V-Vo=l,22x||^X

Si la vitesse moyenne dans la colonne ascensionnelle était de 0"',40, on voit que la vitesse varierait entre les deux limites O'^jSl et 0°,49. Pour une colonne ascensionnelle de 200" de longueur, on aurait V — Vo=0",91, ce qui indiquerait que la vitesse deviendrait nulle avant la fin du coup de piston. Ce temps d'arrêt amènerait un retour de la colonne ascensionnelle vers le réservoir d'air, de sorte que le piston d'eau %u commencement de la course, trouvant l'air comprimé, ne pourrait plus descendre qu'en éprouvant lui-même un temps d'arrêt. Pour prévenir cet inconvénient, il suffira d'augmenter la capacité du réservoir d'air, et les équations précédentes fournissent le moyen de la déterminer, de manière que la vitesse ne soit jamais nulle. En eflfet, en écrivant que la différence entre les vitesses extrêmes est égale au double de la vitesse moyenne, on aura la plus petite valeur de A qui remplit cette condition , c'est-à-dire :

*'^^V+Vo s

Ainsi, dans le dernier exemple numérique que nous considérions tout à l'heure, on aurait A=2,29Q; c'est la plus petite valeur qu'on pourrait donner à A pour avoir une marche régulière de la machine, et il va sans dire que dans la pratique elle devrait être considérablement augmentée.

La valeur de V — V© peut se mettre sous la forme :

V V — ^ Q/HrH-H. , ,\^.

On voit que le facteur binôme du second membre se compose de deux parties : la première, relative à la détente de l'air dans le réservoir, est

en général beaucoup plus considérable que la seconde^ qui se rapporte aux variations du niveau de Teau dans cet appareil. Les réservoirs d'air, ordinairement placés près des machines, n'ont que quelques mètres de hauteur; ainsi, pour de Teau élevée à 50° et un réservoir d'air de

6" de hauteur, la quantité ■ * serait dix fois plus considérable que le

chiflfre qui exprime la différence due à la variation de niveau. Cependant, on remplace quelquefois en Angleterre le réservoir d'air par une colonne verticale débouchant à l'air libre; la formule précédente se réduit alors à :

"SSOr^

Cette colonne n'est autre chose qu'un château d'eau, moins la cuvette et le tuyau descendant. En augmentant convenablement la section Qr de la partie supérieure dans laquelle se produit l'oscillation, on peut rendre sensiblement nulle la différence des vitesses.

En résumé, pour ce qui concerne la vitesse de l'eau dans la colonne ascensionnelle, le château d'eau la rend uniforme (on suppose la surface de la cuvette très-fraude par rapport à la conduite de distribution) ; la colonne donne une variation de vitesse très-légère, et d'autant plus petite que sa section est plus considérable ; le réservoir d'air donne une variation de vitesse qui diminue avec sa capacité suivant la formule (52).

Mais le rôle essentiel du réservoir d'air est beaucoup moins de rendre la vitesse uniforme dans la conduite ascensionnelle que de réduire, dans une très-grande proportion, la masse que le piston d'eau doit mettre en mouvement, et de lui permettre de prendre la vitesse qui convient aux organes de la machine sans provoquer un surcroit de résistance.

Considérons maintenant la marche d'une pompe munie d'un réservoir d'air; supposons que la pression du piston d'eau dans sa position moyenne fasse précisément équilibre à la pression moyenne du réservoir d'air, pression qui fait elle-même équilibre h celle de la colonne ascensionnelle. Lorsque la pompe a atteint son mouvement régulier, et que le piston est au haut de sa course, il n'y a plus équilibre, 1^ parce que^ le piston étant plus élevé, la force motrice a augmenté de pQolj et que la force retardatrice du réservoir d'air qui, dans la position d'équilibre était pûo/*(î/o)> ost devenue pûoAî/o + s'); à mesure que le piston descend, la force motrice diminue, mais la vitesse augmente jusqu'au moment où il franchit la position d'é^

