C.R., T. XXX, p. 17 (14 janvier

Les équations différentielles qui représentent l’équilibre ou le mouvement d'un système de points matériels, celles-là mêmes auxquelles J'étais parvenu dans le Mémoire présenté à l’Académie le 1° octobre 1827, peuvent être appliquées, non seulement à la théorie du son et des corps élastiques, mais encore, ainsi que je l’ai montré dès l’année 1829, à la théorie de la lumière. Ces équations aux différences mêlées deviennent linéaires lorsque les mouvements sont infiniment petits et se transforment, quand on développe les différences finies des inconnues, à l’aide du théorème de Taylor, en équations aux dérivées partielles. D'ailleurs, lorsque le système de points matériels donné est homogène, on peut, dans une première approximation, supposer les coefficients des diverses dérivées réduits à des quantités constantes; et alors les mouvements simples ou élémentaires, représentés par les équations dont il s’agit, sont précisément de même nature que les mouvements vibratoires du fluide éthéré dans un rayon simple de lumière. Le

Concevons à présent que les atomes ou points matériels dont se compose un système homogène donné soient mis en présence d’autres atomes moins nombreux qui appartiennent à un second système pareillement homogène. Les équations linéaires et aux dérivées partielles,

EXTRAIT No 453. 203

qui représenteront un mouvement vibratoire et infiniment petit du premier système, cesseront d’être des équations à coefficients constants. Mais, dans beaucoup de cas, les coefficients seront périodiques, et c’est ce qui arrivera en particulier si l’on considère les mouvements de l’éther contenu dans un corps cristallisé. Or, comme je l’ai remarqué dans un précédent Mémoire, les valeurs moyennes de plusieurs inconnues, assujetties à vérifier des équations linéaires aux dérivées partielles et à coefficients périodiques, sont déterminées par d'autres équations linéaires, mais à coefficients constants, savoir par celles que j'ai nommées équations auxiliaires. En partant de ce principe, on reconnait que les actions exercées sur les atomes de l’éther par les molécules des corps produisent, dans les mouvements vibratoires du fluide lumineux, des perturbations analogues à celles que subit le mouvement d’une planète autour du Soleil, en vertu de l’action exercée sur elle par une autre planète. Entrons, à ce sujet, dans quelques détails.

Si l’on suppose qu'une seule planète se meuve autour du Soleil, l'orbite qu’elle décrira sera une courbe plane, et même une ellipse, dans laquelle le rayon vecteur mené du Soleil à la planète tracera des aires proportionnelles au temps. Cette ellipse pourra d’ailleurs, dans certains cas particuliers, se réduire à un cercle ou s’aplatir indéfiniment.

Si maintenant on suppose qu'une seconde planète se meuve autour du Soleil, elle produira, dans le mouvement de la première, des inégalités ou perturbations de deux espèces, savoir des inégalités périodiques qui s’évanouiront, à des époques équidistantes, sans modifier les éléments de l’ellipse décrite, et des inégalités séculaires qui altéreront sensiblement les éléments du mouvement elliptique.

Or ces divers phénomènes se reproduisent en petit dans la théorie de la lumière. En effet, considérons les mouvements vibratoires du fluide éthéré. Si ce fluide est isolé, ses vibrations pourront être représentées par des équations linéaires à coefficients constants, et alors chaque molécule décrira une courbe plane. Dans le cas le plus général,

cette courbe plane sera une ellipse, et le rayon vecteur mené du centre de l’ellipse à la molécule d’éther décrira des aires proportionnelles au temps. Alors on obtiendra ce qu’on nomme la polorisation elliptique. D'ailleurs l'ellipse pourra, dans certains cas particuliers, se transformer en un cercle, ou s’aplatir indéfiniment, de manière à se réduire à son grand axe, et alors la polarisation elliptique se transformera en polarisation circulaire ou rectiligne. Ajoutons que, dans tout mouvement lumineux qui ne s’éteindra point pour des valeurs croissantes du temps ou de la distance à un plan fixe, les ellipses décrites par les diverses molécules du fluide éthéré seront toutes semblables les unes aux autres et comprises dans des plans parallèles.

