ST

<o o rf ^

•ô es lô cd

c^ -If «Â rC

i Si

s si s

O ri

PI

^ r« oo

«Ô 9 rî

rî ^ ^

•^ <Ô ro

o ri

KO

00 o fô oô

si ^

O en »o Ô oô m

<N m lo

rC

O «O m oô

3" ® . Si

oô o;

T- o O ô T^ CN

d oô

es «n ^

O oô

S^iggS^MI

O) lA fO r4 ^ e4 rC es ol co

^ a O «A O <v^ K) ^ oô m

X) lo c% Ok

<«^ri^.Âc>^oôdcS(*)2Q

d d oô «ô es en c»> ^

o> « m <n o H <«^ oô «ô es

T- "T- ^ r* o ^' oô «ô es -^

OOOÇiO^OPOp^

esddfsd"«-Ti^^^»ô es*od^di>r^des^

is

si

ili-l

^ d if» d d rC

1^ ni M> d «D d

d l t-' d oô ••-' d r4 O*

p: ri ri ri «ô en

^aO^r^Q^^qO

dd^r^dcô^drid

tN t^ 00 q» o>

S^S»SiS;3:SSS83SiCS

■PV"

Pour la longueur des contre^forts, on a commencé à établir celle pour 10 pieds de hauteur, en raison des talus , ensuite on a fixé leur augmentation pour chaque hauteur de 5 pieds,

à 8 pouces pour un cinquième de talus, à 9 pouces pour un sixième, à 1 pied pour un huitième.

Quant aux largeurs indiquées dans la sixième colonne , comme mon objet était d^avoir toujours une résistance double de la poussée, j'ai été obligé d'employer le calcul pour l^s déterminer.

Le motif qui m'a déterminé dans la fixation du premier terme, à partir duquel doit commencer le complément de mesure nécessaire pour produire cette résistance, est la facilité qui en résulte pour le calcul.

Il nous suffira d'en donner un exemple, pour faire connaître la ma*nière d'opérer.

Ainsi pour un revêtement de 30 pieds de hauteur dont le talus est fixé au sixième, on trouvera dans la troisième table que l'épaisseur au sommet doit être de 4 pieds 6 pouces , ce qui donne pour la superficie de la partie rectangulaire du profil 30 >< 4^. 6^., qui donne 1 35. Pour avoir sa résistance, il faut multiplier cette surface par son bras de levier, égal à la base du triangle formant le talus, plus la moitié de la largeur du rectangle , c'est-à-dire à5-t-3^ou77;ce qui donne. . 978 7.

A ce produit on ajoute celui de la superficie du triangle formant le talus, par son bras de levier égal aux deux tiers de la

30x5 10 base, c'est-à-dire — 5 — x "a"» V^^ donne 250 0.

Et pour ces. deux résistances 1 33S ;.

Pour trouver celle des contre-forts, je soustrais ce total du double de la poussée, qui se trouve pour cette hauteur =*1 938,94, le reste 710,19 est l'expression de la résistance d'un des contre-forts divisée par 18, qui est la distance des contre-forts de milieu en milieu. La longueur de ces contre-forts étant donnée , je puis avoir l'expression de leur résistance, indépendamment de leur épaisseur, en multipliant leur superficie 30 x 7 = 210, par leur bras de levier qui est égal à l'épaisseur du mur par le bas, plus la moitié de la longueur du contresfort, c'est-à-dire à 9 pieds 6 pouces, plus 3 pieds 6 pouces qui font ensemble 13 pieds, ce qui donnera 2730, qu'il faut diviser par 18 pour avoir le quotient 151 |; mais comme la résistance de chaque contre-fort TOMB nr. 27

doit être de 7<0 ^, pour que celle du revêtement soit double de la poussée, on divisera 710,19 par 151,66, et le quotient donnera l'épaisseur des contre-forts de i pieds ^, ou 4 pieds 8 pouces 3 lignes, comme elle est indiquée dans la sixième colonne de la troisième table, sur la ligne qui correspond à 30 pieds de hauteur. Les cubes de maçonnerie qui se trouvent dans la septième colonne , et leurs résistances qui se trouvent dans la huitième, ont été trouvés par les mêmes opérations que nous avons ci -devant détaillées à Voccasion de la résistance des profils de MM. de Vauban et Bélidor. Mais afin de faire connaître pour combien chaque partie contribue à la totalité du cube et de la résistance, nous avons exprimé séparément le cube et la résistance du mur, du talus et des contre-^forts.

