TROISIÈME RÉDUCTION

96. Pour réduire une fraction à sa plus simple expression, il faut d'abord diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, et répéter cette opération sur les deux termes de la fraction résultante jusqu'à ce qu’on ait obtenu une fraction irréductible (*).

Suit 36, les deux termes étant divisés par 2, donnent 43 ; ceux-ci 7

k étant divisés par 3, on a 8, et si l’on divise aussi ces deux derniers À u | termes par 3, on obtient & pour la plus simple expression de #6. A 97. On peut abréger cette simplification successive en divisant ql dl les deux termes par leur plus grand commun diviseur, c’est à-dire EL à par le plus grand nombre qui puisse les diviser sans reste,

Ainsi, dans l'exemple précédent, l'opération aurait pu être simpli-

11m fée en divisant ses deux termes par 18, nombre qui est leur plus grand

af! Cuminun aiviseur.

oi |

La théorie du plus grand commun diviseur, que nous allons donner, suppose, ni © pour etre bien comprise, la connaissance de ce qui suit :

111 (| 1° Un nombre est dit MULTIPLE d’un autre lorsqu'il le contient exactement un Da il certain nombre de fois, et celui-ci est dit SOUS-MULTIPLE du premier.

À . Ainsi 20 est multiple de 4, parco que 5 fois 4 égalent 20; et 4 est sous-mul- [ il tiple de 20, car il le divise sans reste (205 —4). |

fi 2° Un nombre est dit PR'MIER, lorsqu'il n’est divisible que par lui-même et EN | par l'unité.

96. Que faut-il faire pour réduire une fraction à sa plus simple expression ?— où à 97. Peut-on abréger ces simplifications successives ?

ni | (#) Un nombre est divisible :

l’ar 2, lorsque sun dernier chiffre est pair ou zéro ;

— 3, lorsque la somime de ses chiltres, considérés comme des unités simples, égale 3, où un multiple de 3 ;

EN | — 4, lorsque le nombre formé par les deux derniers chiffres à droite est divi- Et: | sible par 4; #

— à, lorsqu'il est terminé par 5 ou 0;

il — 6, lorsqu'il est divisible par 2 et par 3, parce que 2X3 = 6, et que 2 et 3 Î sont Jremniers entre eux ; 4 — 8, lursque le nombre formé par les trois derniers chiffres à droite égale un h (| multiple de $ ; mn | — V, lursque la somme des chiffres, considérés comme des unités simples, égale à | 9 où un multiple de 9;

. Li — 10, lorsqu'il est terminé par zéro; nt | — 11, lorsque la somme des chitfres des rangs impairs, à partir de la droite, ui f égale celle des rangs pairs, ou que l’une surpasse l’autre de 11, ou d’un mul-

| tiple de 11.

visant à-dire

sim pligrand

ippose, ent un s-mulime et

———me

nples,

divi-

et 3 le un gale

oite,

nuls

DUOTION DES FRACTION, 59

I! suit de 1à que 2, 3, 6, 7, 11, 13, 17, 19, eto., sont des nombres premiers, et que 4, 6, 4, 12, u’en sont pas, car ils peuvent être divisés par 2, par 8, ou par 4, vu par tous les trois.

3% Deux uowbres qui n’ont aucun diviseur commun sont dits PREMIKRS ENTRE &Ux.

Aivsi, 4 et % sont duns ce cas ; car 2, qui est sous-multiple de 4, n’est pas diviseur du Y; et 3, qui est diviseur de %, ne l’est pas de 4; 6 et {9 ne sont pas pr iMmiers eñtre eux, car ils ont 3 pour diviseur commun,

4% Un uurubre sous-multiple d'un autre nombre divise un multiple quelconque

de ce second nombre, Ainsi, 12 étant divisible par 3, 36, multiple de 12, sera aussi divisible par 8,

En eñer, 12 qui contient 4 fuis 3, étant contenu 3 fois dans 36, celui-ci contiend'a 3 fois quatre fois troi-, c’est-à-dire 12 fois exactement. 5% Un uvmbre étuut décomposé en deux parties ayant un diviseur commun,

ce diviseur sera aussi sou<-multiple de ce noinbre.

Suit le nombre 24 divisé en deux parties 16 et 8; je dis que 4, diviseur commun de 16 et de 8, divisera aussi 24 sans reste. Ceci est évident : le quotient de la division du nombre entier doit égaler le total des quotients de la division de ses purties; et si ceux-ci sont entiers, leur somme, ou le quotient du premier

nouibre, le sera aussi.

6% Un nombre étant divisé en deux parties, si ce nombre et l’une de ses par. ties sont exactement divisés par un autre n Hnbre, celui-ci divisera aussi exacte-

ment l’autre partie. S En etlot, le quotient du nombre entier étant égal à la somme des deux quo-

tien & partiels, si l'un «de ces quotients est entier, l’autre le sera aussi par une sute nécessaire; autrement 1] en résulterait cette absurdité, qu’un nombre envier serait égal à uu numire fractivnnaire.

93. Pour trouver le plus grand commun diviseur des deux termes d'une fraction, il faut diviser le dénominateur par le numérateur; s'il ne reste rien, ce sera le numérateur qui sera le plus grand commun diviseur; s'il ÿ a un reste, il faut diviser le nuucrateur par le reste, le premier reste par le second, et continuer ainsi la division jusqu’à ce qu'elle se fasse sans reste. Le dernier diviseur qu'on aura employé sera le plus grand commun diviseur, par lequel il faudra diviser les deux termes de la frac-

,Cù

tion, Si le dernier diviseur était l'unité, la fruction &erait irréductible, Exemple.

On demande la plus simple expression de ;Li%. OPÉRATION.

1365| 11 | 1 2 Quotients. 117| 39 13656 39 195! 117 | 18 93 Diviseurs. 0 3 195 35

75 39 00 Ayant divisé le dénominateur par le numérateur, il reste 78; je divise le numérateur par ce nombre, et il reste 39 ; je continue à diviser ainsi l’avant-dernier reste par le dernier, et je trouve que 39 ne donne pas Ge reste, d'où je couclus qu'il est le plus grand commun diviseur ; je divise les deux termes de la fraction

1 60 RÉDUOTION DES FRACTIONS.

par 39; et j’ai 3 pour numérateur de la nouvelle fraction, et 35 pour dénomina= teur ; ce qui donne ÿ; pour la plus simple expression de 44%.

La raison de cette règle est facile à comprendre : 39 divise 39 x 2, c'est-à-dire 78; il divise aussi 78 +39, c’est-à-dire 117 ; il divise également (117 x 11) + 78, c’est-à-dire 1365 ; il est donc commun di- 'E viseur des deux termes de la fraction proposée, | Il est aussi leur plus grand commun diviseur ; car s’il y en avait un autre, il faudrait qu'il divisât 1365=(117 x 11) +78 ; qu'il divi- IE sât aussi 117 =(78 x 1) + 39 ; et encore 78 = 39 x 2, et entin 39: or, | s’il est plus grand que ce dernier nombre, il ne peut pas le diviser ; |

donc, 39 est le plus grand commun diviseur des deux termes de cette fraction.