Concevons, maintenant, que l’éther mis en vibration soit renfermé dans un autre corps, par exemple dans un milieu cristallisé. Les courbes décrites par les molécules de l’éther seront encore à très peu pres des courbes planes, et même des ellipses. Mais les éléments du mouvement elliptique ne seront plus les mêmes que dans le cas où l'éther était à l'état d'isolement. D'ailleurs, les perturbations produites dans les éléments du mouvement elliptique seront de deux espèces. Les unes, analogues aux égalités périodiques des mouvements planétaires, seront elles-mêmes périodiques. Seulement elles seront représentées par des fonctions périodiques, non plus du temps, comme en Astronomie, mais des coordonnées d’un atome. Si, d’ailleurs, le mouvement vibratoire de l’éther n’est pas du nombre de ceux qui s’éteignent pour des valeurs croissantes du temps ou de la distanec à un plan fixe, alors, dans le passage d’un atome à un autre, deux éléments de ce mouvement vibratoire resteront invariables, savoir la longueur d'une ondulation lumineuse ou, en d’autres termes, l'épaisseur d'une onde plane et la durée des vibrations. Quant aux perturbations non périodiques, elles seront analogues aux inégalités séculaires des mouvements des planètes, et altéreront les deux éléments dont il s'agit.

J'ajouterai ici une remarque importante.

La plupart des phénomènes que présente la théorie de la lumière,

par exemple la propagation des ondes lumineuses dans les corps isophanes ou dans les milieux doués de la double réfraction, la dispersion des couleurs produite par le prisme, la diffraction des rayons transmis à travers une petite ouverture, la réflexion et la réfraction opérées par la surface d’un corps peuvent être déduits de l’intégration d'équations linéaires à coefficients constants; et j'étais en réalité parvenu, non seulement à les en déduire, mais encore à tirer du calcul les lois de ces phénomènes avec assez de bonheur pour que les prévisions de l'analyse aient été jusqu'ici confirmées par l'expérience. Toutefois, il restait à expliquer quelques autres phénomènes, particulièrement la polarisation chromatique produite par certains liquides, tels que l'huile de térébenthine et l'acide tartriqué, ou même par ces liquides solidifiés, comme le montrent les belles expériences faites récemment par M. Biot. Or les principes que je viens d’énoncer permettent de rattacher ces phénomènes si remarquables aux actions directes exercées par les molécules des corps sur les atomes de l'éther, et à une distribution particulière de ces atomes déterminée par ces mêmes actions. C’est, au reste, ce que j'expliquerai plus en détail dans un nouvel article.

Je remarquerai, en finissant, que les mêmes principes fournissent encore l'explication de la différence qui existe entre la vitesse du son donnée par la formule newtonienne et la vitesse déterminée par l'ex-

périence.

ANALYSE

Considérons les équations qui représentent les mouvements vibratoires et infiniment petits de deux ou de plusieurs systèmes de molécules coexistants dans un même lieu. Ces équations, linéaires et aux différences mêlées,. pourront souvent se transformer, comme je l'ai dit ailleurs, en équations aux dérivées partielles et à coefficients périodiques, qui renfermeront, avec les diverses inconnues, leurs dérivées des divers ordres, prises par rapport aux temps £ et aux coordonnées rectangulaires ou obliques x, y, = d’un point quelconque, les coelli-

cients de chaque inconnue et de ses dérivées étant eux-mêmes des fonctions périodiques de +, y, z.

