La superficie du triangle qui doit former le talus sera — et sôfi bras
de levier —, ce qui donnera pour sa résistance — r— . Ces deux expies-
sions réunies donneront l-équation —g— 4- dex -f—^^ = R, qui se réduit en faisant £?e == 2n, et opérant comme pour les exemples
précédens, à x =Y/ — -H /w — n,- dans cette dernière >éqi
et mi =t= 71,23; -v = — j^r-^ — = 18,48
Substituant ces valeurs dans Ta dernière équation , on a x v/89,7l — 8,44 et X =: 9,48 — 8,44 , et enfin x = 1 ,04 ; c'est-à-dire un pied 5 lignes \ environ pour la base du talus, ce qui fiut im peu plus du seizième de la hauteur du mur.
luation