Ces trois parties ont été combinées de manière à produire la plus grande résistance avec le moins de matière possible; les épaisseurs de mur au sommet et les dimensions des contre-forts sont en raison inverse des talus , c'est-À-dire qu'elles sont d'autant plus grandes que ces talus sont plus petits.

On peut encore remarquer dans chaque tableau , qu'à mesure que les murs sont plus élevés , les cubes des différentes parties produisent une plus grande résistance; ainsi dans la troisième table, on voit que pour 10 pieds de hauteur, 35 pieds cubes de mur produisent une résistance de 119 pieds 7 pouces, c'est-à-dire plus de trois fois plus grai^de, tandis que pour 80 pieds de hauteur, 560 pieds cubes produisent 9426 pieds 8 pouces, c'est-à-dire une quantité 17 fois plus grande que le cube de matière : de même un talus produisant 8 pieds 4 pouces cubes ne forme pour 10 pieds de hauteur qu'une résistance de 9 pieds 3 pouces , tandis» que pour 80, ce même talus produisant un cube de 533 pieds 4 pouces, forme une résistance de 4739 pieds 10 pouces 10 lignes, c'est-à-dire presque 9 fois plus grande.

EnlSn le cube des contre-forts, qui n'est que de 3 pieds 3 pouces pour 10 pieds, produit une résistance de 23 pieds 5 pouces 6 lignes, c'est-àdire de 7 fois plus grande; mais pour 80 pieds de hauteur^ le cube des contre-forts étant de 491 pieds 2 pouces 9 lignes, produit une résistance de 13557 pieds 5 pouces 3 lignes, c'est-à-dire plus de 27 fois et demie; d'o& il résulte qu'à cube égal,; ce sont les contre-forts qui produisent la plus grande résistance.

Ce résultat ne détruit pas ce que nous avons dit ci-devant^ page 191,.

que le moindre cube de matière que paraissent exiger les contre-forts, se compense par la plus grande dépense qu'occasione le développement de leurs faces et rétablissement d'un massif général au-dessous. Pour le prouver, nous allons prendre pour exemple le dernier article des trois tables pr^édentes, qui indique les dimensions d'un mur de revêtement de 80 pieds de hauteur , avec un talus à l'extérieur et des contre-forts à l'intérieur, espacés de iS pieds de milieu en milieu , comme le propose M. deVauban : ainsi dans la table II*., calculée pour un cinquième de talus, on trouve que pour 80 pieds de hauteur, le cube général du mur avec son talus, ses contre-forts réduits pour une tranche de profil d'un pied d'épaisseur, est 1535 pieds un pouce 10 lignes, formant une résistance de 37724 pieds, évaluée en même matière que le mur*

Nous allons chercher quelle devrait être l'épaisseur à donner à la partie rectangulaire du mur, pour produire une résistance égale en supprimant les contre-forts et conservant le même talus. La résistance de ce talus qui est de 6836 j, restant la même, le surplus de l'efibrt ii soutenir ne sera plus que de 30897 7, nommant R cet efibrt ,

a la base du talus conservé = 16 pieds ,

d la hauteur du mur = 80 pieds,

X la largeur de la partie rectangulaire que l'on cherche , on aura

l'équation ^x x(is + y) = B, qui se réduit, en^ faisant les opérations

ci devant expliquées , à jc = V/ -^ + aa — a, dans laquelle, substituant les valeurs connues , il vient

qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, jp*=11 pieds •^; ainsi en donnant au revêtement par le haut cette épaisseur et un cinquième de talus à l'extérieur, il aura autant de résistance qu'avec des contreforts de 13 pieds de long, sur 6 pieds 5 pouces 1 1 lignes de large : mais au lieu de 1535 pieds 1 pouce 10 lignes cubes de maçonnerie, il en faudra 1593, ce qui fait 57 pieds de plus. Il est évident que cette faible augmentation ne compenserait pas le massif indispensable à établir sous les murs et contre-forts, pour leur procurer une base commune, et obvier à l'inégalité de tassement capable de faire détacher ces contre-

