MOUVEMENT ELLIPTIQUE

Aian ]onqao apiès aToir eeisë de Toir depuis qaelqae temps un astre Toism an Soleil, on l'aperçoit la première fois le matin à Torient avant le jour, o'eat son lever héliaqne» Si on le voit à l'occident dans les feux du Soleil qai vient de se cacher sous l'horizon^ c'est le coucher héliaqae« Ce ne sont dono que des apparences passagères^ cansées par le pinson moins de proximité apparente du Soleil, et ç|ui se manifestent^ pour les étoiles éclatantes , à environ une heure de distance*

Vépitliète de eonnique sa donne aux phénomènes qui arrivent à l'instant dn Soleil levant; celle à^acronyqtêe à ceux du couchant. Le lever et le coucher cosmiques ont lieu le matin : le lever et le coucher acronyques ont lieu le soir, Une planète est ^ïie acronyque lorsqu'elle se lève au Soleil couchant pour demeurer visible la nuit entière* Le lever oosmiqne précède le- lever héliaque de là À 1 S jours; le coucher acronyque suit lé ooucher héliaque d'une égale durée.

Comme chaque année les levevs et couchers héliaques des étoiles reviennent avec la même position du Soleil dans l'éoliptique , leur retour a servi , dans l'antiquité , de signe pour fixer l'époque des travaux agricoles. C'est ce qui a Mi accorder une si haute importance à ces phénomènes, dont l'observation est très-facile (n<^ M8 à 208).

Puisque la Terre n'a accompli qu'au bout d'un an le tour entier de son orbite, les 860<> de ce cercle sont distribués sur la durée de l'année entière* En divisant M0<> par 968/,S4â2181, on trouve que si sa révQlnliott était uniforme , le retard serait par jour de Kd^, 188887 asKd' V f (environ !<>, ou A' de temps) . Telle est Vétendue de Varc moyen fus h SMl nauê êemhh parcourir chaque jour ^occident en orient.

86. f/ofhÙB de la Terre n'eit pas circulaire; le Soleil n'occupe pas h eenirê dé çeiie courbe;, enfin ^ le mouvement de translation n'est pas fintforme. Ifons allons démontrer ces trois propositions.

Les variations de la distance solaire sont trop faibles pour qu'pn puisse les tirer de la parallaxe ^ puisque l'angle sour lequel la Terre est vue du Soleil n'est que de 17''; mais on femaraue que le diiim^trp apparent du Soleil change périodiquement avec l'époque annuellp , et que les équinoxes et les solstices ne partagent pas l'animée en qi^atre durées égales; d'oà il a été facile dé juger que le Soleil S (fig* 12) n'est pas è égale distance de la Terre T dans tous les moments. Le pomt 9 le plus rapproché de cet astre est le Périgée ou Périhélie j; le peint A diamétralement opposé est le plus éloigné : c'est V Apogée ou VApMie. Ces deux extrémités P et A sont les Apsides. C'est à peu près au Bobliee d'hiver que la Terre est au premier point; elle est alors

plus proche du SoleiL Elle atteiat le second point A vers Vautre solstice ^ où nous nous trouvons à la plus grande distanee de cet astre.

A l'apogée A y le diamètre solaire est %V Sr^O; au périgée P , il est ZV 35" 6 j la di£Férence est assez légère» Il en résulte pourtant qae les deux lignes AS , SP sont un peu inégales. Et comme ces distaoces sont en raison inverse des diamètres apparents , ou a la proportion AS : SP :: Sâ,59S3 : Sl,5167 , c'est-à-dire que si de la plus grande distance solaire ^ on retranche son S0« à peu près j on a pour reste la plus petite.

Voici les résultats numériques des calculs (n^ S9) :

Distance du Soleii à la Terre.

Périgée S3 580 ray. terr. on 33 780 4S0 lieaet de 3S80 toiaes.

Jpogét S4 888 84 938 540

Moyenne S3 984. ...... 34 559 470

Grand diamètre. Al 969 68 720 570

Ainsi la plus grande distance surpasse la moyenne de 580000 lieues, quantité très-petite comparativement aux dimensions de l'orbe. On suppose ici ray. terr. = 148â,7 lieues (page 25).

