CHAPITRE IV
Hesnre des forces électromotrlces dans le srstème électromée*nlque.
C'est il Weber que l'on doit lu première définition et le premier firocédé de mesure des forces électro motrices absolues. Il s'est servi pour le définir des forces électro mot rie es d'induction.
On peut produire ces forces par l'action réciproque d'un aimant et d'un courant, ou par l'action de 2 circuits, ou encore par la variation do courant dans un circuit voisin. Dans tous les cas, la force électromotrice est due au déplacement relatif d'un champ magnétique et d'un circuit, et soumise à des lois que nous allons rappeler.
ii6 srSrÈME ÉLFCTHOMAGSfri IQLE
75. Déplacemeat d'un circuit dans un champ magnétique. Loi de Neumann. — Quand on change, par un déplacement m<-canic|Ue quelconque, la position relative d'un aimant et d'un l'îrpuit, il se produit une force é 1 e cl ro motrice d'înductîoii et oti trouve expérimentalement la loi suivante due à Neumann :
La force élecIromotrU-e eut proporltoiinfUe ti la viteaw du déplacement. Cette loi se vérifie an moyen d'un appareil iniuginé par Weber, et nommé par lui : Electionioteur à péduhifig. 58) ; cet instrument se compose d'un circuit C enroulé en bobine et dans lequel un aimant AH se meut en restant toujoiM-K
{fuidê suivant Taxe par 2 (glissières ^'^'' placées sur sa lige dirretrice; l'aimant est mù par une pédale; les deux extrémités du circuit sont en relation avec les deux extrémités du fil d'un gaivanoniètre G. Les deux glissières étant munies de butoirs, le mouvement de l'aimant a lieu toujours entre les niOmes lîniiles. '•t la course A^-^ en est toujours la même.
Pour vérifier la loi de Neumann, on fait varier la vitesse de déplacement de l'aimant dans la bobine, et on observe que l'are de déviation du galvanomètre est toujours le même. I.ii quantité totale d'électi'icitc est donc indépendante de la vitesse;
Ceci démontre la loi de Neumann; en ellVl, pendant le temps df, on a :
.VKSrHK OKS fO/tCKS KI.KCTRÙJiOr RICES
<ir lii lui «roiim nous doiiiic :
(.'('XpiessHHi de dq devient donc :
\a ([unntitê totale dépend de rintégi-ale
lit » l'espace piirrnui'ii au temps / [fi-;. .VJ ; s! on ii p^K-y-
poInKivera la loi, car alors :
donc à chiique moment la vitesse est régie par In loi :
dl'
dl
76- BxpnBaion de la force électromotrice d'induction. — Décomposons cette force en cléments : considérons un élément de circuit mobile dans tni cliamp magnétique : prenons les axes de coordonnées comme l'indique In figure ÎM) ; aloi-s In force électromotriee est ;
de =. dsih-K
l'intruductiondc i- représente la loi de Neumann ; telle qucK = l; «lors si l'on a rf» = 1, et H ^^^ 1, on a aussi rfe = 1 ; c'est la définition de l'unité de force éleclromotricc.
Pour réaliser ces diverses conditions, plaçons-nous dans )e cas général : supposons la direction du champ magnétique quelconque, celle de l'élément et celle de la vitesse également quelcou<(ncs : nous aurons :
d<- ^ Uds siu H \ eus a
1|8 SYSTÈME ÉLECTHOMAÙyÈTiqVE
F, étant la force perpendiculaire à i^ et à OH, qui entraînerait i/s sons l'action de OH : la quantité de tXn V cos oc est une aire facile à évaluer : da sin S est la proJMtion Oh de da sur Os (nous avons pris Oz dans le plan contenant OH et da, perpendiculaire à OH); V cos X dt est le déplacement de la projection du point m, extrémité de da, qui était d'abord en O; au temps dt,
mh sera venu en m"A" ; l'aire du parallélogramme décrit par da pendant le temps dt est donc :
du ^ ds sin 9 V cos arf/ donc ;
dt.j, ■= dedt
tfc=— =-
dt
donc la force électromotiice d'induction est égale à la vitesse avec laquelle varie l'aire décrite par la projection d'un élément de circuit sur un plan perpendiculaire au champ magnétique.
Mf:sURE DES fORCES ÉLSCTROMOrmCES itg
Si l'an considère le circuit tout entier, on niini :
Donc : l'unité de force élertromotrice est lelie qui prend naissance par le déplacement d'un circuit de longueur égale à l'unité, avec une vitesse égale à l'unité, dans un champ magnétique égal il l'unité.
