RÈGLE XVI

Quant aux dimensions qui n'exigent pas Tatteiition immédiate de l'esprit, bien qu'elles soient nécessaires pour la conclusion, il vaut mieux les désigner par des figures très-courtes que pai? des figures entières; de la sorte, en effet, la mémoire ne pourra faillir, et la pensée ne sera pas forcée de se partager pour retenir ces dimensions, tandis qu'elle s'appliquera à la recherche des autres.

Au reste, comme nous avons dit que, parmi les innombrables dimensions qui peuvent se peindre dans notre imagination, il ne faut en considérer plus de deux à la fois par un seul et même regard ou par une seule et même intuition, il est important de retenir toutes les autres, de telle sorte qu'elles se présentent facilement à notre esprit toutes les fois que nous en aurons besoin. C'est dans ce but que la mémoire nous semble avoir été créée par la nature. Mais comme cette faculté est sujette à faillir souvent, et pour n'être pas forcé d'employer quelque partie (le notre attention à la renouveler pendant que nous sommes occupés à d'autres pensées, l'art a fort à propos inventé l'usage de l'écriture. A l'aide de cette invention nous ne confierons plus rien à la mémoire ; mais, abandonnant notre imagination libre et entière aux idées présentes, nous tracerons sur le papier tout ce qu'il faudra retenir, et cela au moyen de figures, très- courtes, aûn qu'après avoir examiné chaque chose séparément, selon la règle neuvième, nous puissions, selon la rè^e

onzième, les parcourir toutes par un mouvement rapide de la pensée, et en embrasser à la fois le plus grand nombre passible. Ainsi donc, tout ce qu'il faudra regarder comme l'unité pour la solution de la question, nous le désignerons par un sigûe unique que Ton peut représenter ad libitum; mais, pour plus, de facilité, nous nous servirons de lettres minuscules a,6,c, etc., pour exprimer les grandeurs déjà connues, et de majuscules A, B, C pour les grandeurs inconnues, et souvent nous placerons les chiffres 1, 2, 3, 4, etc., soit en têt« de ces signes, pour indiquer le nombre des grandeurs, soit à la suite, pour exprimer le nombre des relations qu elles coTitiennent. Ainsi, par exemple, si j'écris 2 a', ce sera comme si je disais : le double de la grandeur représenté par a, laquelle contient trois rapports. Par ce moyen, non-seulement nous épargnerons les mots, mais, ce qui est le plus important, nous présenterons les termes de la difficulté tellement simples et réduits à eux-mêmes que, sans rien omettre d'utile, nous ne laisserons en eux rien de superflu, rien qui occupe inutilement Tesprit quand il lui faudra embrasser plusieurs objets à la fois.

Pour mieux comprendre tout cela, il faut remarquer d'abord que les calculateurs ont coutume de désigner chaque grandeur par plusieurs unités ou par un nombre quelconque, mais que pour nous, dans la question qui nous occupe, nous ne faisons pas moins abstraction des nombres que tout à l'heure des figures géométriques ou de toute autre chose ; ce que nous faisous non-seulement pour éviter l'ennui d'un calcul long et superflu, mais encore et surtout pour que celles des parties du sujet qui constituent la nature de la difficulté demeurent toujours distinctes et ne soient pas enveloppées dans des nombres inutiles. Ainsi, par exemple, si Ton cherche la base d'un triangle rectangle dont les côtés donnés sont 9 et 12, un calculateur dira qu'elle est 1^225 ou 15; mais nous, au lieu de 9 et 12, nous ' poserons a et 6, et nous trouverons que la base estk^a* -(- 6*; et ces deux parties a et b qui sont confuses dans le nombre resteront distinctes dans notre formule.