2i2 TAÀITÉ DE L'ART DE BATIR.

forts du mur et de les rendre par conséquent inutiles, indépendamment de la plus grande dépense qu occasione le développement des surfaces de ces conire-forU.

Pour un sixième de talus.on trouve dans la table 111*. ^que pourSO pieds de hauteur, le cube total du mur, talus et conti*e-forts réduits à un profil d*un pied d épaisseur, serait de 1584 pieds 7 pouces 3 lignes, dont la résistance est, comme pour le précédent, de 27724 pieds. Celle du talus étant de 4739 pieds 10 pouces 10 lignes, il reste pour la valeur de R, 22984, celle de a étant 13 pieds 4 pouces, et <;?, 80 pieds.

La formule x ==: \/ -j 4- ata — a, devient

X == V/ — go f-ISjX 13| — 13^, qui donne, après avoir fait

les opérations indiquées, or = 14 pieds 7; pour l'épaisseur à donner au sommet du mur dont le cube , compris la partie formant talus , serait de 1661, au lieu de 1584 pieds 7 pouces 2 lignes qu'il produit avec les contre-forts , ce qui fait 76 pieds \ de différence, laquelle est insuiBsante pour compenser le massif des fondemens et la plus-valeur de la maind'œuvre.

Enfin, pour un huitième de talus, on trouve par des opérations semblables aux précédente^, ar=16 pieds j^y ce qui produit une augmentation de cube de 122 pieds, dont la valeur serait encore au-dessous de celle des massifs et des précautions qu'exigent les contre-forts.

La table Y indique les épaisseurs au sommet et à la base des revêtemens , avec parapet sans* contre-forts pour les trois espèces de talus indiqués dans les précédentes , avec leur cube et leur résistance comparés à la poussée.

Voulant connaître la forme de revêtement qui oppose la plus grande résistance sous le moindre volume , indépendamment des principes de la théorie et des exemples tirés des constructions de ce genre , j'ai fait un grand nombre d'expériences, desquelles il résulte que si du centre de gravité q de la masse de terre triangulaire qui cause la poussée, on mène une parallèle ^rP, Figures 4 , 2 et 3, à la pente que prend naturellement la terre qu'on éprouve , jusqu'à la rencontre de la base prolongée en P , le triangle PDF renrésentera la Figure du revêtement qui oppose la

pi os grande l'ésistance. Ainsr un revêtement en bois dont le profil est égal à ce triangle soutient l'efibrt de la poussée de la poudre de grès, quoique sa pesanteur spécifique ne soit que la moitié de celle de cette poudre.

Cette expérience est d'accoiti avec }a théorie /qui prouve que lorsque la direction d'une puissance ne passe pas au-dessus du point de sa base , qui forme point d'appui , elle ne peut pas le renverser ^ mais seulement le faire glisser.

En supposant que le talus naturel des terres est de 45 degrés comme dans la Figure 3, la base DP du triangle devient le tiers de la hauteur; mais comme le profil des revètemens est presque toujours un trapèze , tel que FDHK, Figure 5, ou un rectangle, il en insulte que lorsqu'ils ont pour base le tiers de la hauteur, ils ne peuvent jamais être renversés par l'effort de la poussée , tel gi^and qu'on puisse le supposer* Ainsi les épaisseurs de la table précédente auraient pu être moindres pour les hauteurs au-dessous de 80 pieds, si nous n'avions eu en vue que la pous^ sée des terres; mais nous avons considéré que ces murs, au lieu d'être d'une seule pièce, ne sont composés que de parties réunies par leurs poids, leur forme et le mortier qui ne commence à les lier fortement qu'au bout d'un certain espace de temps ; en sorte que pour être solides, ils doivent avoir, indépendamment de l'épaisseur nécessaire pour résister aux efforts qu'ils ont à soutenir, une épaisseur qu'on ne saurait fixer à moins de trois pieds. C'est pourquoi nous avons considéré la résistance indépendamment de la direction de la poussée, qui rend son bras de le^ vier nul, dès que la base du mur a plus du tiers de sa hauteur.