N- B. — Si nous voulons examiner le cas du circuit entier, nous le projetterons sur un plan normal au champ magnétique ; l'aire balayée par cette projection pendant l'unité de temps sera égale à la force électromotricc.
11. Application : Cercema de Delezenne ifig. 61). — Considérons un circuit de forme circulaire, mobile autour d'un axe ver-
tical. Projetons sur un plan normal n l'atguille de déclinaison : soit a l'angle que fait, au temps (, le plan du circuit avec le méridien magnétique.
La projection sur le plan 1* est :
iio srSTI':ME ÉLECTROMAG^'KTiqCE
lu [irojcctîon VHiîo avpc une certaine vitesse (juo l'on olitîent en prenant lii (lêiivée :
S coB a, a'
si \i\ vitesse <le roliilion est unifurine, %' est une consliinte :
n élinil le iioinlire de toiii's pur seconde ; idors :
e -= IIS 2w( cos a.
Nous n'iivons considéré iei c|nc 1» coniposunto Iiorizoïitule II, iniiis lu coniposuiitc verticiile A'n'sipns d'influence, ciir si on voulait en tenir compte, il laudriùt projeter Taire du circuit sur un plan perpendiculaire à la direction verticale, c'est-it-dire sur un plan horizontal; or cette projection est constamment nulle.
Cette interprétation géométrique de la force électroniotrice est souvent très commode, en particulier dans le cas du magnétisme terrestre elle est d'une application facile. Mais il est sonvent utile d'avoir une interprétation mécanique de lu force élee- Iromotrice : c'est une expression qui va faire l'objet du tliéoiênie suivant :
78. ExpresBion mécanique de la force électromotrice d'iaduction. — Théorème. — Ln forve èleitiomotrice êlèineninirr eut égale numèrùjiiciiiciit an tnirrul engendré par un courant égal à l'unité, Irai'erxtinl le rinuiit pendant l'tiititè du lem/m.
]',n cfTct : la force agissante a pour expression :
le travail rTesl :
/■^./Ut/ssine ^T— :(n(/«sîu6<'eosa
et si on fait i= 1, le travail est égal îi (te.
de est donc égal au travail (Iéj>ensé pendant l'unité de temps par un courant égal ii rnnilé, traversant le circuit donné.
Par conséquent, toutes les fois qu'on pourra évaluer le travail
MKSIHK IIK.K rOHlfS KlEVrHOMOTHICFS f,i
lutul, (III auru mil- cxprossioii îriimétlÎHtc <i(^ lu l'urro ('■Icclnimiih'îce totule. Lr grniicl avaiitage de celte irilerprétaliun c'est ijiiuii ■t'y évalue qii<^ des travaux et que dniis ce cas. la direction des lorces 11' intervient pus dans la Monmiutiun .
Nous appliquerons cela, comiMC exemple de culcul, au cerceau de Delezenne. Nous pouvons supposer que le cîrcuît soit remplacé par un petit aimant unrmal ayant pour moment ..# ^ni; ici ( = 1: «jonc .^= s. I,a résistunce opposée par le magnétisme terreslie iiii mouvement du circuit est celle qu'il oppose au mouvement du petit uiniaiit ; c'est donc :
./ff ..//Usina.,.' et par suite :
e -^- .//Usina.*
Ciis pailiiiilier. Soit une aiguille qu'où peut fiiii ]iré9ence d'un circuit ile cadre d'un galvauoiiiètre, par exemple'. Calculons le travail effectué par le mouvement do l'aiguille si le cadre est |iarcoiiru, par seconde, par un courant êgiil ii l'unité. Le couple de déviation aura un moment -ilc, -^ D, donc :
tout se rcdiiit donc » connaître la constante I) de l'instrument. C'est possible toutes les fois c|ue l'instrument peut servir aux mesures absolues, comme la boussole des tiiugentes ordinaires, ou In boussole des tangentes à Iwbîne eyliudriquc infiniment longue, ou encore comme Kiff. (h.
la boussole des tangentes ii fîl veitical indéfini : nous allons examiner ce dernier cas \fig. (>2'. Soit un lil vertical indéfini BC placé a une distance l du centre d'un petit barreau ab: l'action produite par le courant est — 2/; et si le barreau a un moment ;j./,. le moment produit sera :
U3 SrSTEME ELECTROMAGyKTtQCE
si l'aiguUle dévie d'un angle a. on aura :
2 i D = ;jiX cos a.
Supposons qu'on ait / ^ 1 ; alors :
ëd résumé, chaque fois qu'on pourra connaître l'action mécanique exercée entre un circuit et un aimant, on pourra en déduire la force électromotrice d'induction.