DU MOUVËàlEJST VARIÉ DANS LES CONDUITES. 489

quilibre; aloi*s la force i*etardatrice prend le dessus et diminue la vitesse, qui devient nulle à l'extrémité de la course. Le mouvement suit une loi analogue à celle des oscillations d'un pendule qu'on a écarté do la verticale. Les circonstances de ce mouvement sont^ comme on le voit, complètement semblables à celles du n** 113, et peuvent se représenter graphiquement et se calculer de la même manière. Sur la verticale KSÏM (fig. 87 bis, piston d'eau), égale à la course 2/ du piston , portons des ordonnées proportionnelles à la force accélératrice qui en chaque point agit sur la masse en mouvement, nous formerons une courbe Crr'D s éloignant fort peu de la droite CD. Pour avoir la loi de ce mouvement, il sufiit donc de calculer l'excès de la puissance sur la résistance au commencement et à la fin de la course. En prenant, par approximation, pour ÀC une moyenne entre ces deux quantités, il viendra, comme pour le réservoir d'air :

AC=pûo {/+(Hr+Ha + î/o) ^-^j ;

telle est la plus grande surcharge du piston. Si nous supposons que la pression constante du piston soit pQjiy que sa masse soit M = ^-^; si de plus nous posons :

nous aurons pour l'équation du mouvement de ce piston abandonné à lui-même :

«rfti=4;(l-i)rfz; et nous en déduirons, comme au n"" 113 :

„=l/29è = (l-Â), <=l/f .^eos(i-i),)

Ces équations démontrent que l'interposition du réservoir d'air entre la colonne ascensionnelle et le piston fait complètement disparaître l'obstacle au mouvement de ce dernier, et que son changement de position et les oscillations du réservoir d'air amènent dans la force motrice une variation suffisante pour obtenir une assez grande vitesse.

Si, dans l'expression do C? nous mettons pour s + e' sa valeur :

t-f-i' Q H' Oo/e' ,

et si nous nommons b un rapport qui ne dépend que de la surface du piston 9 de la capacité et de la position du réservoir d'air, nous aurons :

et par conséquent e=[/^j;

équation qui fait voir que la durée de la chute spontanée du piston ne dépend pas de la longueur de la course. Supposons

Hr+H.= 60-, j/o=4, A=j/oÛr=*»S i2o=0»S80, ^^=1,

on aura: ^ = Y' e=|/JSo=0,53k^.

Si le piston était chassé par de la vapeur, la longueur So de la masse en mouvement pourrait être peu considérable , la vitesse serait alors trèsrapide ; si, comme dans les machines de Cornwall, que nous allons examiner tout à rheure, le piston devait retomber par l'effet de son poids, on aurait S^> Hr, soit 65°* dans l'exemple que nous venons de choisir, et la chute aurait lieu en 3 ",85. Plus le réservoir est petit, par rapport au volume du coup de piston, plus la durée de sa chute est courte. On pourrait Taccélérer en diminuant la capacité du réservoir d'air; mais dans ce cas les variations de vitesse dans la colonne ascensionnelle deviendraient trop considérables; on a recours alors à un excès de poids placé du côté du piston d'eau. De sorte que la surcharge à l'origine, au lieu d'être AC, est AC (fig. 87 6îs), et la ligne qui représente le travail est CpD\ au lieu de CM'D. On reconnaît, sur la

figure, que le piston arriverait à fin de course avec une vitesse y^ —^

due à la chute de cette surcharge/), et éprouverait un choc violent, si l'on n'avait recours à quelque expédient pour l'arrêter. Cet expédient consiste à laisser, à partir d'un certain moment, de la vapeur se comprimer au-dessus du piston de vapeur, ce qui produit une résistance représentée par pif y de manière que le triangle mixtîligne KppW soit égal au triangle kOlp. D'après ce que nous avons établi plus haut (page 170), la longueur kp sera parcourue dans le même temps que l'était AM', et la longueur /?A' le sera beaucoup plus rapidement, parce que l'angle D pA est beaucoup plus ouvert que l'angle DM' A'. On peut donc din)inuer à volonté le temps de

DU MOUVEMENT VARIÉ DANS LES CONDUITES. iM

la chute du pistou d'eau , au moyen d*un excès de charge. On eét obligé même d'avoir recours à ce système, lorsque le réservoir d'air est remplacé par une colonne d'eau ou par un château d'eau, car on a alors :

^=l/r^ oue=K^;

et comme la quantité S^ est plus grande que la hauteur h franchir, la valeur de 0 deviendrait considérable. Ainsi, pour un château d'eau de 50" de hauteur, on aurait d = T.

