INTRODUCTION

Q UELQUES personnes, qui ont bien voulu guider ines premiers pas dans la carrière des sciences , et parmi lesquelles je citerai avec reconnaissance MM. Laplace et Poisson^ ayant témoigné le désir de me voir publier le Cours d'anaîyse de l'Ecole royale polytechnique , je me suis décide à mettre ce Cours par écrit pour la plus grande utilité des élèves. J'en offre ici la première partie connue sous îe nom d'A nahjse algébrique , et dans laquelle je traite successivement des diverses espèces de fonc-

OEuvres de C. — S. II, t. III.

ij INTRODUCTION.

lions réelles ou imaginaires , des séries convergentes ou divergentes, de la résolution des équations, et de là décomposition des fractions .rationnelles. En parlant de îa continuité des fonctions , je n'ai pu me dispenser de faire connaître les propriétés principales des quantités infiniment petites , propriétés qui servent de base au caïcuï infinitésimal. Enfin, dans les préliminaires et dans quelques notes placées à la fin du volume , j'ai présenté des développemens qui peuvent être utiles soit aux Professeurs et aux Elèves des Collèges royaux , soit à ceux qui veulent faire une étude spéciale de l'analyse.

Quant aux méthodes , j'ai cherché à leur donner toute la rigueur qu'on exige en géométrie , de manière à ne jamais recourir aux raisons tirées de la généralité de Faïgèhre. Les raisons de cette espèce , quoique assez communément adn^ises, sur-tout

INTRODUCTION. iij

Sans fe passage des séries convergentes aux séries divergentes , et des quantités rêelïes aux expressions imaginaires, ne peuvent être considérées , ce me semble , que comme des inductions propres à faire pressentir quelquefois la vérité , mais qui s'accordent peu avec l'exactitude si vantée des sciences mathématiques. On doit même observer qu'elles tendent à faire attribuer aux formules algébriques une étendue indéfinie, tandis que, dans ïa réalité, fa plupart de ces formules subsistent uniquement sous certaines conditions, et pour certaines valeurs des quantités qu'elles renferment. En déterminant ces* conditions et ces valeurs, et en fixant d'une manière précise le sens dés notations dont je me sers , je fais disparaître toute incertitude ; et aiors les différentes formules ne présentent plus que des relations entre les quantités réelles, relations qu'il est toujours facile de vérifier

iV INTRODUCTION.

par îa substitution des nombres aux quan* tités elfes - mêmes, H est vrai que , pour rester constamment fidèle à ces principes , je me suis vu forcé d'admettre plusieurs propositions qui paraîtront peut-être un peu dures au premier abord* Par exemple, j'énonce dans le chapitre VI, qu^une séné divergente n'a pas de so7nme;da.ns le chapitre VII, qu une équation imaginaire est seulement la T'eprésentation symbolique de deux équations entre quantités réelles; dans ie chapitre IX, que, si des constantes ou des vaHahles comprises dans unefonC' tion , après avoir été supposées réelles , deviennent imaginaires , la notation- à Vuidè de laquelle la fonction se trouvait exprimée, ne peut être conservée dans le calcul qu'en vertu d'une convention nou" V elle propre à fixer le sens de cette nota^ tion dans îa dernièi^e hypothèse ; &c. Mais ceux qui liront mon ouvrage reconnaîtront,

HNïPxODUCTION. V

je l'espère, que les propositions de cette nature , entraînant Theureuse nécessité de mettre plus de précision dans les théories, et d'apporter des restrictions utiles à des assertions trop étendues , tournent au profit de l'analyse, et fournissent plusieurs sujets de recherches qui ne sont pas sans importance. Ainsi , avant d'effectuer la sommation d'aucune série, j'ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être sommées, ou, en d'autres termes, quelles sont les conditions de leur convergence ; et j'ai, à ce sujet, établi des règles générales qui' me paraissent mériter quelque attention*

Au reste, si j'ai cherché, d'une part, à perfectionner l'analyse mathématique , de l'autre, je suis loin de prétendre que cette analyse doive suffire à toutes lès sciences de raisonnement. Sans doute , dans les sciences. qu on nomme naturelles, la seule

VJ INTRODUCTIOiX.

méthode qu'on puisse employer avec succès consiste à observer les faits et à soumettre ensuite ies observations au calcul. Mais ce serait une erreur grave de penser qu'on ne trouve ia certitude que dans ies démonstrations géométriques, ou dans îe témoignage des sens ; et quoique personne jusqu'à ce jour n'ait essayé de prouver par l'analyse J'existence d'Auguste ou ceiie de Louis XIV, tout homme sensé conviendra que cette existence est aussi certaine pour îui que ie carré de i'hypothénuse ou le théorème de Maclaurin. Je dirai plus ; îa démonstration de ce dernier théorème est à ia portée d'un petit nombre d'esprits , et les savans euxmêmes ne sont pas tous d'accord sui Fé- ^ndue qu'on doit lui attribuer ; tandis que toutie monde sait fort bien par qui ia France «a été gouvernée dans ie dix-septième siècie, et qu'ii ne peut s'éiever à ce sujet aucune contestation raisonnabie. Ce que je dis ici

ÏN.TRODIÎGTION. vij

d'un fait historique peut s'appliquer égale-^ ment à une foule de questions, en religion , en morale, en politique. Soyons. donc persuadés qu'il existe des vérités autres que les vérités de i'aïgèbre^ des réalités autres que les objets sensibles. Cuitivoiîs avec ardeur ies sciences mathématiques, sans vouloir ies étendre au-delà de leur domaine ; et n'allons pas nous imaginer qu'on puisse attaquer l'histoire avec des formules, ni donner pour sanction à ia moraïe des théorèmes d'aigèbre ou de calcul intégrai.

En terminant cette Introduction , je ne puis me dispenser de reconnaître quç ies lumières et ies conseiis de plusieurs personnes m'ont été fort utiies , particuiièi'ement ceux de MM. Poisson ^ Ampère et CoHoîis. Je dois'à ce dernier, entre autres choses 9 ia régie sur îa convergence des produits composés d'un nombre inhni de facteurs, et j'ai profité plusieurs fois des

viij INTRODUCTION.

observations de M, Ampère, ainsi que des méthodes qu'il développe dans ses Leçons d'analyse.

.*N#N*\^ ^r'.#v#vr«^