THÉORIE DES FONCTIONS DE VARIABLES RÉELLES ET DES ENSEMBLES

Un des principaux objets de l'analyse abstraite est l'étude de l'idée de fonction, c'est-à-dire de dépendance entre deux ou plusieurs variables. Il a fallu longtemps pour qu'on se rendît compte de l'étendue de cette notion ; c'est là d'ailleurs une circonstance très heureuse pour les progrès de la science. Si Newton et Leibniz avaient pensé que les fonctions continues n'ont pas nécessairement une dérivée, le calcul différentiel n'aurait pas pris naissance; de même les idées inexactes de Lagrange sur la possibilité des développements en séries de Taylor ont rendu d'immenses services. Les fonctions analytiques, qui sont les seules usuelles, ont pris une importance considérable, et on a vu plus haut que la théorie de ces fonctions est une branche maîtresse de l'Analyse. Un jour devait venir cependant où l'idée de fonction serait approfondie dans toute sa généralité. Cauchy, dans plusieurs de ses écrits, avait donné plus de précision à certains résultats intuitifs sur les fonctions continues admis sans démonstration. En Allemagne, Dirichlet en donnant des conditions pour la possibilité du développement en série trigonométrique , Riemann en établissant la distinction entre les fonctions intégrables et les fonctions non intégrables, Weierstrass en donnant un exemple de fonction

3l8 UN DEMI-SIÈCLE DE CIVILISATION FRANÇAISE.

continue sans dérivée, allèrent beaucoup plus loin. En France, le mémoire de Darboux sur les fonctions discontinues marque une date ; on y trouve une proposition qui permet de définir de la manière la plus nette l'intégrabilité d'une fonction, et de nombreux exemples de fonctions continues sans dérivées. Jordan a introduit dans cette partie de l'Analyse d'importantes notions : telle la notion de fonction à variation bornée. Les courbes, dites de Jordan, séparant le plan en deux régions distinctes sont également devenues classiques.

Le géomètre allemand Cantor a fondé la théorie des ensembles de points. On doit attacher une grande importance à la distinction entre les ensembles énumérables et les autres. Il en est de même pour la notion d'ensemble dérivé et d'ensemble parfait. Le nombre des mémoires consacrés aux ensembles est considérable; ils sont de valeur très inégale, au moins au point de vue purement mathématique. Un certain nombre d'entre eux n'ont actuellement aucun intérêt mathématique ; c'est ce qui arrive pour les études sur les nombres transfinis, qui n'ont conduit jusqu'ici à aucun résultat inaccessible par une autre voie. On rencontre dans cette métamathématique quelques paradoxes et des difficultés qui ont fait couler des flots d'encre. Plusieurs de ces difficultés proviennent de ce qu'on ne s'entend pas sur le mot existence, et on pourrait faire des comparaisons avec certaines luttes de la philosophie scolastique au moyen âge. Reconnaissons d'ailleurs que la querelle des mathématiciens sur ce mot intéresse d'autres questions, notamment celles qui concernent les théorèmes dits d'existence et se rencontrent dans diverses parties des Mathématiques.

Nous envisageons seulement la partie de la théorie des ensembles, qui jusqu'ici a été un instrument de découverte entre les mains des mathématiciens; c'est celle qui a été utilisée dans la théorie des fonctions et en géométrie, Jordan avait donné une définition de la mesure d'un ensemble. Borel a repris la question sous un jour nouveau, en utilisant des définitions constructives ; il a aussi introduit la notion très importante d'un ensemble de mesure nulle. Dans plusieurs théories, on connaît maintenant des propositions qui sont exactes à peu près partout, en entendant par là que réserve

LES SCIENCES MATHÉMATIQ.UES. 31g

est faite pour un ensemble de mesure nulle. Citons, comme exemple, le théorème de Borel, d'après lequel toute fonction bornée définissable analytiquement est égale, sauf peut-être pour un ensemble de mesu?re nulle, à une série convergente de polynômes. Les séries de Fourier et celles qui les généralisent offrent des exemples analogues.