Ces calculs supposent que le piston est abandonné à lui-même, ou plutôt à la pression pùji. S'il éUiit mis en mouvement par une machine rotativOi les variations dans la vitesse verticale feraient naître, en certains momentSf des excès de pression faciles à calculer par la formule (51). Mais ici la

masse en mouvement, au lieu d'être la colonne ascensionnelle — * n'est

plus que celle de la petite quantité d'eau qui se trouve entre le réservoir d'air et le piston, augmentée de la masse de toutes les parties de la machiné qui sont entraînées dans le même mouvement. Or, ces masses sont trop faibles pour que leur inertie ait une influence sensible sur la surcharge.

Le réservoir d'air peut donc, dans les machines destinées à élever l'eau, remplacer le château d'eau ; comme lui, il rend uniformes la vitesse dans les conduites et la résistance qu'oppose la masse de l'eau au mouvement régulier des pompes. Cependant nous devons faire observer que, lorsque la conduite ascensionnelle branchée sur le réservoir d'air fait un service en route susceptible de varier, les variations qui en résultent peuvent déterminer ou une accélération, ou des retards, ou des arrêts dans la machine qui fait marcher les pompes. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'é^ lever de l'eau à 50", et que le diamètre et la longueur de la conduite soient tels que la perte de charge soit de 12"" quand toute l'eau est envoyée à l'extrémité. Il est clair que la pression moyenne du réservoir d'air pourra varier entre 50 et 62", par Tefifet des prises d'eau en route. Or, si cette variation avait lieu brusquement, il pourrait en résulter de gravée inconvénients pour certaines machines ; mais il est évident qu'on ne petit redouter l'ouverture simultanée de tous les robinets, et qu'il suffira dans la pratique de pouvoir, au moyen d'un régulateur, parer à une variation de charge de quelques mètres. Il n'y a guère de machine qui ne soit exposée à éprouver des variations de résistance, par suite du travail plus ou

id2 TRAITÉ DE LA CONDUITE ET DE LA DISTRIBUTION DES EAUX.

moins considérable qui lui est demandé, et pour laquelle on n'ait besoin de régulariser le moteur ou la résistance. Cependant nous devons faire observer que le château d'eau a pour résultat de régulariser complètement la résistance à vaincre par la machine. Lorsqu'il n'y a pas de réservoir d'air, il y a bien avec le château d'eau une variation de résistance, mais celte variation est régulière et périodique, et ne peut par conséquent amener aucun accident imprévu. Avec un réservoir d'air et un château d'eau, le machiniste se trouve dans une sécurité complète; mais cette sécurité s'achète, du reste, non-seulement par la dépense du château d'eau, mais par Tobligation d'élever toujours l'eau à son maximum de hauteur. On ne profite ni de la diminution do charge due au débit en route, ni de la hauteur des réservoirs.

La dépense des châteaux d'eau dépend à un très-haut degré des circonstances locales; si l'eau ne doit être élevée qu'à une très-faible hauteur, ou si la conduite ascensionnelle, dans son tracé naturel, s'élève immédiatement à une hauteur voisine de celle qui exprime la charge « il est évident qu'alors la dépense du château d'eau peut se réduire à celle de quelques mètres de tuyau, et que l'ingénieur peut alors avoir recours à ce système avec de justes motifs, surtout si la conduite ascensionnelle doit faire en route un service dont l'importance peut varier brusquement.

Quant à la dépense du réservoir d air, elle est toujours si foible par rapport aux avantages qu'on en retire, que cet appareil doit être considéré comme une annexe indispensable de toute machine destinée à élever de l'eau à l'aide d'un mouvement de va-et-vient. Les formules précédentes pourront servir à en calculer la capacité, il va sans dire qu'elles devront être modifiées d'après les données de la question, d'après le nombre des pompes et leurs liaisons.

H ne peut entrer dans le plan de cet ouvrage de décrire les machines trèsvariées qui peuvent être employées pour faire marcher les pompes d'une distribution d'eau. L'étude de ces machines fait l'objet de traités spéciaux auxquels nous devons nécessairement renvoyer. Nous croyons cependant, pour le cas où l'on serait obligé d'avoir recours à des machines à vapeur, devoir signaler les avantages que présentent les machines de Gornwall.