Il faut remarquer encore que par nombre des relations il faut entendre les proportions qui. se suivent en ordre continu, proportions que dans l'algèbre vulgaire on cherche à exprimer par plusieurs dimensions et par plusieurs figures, et dont on nomme la première racine, la seconde carré , la troisième cube, la quatrième double carré; termes qui, je l'avoue, m'ont trompé moimême bien longtemps ; car il me sembloit qu'on ne pou voit présenter à mon imagination rien de plus clair, après la ligne et le carré, que le cube et autres ligures semblables ; et avec leur secours je ne résolvois pas peu de difficultés ; mais après beaucoup d'expériences je me suis enfin aperçu que cette manière de concevoir ne m'avoit rien fait découvrir que je n'eusse pu connoître bien plus facilement et bien plus distinctement sans elle, et qu'on doit rejeter entièrement de telles dénominations, de peur qu'elles ne troublent la conception, parce que la même grandeur qu'on appelle cube ou double carré ne doit cependant jamais, selon la règle précédente, être présentée à l'imagination autrement que comme une ligne ou comme une surface. Il faut donc encore noter surtout que la racine, le carré, le cube, etc., etc., ne sont rien autre chose que des grandeurs en proportion continue que l'on suppose toujours précédées de cette unité d'emprunt dont nous avons déjà parlé plus haut. La première proportionnelle se rapporte immédiatement et par une seule relation à cette unité ; la seconde par l'intermédiaire de la première, et conséquemment par deux, relations ; la troisième par l'intermédiaire de la première et de la seconde, et par trois relations^ etc. Nous appellerons donc désormais première proportionnelle cette grandeur qu'on appelle racine en algèbre; seconde proportionnelle celle qu'on nomme carré, et ainsi des autres.

Remarquons enfin que, bien que nous abstrayons ici du nombre les termes de la difficulté pour en examiner la nature, cependant il arrive souvent qu'elle auroit pu être résolue plus simplement dans le nombre donné que dégagée de ce même nombre ; ce qui se fait par le double usage des nombres, ainsi que nous l'avons vu plus haut, parce que les mêmes expliquent

tantôt Tordre^ tantôt la mesure. Conséquemment, après avoir cherché à résoudre la difticulté, abstraction faite des nombres, il faut la rapporter à ces nombres pour voir si par hasard ils ne nous fourniroient pas une solution plus simple. Ainsi^ p^r exemple^ après avoir vu que la base d*un triangle rectangle dont les côtés sont a et 6, est k^a* + 6* et qu'il faut pour a* poser 8i, et pour 6* i44, nombres qui, additiojinés, font 225, dont la racine, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre Tunité et 225, est 15^ nous connoltrons par là que la base 15 est commensurable avec les côtés 9 et 12, mais non généralement parce qu'elle est la base d*un triangle rectangle dont un côté est à l'autre comme 3 est à 4 ; tout cela nous le distinguons^ nous qui voulons acquérir une connoissance évidente et distincte des clioses, mais non les calculateurs, qui se contentent de rencontrer la somme cherciiée, sans remarquer comment elle dépend des données ; en cela cependant consiste toute la science.

Et maintenant, notons en général qu'il ne faut confier à la mémoire aucune des choses qui ne réclament pas une attention perpétuelle, si nous pouvons les déposer sur le papier, de peur que la tâche superflue de nous les rappeler ne soustraie quelque partie de notre esprit à Tétude de l'objet présent. Il faut dresser un tableau pour y écrire d'abord les termes de la question, tels qu'ils auront été présentés la première fois; puis la manière dont on les abstrait et les figures par lesquelles on les représente^ aûn qu'après avoir trouvé la solution dans les signes mêmes, nous puissions facilement, et sans le secours de la mémoire, l'appliquer au sujet particulier dont il s'agira. En efiet, on ne peut abstraire une chose que d'une autre moins générale; j'écrirai donc de celte manière : dans le triangle rectangle a 6 c, on 9 cherche la base a c, et j'abstrais la difficulté pour chercher en général la grandeur de la base d'après la grandeur des côtés; ensuite, au lieu de aô, qui égale 9, je pose a; au lieu de 6c, qui égale 12, je pose 6; et ainsi du reste.