Riemann, semblait-il, avait approfondi autant qu'il est possible la notion d'intégrale définie. Lebesgue a montré qu'il n'en était rien. L'idée de fonction sommable, qu'il a introduite dans la science, est plus générale que celle de fonction intégrablede Riemann, au moins pour les fonctions bornées. Une conséquence de cette notion généralisée de l'intégrale est que toute fonction bornée sommable est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf peut-être pour un ensemble de points de mesure nulle. Ces travaux ne sont pas restés sans applications, et les idées nouvelles ont montré leur fécondité entre les mains de Lebesgue et de ceux qui l'ont suivi. La théorie des séries de Fourier notamment s'est trouvée renouvelée. Loin de conduire à des complications nouvelles, l'emploi de l'intégration des fonctions sommables apporte d'heureuses simplifications. Borel a repris récemment la théorie de l'intégrale définie en se plaçant au même point de vue que dans sa théorie de la mesure.

Les notions d'aire et de surface sous leurs formes les plus générales sont liées à la théorie des ensembles. Lebesgue a été très loin dans cette voie, où on rencontre vite des énoncés différents de ceux auxquels on est habitué, par exemple celui-ci, qu'il y a d'autres surfaces que les surfaces développables qui sont applicables sur le plan.

Baire répartit les fonctions en différentes classes, et cherche la condition pour qu'une fonction d'une variable réelle puisse être développée en série de polynômes. La théorie des ensembles intervient dans la solution; pour le cas d'une série simple, la condition est que la fonction soit ponctuellement discontinue par rapport à tout ensemble parfait. Les recherches de Lebesgue sur les fonctions représentables analytiquement sont connexes de celles de Baire, et posent de graves questions sur le sens qu'il convient d'attribuer au mot défini.

Il est une branche de l'Analyse, qui prend aujourd'hui une grande importance : c'est le Calcul fonctionnel . Un des premiers chapitres du Calcul fonctionnel est le Calcul des variations^ auquel reste justement attaché le nom de Lagrange. Le problème du plus court chemin d'un point à un autre sur une surface est sans doute le premier type de problème relatif à ce calcul, qui s'est ensuite développé avec diverses questions posées par la Mécanique, et q*ui englobe aujourd'hui la Mécanique analytique tout entière. Le traité que publie en ce moment Hadamard sur le Calcul des Variations fait connaître les plus récents travaux en cette matière. De nombreux problèmes de l'Électricité et de la Chaleur relèvent aussi du Calcul fonctionnel. La théorie des équations intégrales^ brillamment créée tout d'abord en Italie et en Suède par Volterra et Fredholm, a fait en France l'objet de nombreux travaux, parmi lesquels ceux de Le Roux intégrant en même temps que Volterra les équations à limite supérieure variable, de Goursat sur les noyaux orthogonaux, de Picard sur les équations de première espèce et les équations singulières, de Marty sur les noyaux symétrisables. Hadamard s'est surtout attaché à mettre en évidence l'influence de la forme de la frontière du domaine dans divers problèmes de physique mathématique, appelant l'attention sur les équations aux dérivées fonctionnelles] il a été suivi avec succès dans cette voie par P. Lévy. L'étude du continu fonctionnel, nécessitant la création d'un nouveau chapitre de la théorie des ensembles, a été abordé très heureusement par Fréchet.

L'extension de nos idées sur les fonctions et les opérations fonctionnelles n'est pas la seule qu'aient poursuivie les mathématiciens. La question des quantités complexes a fait, surtout à l'étranger, l'objet de nombreuses recherches. Si on laisse tomber la loi commutative, ne gardant que la loi associative, on a une Algèbre beaucoup plus générale; un exemple célèbre à quatre unités est fourni par les quaternions de Hamilton. Une remarque fondamentale de Poincaré ramène toute la théorie des quantités complexes à une question concernant la théorie des groupes. Elle consiste en ce que, à chaque système d'unités complexes, à multi-

plication associative, correspond un groupe continu linéaire de substitutions linéaires, et inversement. Le rapprochement entre la théorie des groupes de Lie et les nombres complexes donne la véritable origine de ces symboles. Divers auteurs étrangers avaient utilisé l'idée de Poincaré ; dans ses travaux sur le même sujet, Cartan applique une méthode directe qui le conduit à des résultats nouveaux. Ces quantités complexes plus générales sont-elles susceptibles d'accroître la puissance de l'Analyse? Jusqu'ici l'emploi des quatemions a seul rendu quelques services en Physique mathématique. On pouvait espérer que les nouvelles quantités complexes présenteraient quelque intérêt pour l'Analyse générale ; les essais tentés jusqu'ici n'ont pas été couronnés de succès.