120. Disons d'abord que pour toute espèce de machines, le système de pompes qui paraît le mieux convenir, est celui dit à piston plongeur. Il se

DU MOUVEMENT VARIÉ DANS LES CONDUITES. 19r.

compose d'un piston cylindrique s'engageant dans le corps de pompe si travera une garniture enveloppant sa circonférence. Le corps de pompe qui contient l'eau peut être beaucoup plus large et avoir une forme quelconque. Voici quels sont les avantages de ce système : comme il est plus facile d'aléser un corps convexe qu'un corps concave, on obtient un contact plus parfait du piston plongeur avec la garniture, que du piston ordinaire avec le corps de pompe. Toute fuite autour du piston se reconnaît immédiatement et peut se réparer de suite ; tandis qu'avec le piston ordinaire, la fuite ne se révélant pas à l'extérieur, on est exposé à marcher souvent dans de mauvaises conditions; enfin la réparation est beaucoup plus difficile. En changeant de piston et de garnitm'e, on peut augmenter ou diminuer le produit de la pompe. Les pompes à piston plongeur sont nécessairement s\ simple effet; elles ne peuvent, comme les autres, aspirer d'un côté et refouler de l'autre.

121. Les machines à vapeur du système de Goruwall se composent essentiellement d'un cylindre à vapeur et d'un corps de pompe, ainsi que le représente la planche 9 , dans laquelle nous reproduisons une des machines de Ghaillot. La vapeur, en arrivant de la chaudière sur le piston, détermine sa descente, agit sur lui avec toute sa pression, pendant une partie de la course, le dixième, le tiers ou le quart..., suivant que l'on veut plus ou moins détendre ; puis, à partir du moment où l'on ferme la soupape d'admission, elle se détend jusqu'à la fin de la course. Le travail de la vapeur consiste à vaincre tous les frottements, à soulever le piston d'eau muni d'un contre-poids considérable et l'eau aspirée. Le piston de vapeur, arrivé au bas de sa course, ferme la soupape du condenseur; il y a alors un temps d'arrêt. En effet, le piston d'eUu, qui n'a que le poids nécessaire pour chasser la colonne, se trouve retenu par la pression finale de la vapeur sur le piston. Celui-ci ne commence à remonter qu'au moment où l'on ouvre une soupape, dite d'équilibre, qui met en communication la partie supérieure du corps de pompe avec la partie inférieure, de sorte que le pistou de vapeur peut se mouvoir comme dans le vide ; alors le contre-poids entraîne le piston d'eau et refoule l'eau dans le réservoir d'air. Le piston de vapeur, arrivé au haut de sa course, ferme la soupape d'équilibre; il y a alors un nouveau temps d'arrêt qui se prolonge jusqu'au moment où Ton ouvre de nouveau la soupape d'admission et celle du condenseur, et un nouveau coup recommence.

Ce qui distingue cette machine de toutes les autres^ c'est que tous les mouvements y sont alternatifs; qu'il n'y a ni manivelles, ni engrenages, ni excentriques; que rien ne vient contrarier les vitesses imprimées par la pression ou la détente de la vapeur, ou par le contre-poids du piston d'eau ; que chaque demi-coup de piston est séparé par un temps d'arrêt de celui qui doit suivre, ce qui permet de consacrer un certain temps à l'ouverturo et à la fermeture des soupapes. Dans l'étude théorique des pompes, on suppose en efifet que la fermeture et l'ouverture des soupapes est instantanée, mais on doit comprendre que dans la réalité il n'eu est pas ainsi. Si on refoule immédiatement après -avoir aspiré, et que la soupape d'aspiration mette une seconde à se former, pendant cette seconde, qui peut être le quart ou le tiers du temps de la descente, l'eau aspirée redescend dans le tuyau d'aspiration au lieu de passer par la soupape de refoulement. Si, après avoir refoulé, on aspire immédiatement, pendant tout le temps que la soupape de refoulement mettra à se fermer, Teau refoulée redescendra sous le piston. On cherche donc, dans la machine de Cornwall, à se donner des temps d'arrêt entre les périodes d'oscillation. Aussi les diverses soupapes qui déterminent les départs des pistons s'ouvrent-elles indépendamment du mouvement du piston de vapeur, au moyen de l'élévation et de l'abaissement des tiges de petites pompes appelées cataractes, dont le principe est facile à concevoir. Le balancier de la machine, au moyen d'un levier qu'il entraîne avec lui, soulève d'une certaine quantité la tige d'une do ces pompes, l'eau ainsi aspirée s'écoule par un orifice dans la bâche où elle a été puisée, et la tige du piston, abandonnée à elle-même, descend plus ou moins vite, suivant que l'oritice est plus ou moins ouvert; arrivée à un certain point, elle décroche un loquet qui ouvre une soupape. Cette soupape se ferme ensuite au moyen d'un tasseau fixé le long d'une poutrelle qui se meut parallèlement au piston de vapeur. Nous donnons, dans la pknche 10, le détail du mécanisme à Taide duquel se produisent cette ouverture et cette fermeture, et, à la fin de ce chapitre, une légende qui en explique les mouvements : ce que nous voulons seulement faire comprendre ici, c'est qu'elles ont lieu au bout d'un temps qu'on peut allonger ou abréger en étranglant plus ou moins un orifice. La machine de Cornwall marche donc à la main pour ainsi dire, et c'est même ainsi qu'on la met en train ; le mécanicien, en réglant les robinets des cataractes, en montant ou descendant les taquets le long de la poutrelle, fixe les épo^