87. En supposant a la Terre la même -vitesse en tout temps , l'espace ou l'arc décrit aurait même longueur pour des durées égales : et puisque la distance ST (fig. J 2) ^ . rie , deux arcs égaux de l'orbite, vus du Soleil , paraîtront inégaux. Ci les jugera plus grands pour des distances moindres. C'est aussi ce qui arrive, et l'espace angulaire que le Soleil semble décrire chaque jour varie avec le diamètre apparent , c'est-à-dire avec l'éloignement. Mais en comparant les longueurs dos rayons vecteurs aux accroissements de ces angles, on reconnaît que ceux-ci sont plus grands qu'ils ne doivent l'être a raison du seul changement de distance.

C'est ainsi qu'au périgée, où le diamètre apparent est de 8^,593, le Soleil nous semble décrire en 24* un arc de l'écliptique de 6r,16ô, tandis que cet arc n'est que de 67',19î à l'apogée, où le diamètre est de3r,ttl7. D'où il suit qu'un spectateur placé dans le Soleil verrait notre globe décrire un arc d'environ 61' au périgée , et de 57' à l'apogée. Si le rapport des arcs décrits était égal au rapport des diamètres apparents, qui est l'inverse des distances, c'est-à-dire si ff|f| était = "HTr| > ^' qu'une égalité semblable subsistât pour tous les lieux de l'orbite, on en conclurait que le mouvement annuel est uniforme , et

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que la diffiérence des dislaneet est la seule cause da changement de vitesse apparente. Mais puisque ces deux fractions ne sont jamais égales 9 on est forcé d'admettre un ralentissement réel de la Terre a mesure qu'elle s'éloigne du Soleil , et une accélération quand elle s'en rapproche.Eile se meut donc avec plus de vitesse au périgée qu'a l'apogée.

Hais on trouve que la 1'* fraction est égale au carré de la 2», et par conséquent le rapport des arcs parcouras égal au carré du rapport inverse des distances; «t l'on multiplie le carré du rayon vecteur par l'angk qu'il décrit en un jour, ce produit est donc constamment le même dans toute l'étendue de l'orbite; on doit admettre cette propriété comme noe loi du mouvement annuel» foiirnie par l'observation.

Donc, si du Soleil S (fig. 11), on mène des rayons vecteurs ST, SB, aax extrémités T et B de l'arc décrit en un jour, le produit du carré de ce rayon TS par l'arc ab, qui mesure l'angle S, est constant dans^ tonte l'orbite -, le rayon Sa est quelconque , pourvu qu'il soit le même pour tous les angles décrits. L'arc TB d'écliptique , que la Terre décrit en un jour, est vu du Soleil sous l'angle TSB dont il s'agit ici , et est égal à l'arc apparent que le Soleil nous semble décrire dans le même sens , à la région opposée du ciel .

«Remarques que les points B et T sont supposés assez rapprochés pour qae l'arc TB de l'orbite soit de même longueur que l'arc de cercle TA décrit du rayon ST. Or, dans une courbe, qui diffère si peu d'un cercle dont S serait le centre, rien n'empêche de prendre la d'urée assez coorte pour que l'arc TB soit très-petit ; ce qui entraînera la condition prescrite. En prenant donc, au lien d'un jour, une heure ou une minute pour unité de temps , on pourra , en toute rigueur , dire que le produit dont il s'agit est partout le même , et le secteur circiilaire STA sera censé égal à celui STB de l'orbite. Nous tirons de là deux conséquences:

M. l^ Puisque l'aire du secteur STA (fig. 11) , ainsi que l'enseigne la Géométrie , est 3= TA X t ^^f e^ V^'o^ «

ST X ab

sb : SX :; ab : ta =■ ^ »

on olHieni

aire SBT =2 STA = i (ST)« X ^.

Sk6 étant le même rayon , et le produit ab X ST^ ne changeant pas dans

tonte l'orbite, les secteurs STB décrits dans un temps très-court et

aaAnosiAvaii, 3

66 80LEIL.

constant , ont pont* roeènré tine ^uanUté ifiTariable; cea secteiifa ont donc taoème aire paHoot. Et si l'on prend nn notnbre quelconque de ces unités de temps ^ les secteurs décrits étant éganx, Taire totale décrite est leur somme ^ t}ui est autant de fois le secteur élémentaire quW a pris d'unités : d*où résulte que hs aires décrites par h rûfftm vecteur sont égales en temps égaux; dans des temps inégaux Mse sont proportionnelles à ces temps , quelle qu'en soit la durée. A mesure que le rayon ST croit, TangleS^ décrit dans un temps cpielconqne , diminue, et Vaire STB demeure la même; cette aire devient double dans un temps double ; triple , si le temps est triple ; etc.