79. Application : amortissement des galvanomètres. — Quand une aiguille aimantée oscille a l'intérieur d'un cadre, chacune de ses oscillations fait naitre dans le cadre des courants induits qui réagissent sur elle de façon it amortir son mouvement.
En efTet : le courant agît sur l'aiguille avec un moment de couple D. La force électromotrice induite est donc Det'; l'intensité du courant est égale à la force électromotrice divisée par la résistance :
ce courant agit sur l'aiguille avec un moment de couple Di; la réaction du circuit sur l'aiguille est donc :
de cette valeur dépend ramortissciiient :
aa ^ — La — — ^ a
si x' = 1, l'amortissement est — et nous avons pour intégrale générale de cette équation :
a = \e- -•' sin K/ les amplitudes décroissent donc en formant les termes d'une pro-
MESVRE DES FOBCES ÉLECTROMOTRICES lîî
gresaioD géométrique dont la raison est mt; mais nous avons vu qu'on avait :
le logarithme de la raison contient donc le facteur D'; donc, plus D est grand, plus les oscillations diminnent; le logarithme (qu'on nomme décroissement logarithmique) est proportionnel à D*. Or, ai on fait passer un courant constant ii travers le galvanomètre, on a :
Di = Ca
la sensibilité 7 a pour expression :
on a donc ici ;
et, par conséquent le décroissement logarithmique est proportionnel au carré de la sensihilité. Si D = ce , & croit et les oscillations deviennent apériodiques.
80. Sens de 7a forcé éiectromotn'ce d'indaction. Loi de Lenx. — La direction de la force électromotricc d'induction est donnée par ta loi de Lenz dont voici l'énoncé :
La force électromotrice qui prend naissance dans un circuit par le déplacement d'un circuit ou d'un aimant voisin est toujours dirigée dans un sens tel quelle tendrait à s'opposer nu mouvement générateur.
81- Métbodea pour produire dee forces électromotrices d'indaction. ■— Nous pouvons prendre par exemple un axe horizontal parallèle à l'aiguille de déclinaison [fig.GS]. Imaginons un circuit qui soit formé par le disque reposant sur l'axe, au moyen de deux frotteurs dont l'un touche l'axe, l'autre un point donné de la circonférence; si l'on fait tourner le disque, un courant prend naissance dans le circuit. Projetons sur un plan nor-
mal il l'axe de rotation : soit OA le rayon du disque en cunlurl «vec le froltcnr; au temps d( il a parconru un angle </*; et est
rcivc en OA' : les aires décrites par lu projection par le plan 1* ont ; Pendant le temps dt :
a-do.
pendant le temps 1
2 " dt^ 2
t'. élant la vitesse an^ittaire dn inonvenient de rotation. Donc :
si le nionvement de rotation est uniloime, nous aurons :
a' ^ 2 T,n n «tant le nonilire de tonrs par seconde. Donc :
Nous pouvons arriver au ni^me résnllal en prenant pour éva-
MESL'Hf: DES rOHCES KLEiTROMOTniCES l:
luor la force éleclnumitricn, IVxprossiim du trnvaîl : celte ex|nei sion ei4t. pour Ir IcinpH ill :
i-t pciHliiiit le tei)i|)s I :
(l'est la même formule ([uc itotis «vinns trouvée plus liiiut.
2° Considérons un barreau cylindiitiue ttMintant autour de s a\e fît lin fil voisin MN; la rotation du ^-(Vvo
liarronu AB dctcrininc dims 1« lil JIN »u f s,
courant induit, ii condition i[ucle circuit no soit pas fermé pur un gHlvaiioniètrc, car alors la force élcctromolrice est nulle puisqu'elle est égale îi chaque instant tui travail produit par la rotatîou si le courant avait une in- "'* "^'
leuaité égale à l'unité, et ([Uf le travail est nul dans le cas oii le circuit est fermé f/î^'.li^i.
Pour obtenir un courant nous supprinieroux donc uue parité du circuit, l'our cela, rendons MX solidaires de AIÏ au moyen de deux disques de cuivre fixés sur AH : Mil et NH' : alors >1\ tourne avec AB ; lu force électrtmiotricc iuduitc sur MN devient nulle, et il ne reste plus que le reste du circuit, qui alors peut contenir un galvanomètre (1 : en M' et >" îl y a deux trotteurs : l'un des disques peut même se réduire à zéro. La figure (m montre la disposition de rcxpéricuce.