Les quatre dernières tables ne diffèrent des quatre précédenies, que parce qu'elles sont faites pour des revètemens sans parapets, ou des murs de terrasse ordinaires , terminés par un petit mur d appui.

Il faut cependant remarquer que dans les tables II, III, IV, la lon-> gueur des contre-forts étant donnée, c'est leur épaisseur que l'on a cherchée par le calcul; au lieu que dans les tables VI, Vn, VIII , c^est la largeur des contre-forts qui est donnée et leur longueur que l'on à cherchée. Par cette dernière méthode , la largeur des contre-forts est égale à r épaisseur du mur au sommet, ce qui produit une résistance plus forte à masse égale, mais l'autre est d'une application plus facile^

La formule pour trouver la longueur des contre-forts, quand toutes les autres dimensions sont connues, est

X = V/ "^ 4- ce — c, dans laquelle

R indique le double de la résistance que doit avoir chaque

contre-fort , /, la distance du milieu d un contre-fort à l'autre , dy la hauteur des terres à soutenir, e^ la largeur du contre-fort, x\ sa longueur, et C9 répaisseur des murs ou revétemens à la base , c'estrÀ-dire

en y comprenant le talus*

Ainsi , pour une hauteur de 30 pieds et un huitième de talus (table VUI), ia résistance de chaque contre-fort devant être 387 * 0*,10' =: R 3 R sera 774» 1«8S/=<8; rf==30;6 = 4, et c =7» 9*; ces valeurs substituées dans la formule, donneront

qui donne, après avoir fait les calculs indiqués, x = 5 pieds 6 pouces 9 lignes pour la longueur à donner au contre-fort.

Il faut encore remarquer que, pour donner plus d'épaisseur à ces murs pour les petites hauteurs, on n'a commencé à leur donner da contre-forts qu'à 35 pieds d'élévation, pour ^ ou 7 de talus, et à 30 pieds pour \.

Quant à la table IX, il n'y a rien à ajouter à ce qui a été dit au sujet de la table Y.

Méthode facile pour trouver Fépaisseur des murs de terrasse et de

revêtement.

Gomme les différentes méthodes que nous avons ci-devant indiquées peuvent paraître trop longues et trop difficiles à plusieurs de nos lecteurs , nous allons terminer cet article par des règles faciles, qui n'exigent que la connaissance des premiers principes de géométrie et d'arithmétique. Ces règles simples donnent des résultats assez justes pour qu'on puisse s'en servir avec confiance , étant fondées sur les mêmes principes

THÉORIE DES CONSTRUCTIONS. 2l4

que les méthodes précédentes, et' donnant des résultats un pett plus forts 9 ce qui est à Tavantage de la solidité.

Première règle. -^Trouver y par une opération géométrique ^ t épaisseur adonner à un mur à plomb j pour qu'il résiste açec une force suffisante à lapoussée des terres.

Ayant trouvé par une expérience quelconque ta pente naturelle de respèce de terre à soutenir, on fera les triangles AËD ou ABD, Figures 1 etS^HancheGLXXXXIIydontleshauteursAEouABySoientégalesàcelle PI* 192^ des terres à soutenir, en sorte que les lignes ED et BD représentent Finclinaison que prennent les terres, lorsqu'elles ne sont pas soute-' nues; ayant divisé ED ou BD en six parties égales , avec une de ces parties pour rayon , et du point D comme centre , on décrira un arc de cercle qui coupera la base AD, prolongée en un point A:, et DA: sera répaisseur cherchée^

Deuxième règle ^ par le calcul.