S9« â<> Nous ayons tu que chaque angle décrit dans un tempa fiié, étant multiplié par le carré de la distance, donne un produit constftlit ; or, à la distance moyenne, que nous ferons = 1 , Tare décrit en un jour est connu par observation, ei = W,US'j notre produit est donc 89,1S8, qui est le même pour tous les rayons Tecteurs. Donc si l'on obserre quel est, chaque jour, Tare apparent d'écliptique parcouru parle Soleil, puisque le produit de cet arc par le carré delà distance correspondante est K9,128- en divisant 89,128 par cet arc parcouru et extrayant la racine carrée, on aura la distance de l'astre à la Terre , exprimée en parties de la distance moyenne prise pour unité. Et si l*on veut exprimer la distance en rayons terrestres, il faudra mnltiplierle résultat par S3984.

Toici, par exemple , pour le 1«' jour de obaquemois, l'angle décrit en un jour par le rayon yeeteur , tel q>ie les observations le donnent, et la distance correspondante du Soleil, telle qu'elle résulte du calcul, la distance moyenne étant prise pour unité :

Mots.

Jngle, Distance.

Janyier 61'10" 0,983

FéTfier 60.51 0,986

Mai^ 60. 5 6,S9S

Avril 59. 3 1,0066

Mai 58. 6 1,0088

Juin 57.26 1,0146

Mois.

Angles Distance.

Joillet 57'15" l,ei6a

Août 57.88 1,0144

Septembre; , a . 58.10 1,006a

Octobre 50. 7 1,CNM1

Novembre 60.10 0,991

Décembre 60.56 0,986

Uestfacilemaintenantdç tracer l'orbite de la Terre. Marquea un point S (fig. 18) pour le lieu fixe du Soleil , et tracez par ce point une suite de droites formant entre elles les angles respectifs, qui sont exécutés par le rayon vecteur chaque jour de l'année ; ces lignes représenteront la position de ces rayons vecteurs. Portes sur chacune la

MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Vt

longnaor qi» la «ateul ttotitre apt>arlenir aa rayoïi qu'elle nspfjiénte) . joignes enfin les points ainsi obtenus par nn trait coniinn , et toqs aiifvt Uk eourbë P ^ AT. > . qui figure l'éollptique.

La tMamiblanoe de cette eourbe areo la section eoniqae itomnëe Elkpèê^ est oonfirmée parles calouls les plus précis, qut en établissent l'ideiitilé parfaite. Donc VMiptiquêf ouTwb^ annuelle dé h Têm^ miWhê 9liipê€ doni h SMni occupe l'mn ieifinfèn.

L*elltp«i est nne courbe PliAG (fig. Ift) que sa ligne AP. de ploa grande tangnenr coupe en deux parties égaler ; le centré G est lé tniliev de cette ligne AP, qu'on nomme gmni axe. Sur AP, il y a deui pointe 8 et F à distance égale du centre, qu'on nomme les ftffen, et qui jouissent de cette propriété : si de ces Foyers 9 et F on mène deé draitea ST , TF à nn point quelconque X de la courbe ^ la feomtne de eea émt distanees est toujours égale au grand axe AP. Soit pris un fil qni ait AF pmir longueur, et dont les extrémités soiekit fixées Mt foyers 8 et F) tan veit qne si Ton tend ce il , à l'aide d'un stylet T , pour loi doaiHMr In forme FTS^ F6S, etc., la pointe iera sur la conrbe dans tontes eea positions ^ en décrira l'ellipse en faisanl glisser la pointe le len^ du fil , et le maintenant toujours tendu.

La longuenr CA on CP est la moyenne distance (dont nous avons donné la valeur n"* 86)3 la perpendiodlaire GH an grand aie, menée pnr le contnsG> eat le petit axe^ et puisque FG «s SG, et que In somme do ees deux lignes est a= AP, on a FG :»=: SG «& distaAoe moyenne CF &=: demi^-gtand axe; oifin C8 ou GF est ce qu^on nomme VEifleentfiCîêé ; e'eitvla différence entrela moyenne distance €A et la plue gtnnde SA , on la plus petite 8P. Kcy. mon Cours de Mûthémêit* ^nesjpnres, n«886.