DU MOUVEMENT YÂllIE DANS LES CONDUITES. i95

ques d'ouverture et de fermeture des diverses soupapes nécessaires au jeu de la machine.

C'est à Fensemble des dispositions que nous venons de décrire que les machines de Cornwall doivent, jusqu*à présent, leur supériorité sur les machines rotatives, dans lesquelles tous les organes se nieuvent à des intervalles qui dépendent du système de construction, et que celui qui conduit la machine ne peut plus changer. Mais l'avantage de brûler deux ou trois fois moins de charbon s'achète par la difficulté de la conduite de ces machines. Si l'on admet trop de vapeur sur le piston, il arrive à fin de course avec vitesse et frapperait le fond du cylindre, si le balancier ne portait pas un arrêt qui vient buter sur un tampon à ressort ; le piston d'eau en fait autant, s'il est trop chargé ou si la pression diminue dans le réservoir d'air; si la soupape d'équilibre est trop tôt ouverte, ce piston, en retombant avant la fermeture de la soupape d'aspiration,' peut occasionner un choc violent de celle-ci sur son siège, etc. La conduite de ces machines demande donc une surveillance plus continue et plus intelligente que celle des machines rotatives. Quant aux calculs de leur établissement, ils reposent sur des formules semblables à celles que nous avons présentées dans le cours de ce chapitre, et sur les formules connues des machines à vapeur à détente.

122. Représentons géométriquement, comme nous l'avons fait pour le piston d'eau, les circonstances du mouvement du piston de vapeur (fîg. 86 ter, piston de vapeur)-^ h partir d'un axe vertical OZ, portons des ordonnées proportionnelles à la résistance que le piston éprouve en chaque point; si l'on négligeait les frottements de la machine, ces résistances seraient au commencement de la course pûo(Z — i), et à la fin pÛo(Z+Z), mais eu égard aux divers frottements, la hauteur totale Z est augmentée dans le

rapport de r (Je étant une fraction). Portons donc :

OC proportionnel à P^ofr — ^)>

ZD proportionnel à pûo (r + ') 5

l'oblique CD représentera l'effort à faire à chaque instant pour soulever le piston d'eau. Si l'on ne tenait pas compte de son déplacement dans le sens vertical, cet effort serait représenté par la verticale EH menée à une distance —^ de la droite OZ. Pendant l'admission de la vapeur, la pression

sur le piston est représentée par la verticale FG, et pendant la détente par Tare d'hyperbole Gml. Pour la marche uniforme de la machine, il faut que le piston arrive au bas de sa course avec une vitesse nulle, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que la surface curviligne OFGmlZ = trapèze OCDZ = rectangle OEHZ.