Concevons, pour fixer les idées, que chaque coefficient soit une fonction périodique des coordonnées æ, y, z, qui ne change pas de valeur quand on fait croître ou décroitre ces coordonnées de quantités représentées par des multiples des trois paramètres a, b, c, savoir æ d’un multiple de a, y d’un multiple de b, z d’un multiple de c; et posons |

a = rs 6 — SE = tx.

a b C Un coeflicient quelconque K pourra être développé en une série ordonnée suivant les puissances entières, positives, nulles ou négatives des exponentielles trigonométriques

axi : zi e qe, ebri, eŸ ne

de sorte qu’on aura (x) K — Selaxi el'6yi pl"ysi A r6, dy

la sommation qu’'indique le signe $S s'étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives des quantités Z, /’, l’; et, pour satisfaire aux équations données, il suffira de développer, non seulement chaque coefficient K, mais encore chaque inconnue &, en une série de même forme, en posant, par exemple,

F4 ’ 2 " mm:

(2) 8 = Seti ee Te ER

puis d'égaler entre eux, dans les deux membres de chaque équation, les coefficients des puissances semblables des exponentielles

eaxi, ebri, eYäi,

En opérant ainsi, et supposant que, dans le développement de chaque inconnue, on néglige les termes où la somme de valeurs numériques des trois quantités {, l’, [” surpasse un nombre donné, on obtiendra des équations linéaires et aux dérivées partielles, qui

pourront être substituées avec avantage aux équations proposées, puisque les coeflicients qu'elles renfermeront ne seront plus des fonctions périodiques de æ, y, z, mais des quantités constantes.

Considérons, en particulier, un mouvement vibratoire et infiniment petit de l'éther dans un milieu cristallisé, et nommons £, r, L les déplacements d’un atome d’éther, mesurés parallèlement aux axes des æ, y, z, supposés rectangulaires. D’après ce qui a été dit dans le Mémoire présenté à la séance du 17 décembre, on pourra supposer ce mouvement représenté par trois équations de la forme

| (D? — G)EË DD, HE our D, Hs + D, HE), (3) { (D?— G)n =D, (D, HE + D,Hn + D, HÉ), (D}— QG) =D, (D, HE + D, Hn + D, HE),

les valeurs de &w, v, æ étant

ICE LAS v =D,, Hess 0

et G, H désignant deux fonctions entières de w, v, æ. Si, d’ailleurs, le milieu cristallisé dont il s’agit offre trois axes de symétrie parallèles aux axes rectangulaires des æ, y, z, alors G, H seront des fonctions périodiques de ces coordonnées, et resteront invariables quand on fera croître x d’un multiple de a, y d’un multiple de b, z d’un multiple de ce, les quantités positives a, b, c désignant les trois dimensions d’un parallélépipède élémentaire. Cela posé, les fonctions périodiques G, H et les inconnues |

Em pourront être développées en séries ordonnées suivant les puissances entières des exponentielles etzi, ebri, eYii, Ajoutons que, dans une première approximation, on pourra réduire

chaque série à son premier terme, c'est-à-dire à la valeur moyenne de G, H,£,nout, représentée par G,, H,, &, n, ou &,, et qu'alors à la

place des formules (3) on obtiendra les équations (D? — Go)Ëo = D, (D, Hé + D, H,n0 + D,, HG)»

(D? — Go)n0= De (Da HoËo + De Ho no + Dy Hobo), (D? — G)6 = D, (D, HiËo + D, Hono + D Hoo)

un = Sr

qui seront linéaires comme les premières, mais à coefficients constants.

Concevons, à présent, que l’on procède à une seconde approximalion, en conservant dans chaque développement, non seulement le terme indépendant des exponentielles trigonométriques

exti, eéri, eY=i, mais encore les termes proportionnels à leurs premières puissances positives ou négatives, et en posant, par exemple,

(5) E=b+EsettitEe esri + E, eYsi+E Lje-tri+ Ee e-ori+ E e-Yii, LA

Remarquons, d'ailleurs, que a, b, c étant très petits, et «, 6, y très considérables, les équations identiques de la forme DE (sex#i) né (D, + æi)! 8%