Reprenons le problème sous sa première forme : uu aiiuant AIÏ .fig. 6G) et un fil MN. Servons-nous de l'expression e = ^ (travail ; l'action de MN sur le pùle It équivaut à une force et à un couple :
126 srSTKME ELECTUOMAÛSKTKiVE
la Toicc est nulle puisque le point d'application' est immobile: reste le couple. Supposons que ce couple ait pour axe AB : le
trnvail par seconde est alors : ^ AB.x' : si le couple n'a pas pour axe AB, l'expression est la même.
Flg. 60.
Le moment du couple est connu; nous savons en eflet que l'on a i
HIl' = g>It.,
MESVaE DES rOBCES ÉLECTROMOTRICKS 117
inuis, comnir la sphère décrite autour du |)uint B a comme rayon l'uinté, on voit que :
s et f' étant les angles que font BMetBN avec une môme direction de AB ; nous aurons donc :
e ^ ^cos œ — cos o') %'
i>u voit que la forme du circuit n'importe pas, non plus que su position, pourvu que lea points !I et H' soient les mêmes, ce qui a lieu tant que les deux extrémités du fil sont sur les droites BM, B\, ou plus généralement, sur deux cdnes de révolution ayant BM comme axe commun et comme génératrices les droites BM et B\,
On a construit [Lord Kelvin, par exemple) des machines pour Tournir des courants d'après ce principe; dans ces machines, la force clectro motrice est toujours parfaitement déterminée.
Dans les machines employées dans l'industrie, dans les machines Gramme par exemple, on multiplie la force électromotrice en multipliant les tours de fil de la bobine induite; mais dans la machine que nous avons étudiée, on ne peut faire de môme; ces machines ont donc une force électromotrice limitée et continue; leur résistance intérieure est très petite; on en utilise quelquefois d'analogues en galvanoplastie.
REMAngi'Es. — Nous avons vu qu'on avait la relation : e= ■g-.
On peut démontrer l'existence de cette lelalion de plusieurs manières :
1° A posteriori, par la vérification expérimentale des conséquences que la théorie en » déduites ;
2' A priori, en s'appuyaut sur le principe de la conservation de l'énergie (Lord Kelvin et Helmholtz);
On produit du travail : on recueille un courant qui peut produire de la chaleur. Nous n'aurons qu'î» écrire l'équivalence entre cette chaleur et ce travail : nous aurons une équation do condition qui ne sera autre que l'expression de la loi cherchée.
ij8 srsrK:v£ k LEvrnov Any ktiqv e
I.o tt'.iviiil est Au il cha(|iic iiistaiit ù rnclioii c\oi-(.-t-f par un cmiplc i[u'(iii [K'ut rcprc-spiitor par un piotluit do la l'orme .,M i ; la vitesse iiiifriilaire «>Ht a', donc :
^Ïït/W ~ ti-nvaîl pav se<'oinIe
Mais on sait d'après les travaux Av Joide que hi cliali-ur piodtiite est Krf^, K dépendant du ehoix des unités; exprimée en travail cette cliaicur est KKc/- si on a KK = 1, alors /•(' repiésenle en unités de travail la ipiaiititê de rl):ileur dégagée ; écrivons l'éipiivaleEice :
mais la loi d'Ohm nous <
-■mjy!
82- Meaure indirecte des forces électromotrices. — La nifsiirc directe dos forces êlectromolriccs en valeur absolue est une opération délicittc et ditl'rcile ; aussi a-t-i)u cherché à se procurer des étalons de l'orce électromolrice toujours identiques à euvmi^nies, dont ou «léterniine uiie l'ois poni' tcuiles la l'orce éleclro-
()u se sert le plus souvent de deux éliduus sensihlenieut rouslants : ce sont : l'élément Daniell et l'élément I.atimer Clark.
Le Daniell que Pou prend ordinairement pour les mesures sicompose d'un zinc plongeant dans une solution de sulfate de xiuc et d'une lame de cuivre plongeant dans du sulfate de cuivre. Dans ces conditions, le Daniell est un élément réversible.
Le Latimer Clark est formé d'une couche de mercure rectuivcrle d'une pâte de protosiilfate de mercure et d'une lame de 7,inc entourée de sulfiile de zinc, le tout renfermé dans nu vase de voire dans lequel on a fait le vide cl qu'on a fermé à la lanqie. On ne le l'ait finiclionner qu'en circuit ouvert, sa valeur absolue est 1 /i.")? X I')* ('.. O, S.
On peut mesurer les i'orces électroniotrices en les comparant aux forces élcclromotrjccsd'indncttini ; en efl'el, supposons qu'on