Soient : Ûy la surface du pistou de vapeur ;

^^ la masse qui se meut avec le piston de vapeur;

Hv la hauteur en eau qui mesure la pression initiale de la

vapeur, quantité proportionnelle à OF; 2nl la longueur de course pendant laquelle la vapeur est admise, quantité proportionnelle à FG ; z la longueur de course pendant laquelle la vitesse croit; V la longueur de la course pendant laquelle la vitesse décroît;

x= -^7^ la hauteur eu eau qui exprime, pendant la délente, la

tension de ja vapeur correspondant àla position z du piston ; p la densité de la vapeur supposée proportionnelle à la tension pour une chaudière donnée, c'est-à-dire en négligeant l'effet des variations de température; on obtient, eu égalant le travail de la vapeur à celui du piston d'eau :

2Z^ = 2n/pû,Hv+ fh^

J 2nl

d'où l'on tire l'expression de la tension initiale de la vapeur :

"^— n.^ind-logfOJ- Lo poids p^ de vapeur consommée par chaque coup de piston étaut égal à2ÛYYi/p'HY, on a :

La hauteur %' du point m, où a lieu le maximum de vitesse, sera donnée par la rencontre de la droite CD avec l'hyperbole, ou, comme approximation, par celle de la verticale EH ; on a donc :

2nlpnW pnoZ z' ~ k '

par conséquent : 3^'=2f^ ^ ) :

nu MOUVEMENT VAKIE DANS LES CONDUITES. 197

et pour la partie de la course pendant laquelle la vitesse diminue :

1— logn

On aurait facilement et rigoureusement la vitesse maximum en calculant une des surfaces CFGm ou ImD ; mais il est plus simple de considérer celte dernière comme un triangle ayant ID pour base et /' pour hauteur, ce qui nous ramène aux formules des mouvements oscillatoires considérés plus haut.

Appelons pÛoS' la résultante proportionnelle à lD=:pûo(^+^) — pÛy^Hy, nous aurons, en mettant la valeur de H^ :

,j Z logn , . z l'

logn ' ' k^r

Quand la détente est Jongue, /' est au moins égal à /, r ^st plus grand

que Z, qui lui-même est beaucoup plus grand que /; d'où il suit qu'on peut alors négliger la demi-course l du piston par rapport au second terme, et prendre

^ — z logn k 1— logi

On a d'ailleurs évidemment pour le mouvement du piston de vapeur des équations analogues à celles du n^ 113, et comme pour le piston d'eau (voir les équations 52) :

u=\/2glz{i-^),

en comptant les ordonnées z à partir de l'extrémité de la course.

Si, à droite de la ligné OZ, nous menons des ordonnées proportionnelles aux vitesses, nous formerons la partie inférieure de la courbe Ztm\ qui se prolongerait, en suivant la môme loi, jusqu'au point p qui correspond à la fermeture de la soupape d'admission ; mais la partie supérieure Op serait une portion de parabole, puisque, pendant le temps qui correspond à cette période, la force accélératrice est constante. La plus grande vitesse U, et la vitesse moyenne correspondant à la partie inférieure de la courbe Um , seraient données par les équations :

iT iXTr -Hn \/w^ îT — 2 logn \yi^

En jetant les yeux sur la figure 86, on voit que la vitesse moyenne qui a

lieu dans la partie supérieure de la course est un peu moindre; mais, comme la valeur précédente est elle-même trop petite, puisque nous avons substitué une ligne droite à Tare ml, il s'ensuit que nous pourrons prendre la valeur ci-dessus de Um pour toute la course, et qu'alors la durée de la descente du piston de vapeur sera donnée par Téquation :

Ua,""^^ — logn V Z — ">'* — lognK Z '

Il résulte des équations précédentes que si, dans une machine, on fait varier la détente pour obtenir un effet donné : La quantité de vapeur consommée, la longueur de la course pendant laquelle la vitesse

augmente, et la tension finale, sont proportionnelles à

La tension initiale Hy de la vapeur, à

Les vitesses maximum et moyennes et la longueur de la course pendant laquelleia vitesse diminue, à

La durée de la course , à

!-logf|-

w(l-logn)-

— iogn l-logn- I— logti

—logn*

On peut donc, en donnant à n diverses valeurs, former le tableau suivant des rapports qui existent entre ces quantités :

— lojtn

l-l0g»J VITESSES MAXIMUM.

l—lOg II

-Iogn

1 — lOgK

flU — lOgM)

OIANTITÉ

LONGUEUR de

VAPEUn CONSOMMÉS.