CHAPITRE
Hesnre de la quantité d'électricité dans le système électromagnétique.
71. DéOnition de la quantité. — Duiis le système électromagnétique, lu quantité d'électricité ne se définit pus directement : on la déliuit en fonction de l'intensité par lu relation ;
si l'intensité est constante; et pour la reliition
si l'intensité est vnriiible.
Soit un courant d'intensité constante, ( : un mesure i pur la boussole des tangentes, ou par l'une des méthodes que nous avons indiquées dans le chapitre précédent. On mesure t au moyen d'un chronomètre ; on fait le produit des deux nombres ainsi obtenus, et on obtient la valeur de fj.
12. Cbb où l'iotensitè i du courant o'est pas constante. — Alors ï est une fonction du temps :
Supposons que les variations de i soient tellement rapides que l'aiguille de la boussole ne varie pas sensiblement; la déviation fournit alors la valeur de l'intégrale lf{i)dl;
73. MoBure de q dana le cas d'un courant instantané. — Nous allons maintenant examiner le cas oii le courant dure un
lio SySTÈME ÈL£CTROMACyÈTlQUE
temps 9, petit par rapport à la durée d'oseillation de l'aîf^ille. Nous aurons alors à évaluer l'intégrale :
Désignons par a le moment d'inertie de t'aiguille aiiiMntée, ^mr*; soit x„ l'angle d'écart maximum de l'aiguille, sous une vitesse angulaire %'.
A chaque instant, l'aiguille reçoit une accélération a"; l'équation du mouvement de l'aiguille sera donc :
ai." = la somme des moments moteurs.
11 faut évaluer le second membre :
Si l'aiguille est suspendue au centre d'une bobine, elle subit le moment moteur Di, dA à l'action du courant; de plus l'aiguille est soumise ii l'influence du magnétisme terrestre : on aura donc un second terme Ca, qui doit être afl'ecté du signe ( — ) puisque, ainsi que la torsion, il tend â diminuer l'accélération. Par suite, l'équation du mouvement de l'aiguille sera :
rtï" = Di — Ci.
multiplions par efl et intégrons :
a (\"dt =- D f' itll — Cf cu/t et en clTectuant l'intégration du premier membre : aa'„=D Çidi—cÇ^LiU
la dernière intégrale nous fournit un terme que nous pouvons négliger, car la quantité placée sous le signe | est moindre que eQ,e étant la valeur absolue maximum de a. S'otre équation se réduit donc ii :
c'est une relation entre y et la vitesse angulaire a' acquise quand le courant a- cessé d'agir. Nous ne connaissons pas directement ot,;
MESURE DES QIA .\riTtiS D'ÉLECTRICITÉ m
mais nous pouvons observer a.„ l'angle d'écart maximum de l'aîguillt^. Le coutniit ayant cessé d'iigir, on a :
c'est une éi|uation difTcrenlielle dont l'intégrale générale est :
a =^ A sin K/ dérivons deux fois :
«' = AK c«s K( a" = — AK' sin Kl % est maximum quimd le sinus est égal à i ; donc : (1) a. - A.
Pour /^(l, %' prend la valeur <x.\ : donc ; (2 «'„ = AK
et, à cause de iV- :
reste ii avoir lit valeur do K :
On tire des relations précédentes :
— oAK' sin Kl ^ — CA sin K; ,.K' :- C do6:
et, à cause de Çll ;
Nous déduisons de là :
Nous pouvons introduire dans cetle valeur la durée d'oscillation.
la SrsTEME ÉLECTROHAUSETIQVE
La durée de lii périude est donnée pur la rehition :
T=.2tî
Nous aurons donc :
On a d'ailleurs
Il ---^-- ï/M/-*
on a donc y en l'onclion de T.
Colle méthode, trôs simple en théorie, est pratiquement très eomplir|uée. La mesure d'une cpiautité d'électricité en unités électromagnétiques uhsolues est dnnc une opération délicate. 11 faudra donc, autant que possible, éviter d'avoir ii faire ces mesures.
De plus, nous avons su|iposé dans eelte étude du mouvement d'une aiguille ainuintée, <ju'il n'v avait aucune résistance passive; «'C cas n'est jiimais réalisé dans lu pratique ; nous avons d'ahurd le fruttemeiit de l'aiguille sur son support ; nous avons la résistance de l'air; de plus, dans son mouvement d'oscillution, l'aiguille induit diins le fil de la hobine des courants qui, en vertu de In loi de Lenz, tendent à s'opposer ii aini mouvement. 11 y a donc toujours amortissement, et l'aniortissenient sera d'autant plus considérable <]ue l'instrument sera plus sensible. Il faut donc on tenir compte et introduire dans les calculs du mouvenacnt de l'aiguille un terme de ])lus: c'est ce que nous allons l'aire maintenant.
74. Mouvement d'une aiguille aimantée amortie- — D'une façon générale, l'équation du mouvement de l'aiguille est :
aa." ^ la somme des mouvements moteurs.
MESURE DES QIA.\7ITÊS D'ÉI.EirRlllTÉ iiî
1(1 prcinîci' ntuinoiit sera tlA à l'înfliioiiui* <lii cntiraiit : 1)/; Ip second est iIA à l'iiction Ac la torm ; il dnit Ati'c pris on signe l'ontrairp. c'est — (la; r>n(in un troisième iniimenf pruvicnt dos l'rotti-meiits, de la lêsistniice de l'nir, et de lu loi do Loiiz; il doit ^tre (ii'is en signe contraire puisfpi'il s'oppose iiii mnnvoniont de l'aiguille; nous mirons donc pour ec troisième moment : — Ad'; h est le vocfjutenl ifamortixseini'Ht. l/éipuition dn mouvement devient
niulliplioiis piir ill et intégrons :
t,{\'dl - Xyj'idt — C \'mU — /.J'aV/.
Pour lu nii^mc raison ([ue tout ii l'heure, lu 2' intégrale du second membre est négligeable; nous mirons donc '.
l'est la mémo relation i|no tout ii l'heure; mais la relutitni i-ntre a'„ et %„ sera difFéreiite de celle (jue nous avons trouvée dan» le pai-agraphe précédent : it partir do moment où / ^ o. ré(|uation du mouvement devieni :
(À'tte érpiation est très inipoi-tuntc on plivsitpie et en mécuiiiquc : on la rencontre notamment dans l'étude du mouvement pendulaire ; son intégrale générale est :
a- :A«-""sin K/
dérivons deux fois :
a.' -^ A [ — H/(!-'"'sin K/ + Ke"'"' ei.s K/', et :
a.'' -^ A [wi-t'""''sin K/ — 2 H;K<;-'"'eos K/ — K-c "' sin K/]. Substituons ces valeurs de %, %', a", dans rêijuaiion différentielle
ll4 SrSTEME ELECTBOMAGXETIQLE
et écrivons que le coefltcient de sin \t est nul ainsi (joe le terme constant. Nous avons ainsi :
K est réel si l'on a 4 aC — A*^0, c'est-à-dire si l'uinortissement n'est pas trop grand; autrement l'intégrale prend la forme d'une somme d'exponentielles. On a d'ailleurs :