Notons enfin que nous nous servirons encore de ces quatre règles dans la troisième partie de ce traité, et que nous les prendrons dans une acception un peu plus large que nous ne l'avons fait ici, comme il sera dit en son lieu.

RÈGLE XVll

On doit parcourir directement la difôcqlté proposée, en faisant abstraction de ce que qoelqnes-nns de ces termes sont connus et les antres inconnus , et en saluant par la vraie route lenr mntnelle dépendaDce.

Les quatre règles précédentes ont enseigné comment les difficultés déterminées et parfaitement comprises duivent être abstraites de chaque sujet et amenées à ce point que Ton n'ait plus que de certaines grandeurs à découvrir, à Taide des rapports qui les unissent de telle ou telle façon à d'autres grandeurs doimées. Dans les cinq règles suivantes nous exposerons comment c«s difficultés doivent être traitées, de manière que, quel que soit le nombre des grandeurs inconnues qui se trouvent dans une seule proposition, elles soient toutes subordonnées les unes aux autres, et que, ce que la première est par rapport à l'unité, la seconde le soit par rapport à la première, la troisième par rapport à la deuxième, la quatrième par rapport à la troisième, et qu'en se succédant de la sorte, si nombreuses qu'elles soient^ elles fassent une somme égale à quelque grandeur connue; et tout cela par une méthode si certaine que nous pouvons affirmer sûrement qu'aucun autre moyen n'aiiroit pu ramener ces grandeurs à des termes plus simples.

Quant à présent, notons que. dans toute question à résoudre par déduction, il est une voie plane et directe qui est la plus facile de toutes pour arriver d'un terme à un autre, tandis que toutes les autres sont indirectes et plus difficiles. Pour comprendre cela il faut nous rappeler ce qui a été dit à la règle onzième, où, exposant quel est Tenchaînement des propositions, nous avons montré que, si Ton compare chacune d'elles avec celle qui

la précède et celle qui la suit , on aperçoit facilement comment la première et la dernière sont ainsi en rapport Tune avec Tautre^ bien que nous ne déduisions pas aussi facilement des extrêmes les propositions intermédiaires. Maintenant donc^ si nous considérons leur dépendance réciproque sans interrompre Tordre nulle part, pour inférer de là comment la dernière dépend de la première, ce sera parcourir directement la difficulté. Si au contiaire, de ce que nous savons que la première et la dernière sont jointes entre elles d une manière quelconque, nous voulions déduire quelles sont les intermédiaires qui les unissent, ce<seroit suivre une marche indirecte et contraire à l'ordre naturel. Mais comme nous ne nous occupons ici que de questions enveloppées, dans lesquelles il faut, les extrêmes étant connus, arriver par une marche inverse à la connoissance des intermédiaires, tout l'art consiste alors à supposer connu ce qui est inconnu, et à pouvoir ainsi nous procurer un moyen facile et direct de résoudre les difficultés même les plus embarrassées; et rien n'empêche que cela n'ait toujours lieu, puisque nous avons supposé, au commencement de cette partie, que dans toute question nous reconnoissons que les termes inconnus sont dans une telle dépendance des termes connus qu'ils sont parfaitement déterminés par eux; en sorte que si nous réfléchissons aux choses mêmes qui se présentent d*abord, aussitôt que nous reconnoissons celte détermination , et si nous les comptons quoique inconnues parmi les choses connues, pour en déduire graduellement et par la vraie route le connu lui-même comme s'il étoit inconnu, nous exécuterons tout ce que cette règle prescrit. Quant aux exemples de ce que nous venons d'exposer, comme aussi de plusieurs autres choses dont nous devons parler dans la suite, nous les réservons pour la règle vingt-quatiième ; ils y seront plus convenablement placés.