Si Ton prend 45 degrés pour la pente naturelle des terreis, ainsi qu'il est d'usage, cette ligne BD sera la diagonale d'un oarré,.dont on connaît' toujours le côté AB indiquant la bauteur des terres à soutenir* Pour avoir la longueur de cette ligne BD, il suffît de connaître le rapport du cAté du carré avee sa diagonale; quoique ce rapport soit reconnu incommensurable, on peut cependant, pour l'usage ordinaire , adopter sans erreur sensible celui de 70 à 99 qui donne, à -^ près, le carré* de la diagonale double de celui des côté» dont les racines indiquent le' véritable rapport de ces deux lignes.

Ainsi ^ supposant la bauteur AB de tS pieds , on aura ED= — jg— >

qui donne, en faisant les calculs indiqués, 31 pieds 3 pouces 7 lignes; divisant cette grandeur par 6, le quotient 3 pieds 6 pouces 5 lignes sera l'épaisseur cherchée » au lieu de 3 pieds 1 pouce 9 lignes que donnerait la formule indiquée page 1 75 p ainsi qu'on le vait à la 4*. appUcaiion. page 179.

Si Ton vent wnè ptus grande résistance, Oïi prendra le cinquième aU' lieu du sixième, ce qui donner^ i pieds 3 pouces d'épaisseur au mur, et produira une résistance presque double dé la poussée, comme dans le^ iables^ précédentes.'

Troisième règle.

Si au lieu d'un mur à plomb, on veut faire un mur avec un talus de î, on ne donnera à l'épaisseur du mur par le haut que le neuvième de la diagonale; ainsi pour 15 pieds de hauteur, l'épaisseur par le haut sera de S pieds 4 pouces 3 lignes, et par le bas de 4 pieds 10 pouces 3 lignes.

Si Ton ne veut donner au talus que un huitième, il faudra que l'épaisseur au sommet soit le huitième de la diagonale; ainsi pour 34 pieds de hauteur, la diagonale étant de 33 pieds 11 pouces 3 lignes, l'épaisseur par le haut sera de 4 .pieds 3 pouces 10 lignes, et par le bas de 7 pieds 2 pouces 10 lignes.

Quatrième règle.

Pour trouver l'épaisseur d'un mur à plomb, auquel on veut ajouter des contre-forts de même épaisseur que le mur, éloignés de 18 pieds de milieu en milieu , on divisera la ligne de pente ou diagonale en dix parties égales ; une de ces parties sera l'épaisseur cherchée, temple :

En supposant cette pente à 45 degrés pour 40 pieds de hauteur, la diagopale sera de 56 pieds 6 pouces 1 lignes, dont le dixième sera 5 pieds 7 pouces 10 lignes* La longueur des contre-forts sera le double, c'est-àdire de 11 pieds 3 pouces 8 lignes, et leur épaisseur^ comme celle du mur, de 5 pieds 7 pouces 1 lignes. En faisant le calcul qui résulte de ces dimensionç^on trouvera que la résistance de ce mur avec les contreforts, serait exprimée par 2497p i^ 1^, tandis que la poi^ssée des terres n'est que de 1445.

Cinquième règle.

Si le mur auquel on ajoute des contre-forts avait un talus, pour trouver l'épaisseur du mur au sommet, il faut d'abord déterminer la moindre épaisseur pour 10 pieds de hauteur, afin d'avoir une certaine solidité, indépendamment de celle nécessaire pour soutenir la poussée des terres. Cette épaisseur peut être fixée à 3. pieds; pour les hauteurs au-dessus, on ajoutera pour chaque pied une quantité qui doit être d'aujtant plus grande que le talus sera moindre.

Ainsi, pour un talus de 7 on ajoutera 5 lignes^ pourj — 6 lignes, pour ;-T- 9 lignes;

on donnera aux contre-forts la même épaisseur quVu çiur, et leur longueur sera double.