Comparons les angles décrite chaque jour par le rayon vettenr BT 1 le pins grand et le plus petit de ces angles indiquent les points opposée A et P : ee sont les sommets ou Apsiàes ; la durée qui sépare les inat antâ eà la T8rre arrive en ees points est celle d'une demi-année. Dès observatleM tf^préeisés ont donné les lieux qui seuls remplissent cea deux conditions : on reconnaît qne la TeHno est arrivée an périgée Fie 1" jauTier 1828 à 8* 24' 42" du matin, temps moyen de. Paris ^ et à Tapogée A le 2 juillet -, que la plus^r^n^le distance AS b^ 1 ^OlWS, la moind^ ft ^a 0,98816 , la moyenne distance étant prise pow tuaité; la déitti-èifférence de ces nombres donne 0,01685 pour l'afeen* firkàé, qni est ks 1888 cenimilUèntes delà moyenne distance ms dH tfsM-^mndiKre. En multipliant ces nombres par 28984, tes longueUffft •ont expriméei ta rayons terrestres; et pour les avoir on lievoi

de SS80 toiâes, il faut en entre multiplier par 14SSy7 («oy; n*" 30).

40. Noos ayons prouTé {n^ S4} que réeliptiqne céleste est un fpmnà cercle de la sphère, au centré duquel nous semblons être fixés ; que ce plan, celui de l'équateur céleste et les pôles , sont de même immobilea dans l'espace. L'intersection de l'équateur DtC:^ (fig. ll>) par l'écliptique KyV^iine fait suivant la droite T^^ 9 diamètre de ces deux cercles célestes : ses extrémités sont les équinoses^ éloignés de 180*^; le signe T est le point où nous parait être le Soleil au printempêf ^ûs est le lieu de cet astre le jour même de l'éqoinoxe à^auiamne. Hais le Soleil étant réellement placé en T, la Terre est en eflet en =îîs au printemps, en T è l'automne*

La figure Id représente les positions de la Terre aux diyers signes; P est le périgée, A l'apogée^ mais pour conformer leur langage aux apparences , les astronomes rapportent au Soleil le monyement an-* nuel de translation dans l'écliptique ; ainsi chacun rectifiera aisément les termes dont ils font usage , et que dorénarant nous adopterons. S sera censé le lieu Ane de la Terre tournant chaque jour sur son axe ; tandis que le Soleil décrit en un an la courbe elliptique PsîîsAT (fig. 15), inclinée sur l'équateur DC de ^8<' 28'/ Le Soleil semble être au périgée P Tcrs le solstice d'hiyer; a l'apogée A vers celui d'été , a l'équinoxe T ^ la fijQ de mars, à l'autre équi^ioxe :^ à la fin de septembre.

Cette ligne T ^ tracée dans l'équateur et dans Vécliptique , a une position que nous savons trouver avec précision ; elle est très-usitée en Astronomie. Nous avons dit, n<^9, que pour faire connaître la situation d'un astre dans le ciel , on en mesure l'aso. dr. et la déclin.; ia première est un arc d'équateur qui s'étend entre deux plans horaires , l'un qui passe par Fastre, l'autre qu'on choisit arbitrairement. Les astronomes sont convenus de prendre pour ce dernier plan le cercle horaire qui passe par l'équinoxe T; les degrés d'asc. dr. se comptent donc sur l'équateur a partir du nœud T9 depuis Méro , qui- occupe ce

• point, jusqu'à S60<>, en faisant le tour entier de ce cercle d'occident en orient, dans le sens du mouvement annuel.

41 • Au lieu de fixer la position d'un astre dans le cid par son aïoenaion droite et sa déclinaison, on peut le rapporter an plan de l'éctip-

• tique. Sur la sphère céleste, abaissez de cet astre un arc de cercle perpend. 8| ce dernier plan -, le nombre de degrés de cet arc est la lati* fudê de l'étoile; donnez-en outre la Zon^tlifde/qui'est l'arc d'écliptique céleste compris depuis le point T jusqu'à celui où ce cercle est