D (2 e6ri) — (D, + 8i)/8,

se réduiront sensiblement aux suivantes D (Bu eXTi) — (ai)! 8,

DE (8e e6ri) —(6i)/es,

quand on considérera des mouvements simples ou même des mouvements vibratoires produits par la superposition de mouvements simples dans lesquels les longueurs d’ondulation surpasseront notablement les paramètres a, b, c. Enfin, en ayant recours à un artifice de caleul imaginé par M. Sarrus, désignons, à l’aide de la notation

= tt

$ Pot, w=Yi KR ou | K, ou er €

EXTRAIT N° 453. 209 ce que devient une fonction entière K de, e, æ quand on y remplace u par &i, ou e par 6i, ou æ par yi. La seconde approximation fournira, pour la détermination simultanée de vingt et une inconnues

Éor os Go:

us Mas Vas 665 n6,: 66; Éy; My» y:

49 (4 Sa; 7 , 1-6» —65 E , UT 404 fs Éas as Gas Ë6, n6 be; Ex, ny L

d'abord trois équations de la forme

D? Ë0 = Go E +D,(D,H, Éo + DH n +D,H Go ) u=aiI

| [G-oËx + D,(D, H yËx + D, Huynx +D, Hs )]

v=6i | [G-6Ë6 + D,(D, Hsés + D,H5n5 + D,H 46 )]

# de CR DU RE DR CD HU) * " .

u—=— Ai | [Gx Ex + D,(D, H, Eux + D,H, n,+ D, H, É-a)| v—=2 61

| [Ge ë 6e + D,(D, Hs E6+ D, HG 1-6 + D,, H6 6-6)

ETES ESS CDS EE DH AD He €.)

puis dix-huit équations de la forme Î ; =œi

Déés = | [GoËx + Da(Da Ho Ëa + De Ho na + D, Ho £3)] + GoËo + D, (D, 6 + D, Hino + D, 5 ),

“si (+) / Das | [Go a+ D, (D, EH é+ D, Hi ns + D, H £)] + Gao + D, (D, Hé + D, Ho + D, Huit ),

2 Et Dix = | [Go Cu +D,,(D, H, Ex + D, H, Na + D, H, Ca)] \ + Gao + D, (D, Ho + D, Hino + D, Ho);

savoir les équations (7) et celles qu'on en déduira en y remplaçant, non seulement l'indice & par l’un quelconque des indices 6, y, — «,

Feat x

— 6, —Y, mais encore la‘condition | par celles des conditions D=OT Cw=YI u=—at v=—61 w=— Yi ; , *

# | , |... |24.:}- qui se rapportera au nouvel indice.

Il y a plus : dans l'hypothèse admise, on pourra négliger les premiers

OEuvres de C., S. 1, t. XI. . 7

membres des formules (7) vis-à-vis des seconds membres, et réduire ainsi ces formules aux suivantes :

l'A AI $ | [Go Ex + D,(D, Hé, + D,H, Na + D,, EH, 6)] = TT Gaxéo — D, (D, H,.Ë + D, Hono + D, HG ),

ai | [Go Na + D,(D,H Ex + DH n:+ D, H Cx)] =— Gyno — D, (D, H, + D, H:no + D, H, 5 ),

SE: | | [Go Cu + D,(D, H, Eu + D,H, Na + D, H, Cu)] ont Gao —D,(D, H,Ë + De Hino +D, H; 6).

En résumé, les équations des vibrations lumineuses propagées à travers un milieu cristallisé pourront être représentées dans une première approximation par les équations (3), et dans une seconde approximation par les équations (6), (8), etc., jointes aux formules (5). Or les équations (6), (8) étant linéaires et à coefficients constants, on pourra les vérifier en supposant les diverses inconnues toutes proportionnelles à une même exponentielle caractéristique, et, en opérant ainsi, on arrivera aux conclusions énoncées dans le préambule de ce Mémoire.

De plus, on pourra choisir les fonctions de 4, 6, w, représentées par

Hs: y! Ge, H;; G,, H,; ne: H >: Ge, H6: G, H,;

de manière que les équations (6), ou plutôt celles qu’on en déduit en

éliminant les inconnues