C. R., T. XIV, p. 9^2 (20 juin i

Dans la séance précédente, j'ai rappelé la méthode dont je m'étais servi en 18 19 {bulletin de la Société philomathique) pour intégrer complètement les équations aux dérivées partielles du premier ordre, quel que fût d'ailleurs le nombre des variables indépendantes, et j'ai comparé cette méthode à celles qui ont été données depuis cette époque par M. Jacobi et par M. Binet. Il m'a semblé utile d'examiner s'il ne serait pas possible d'appliquer à ces mêmes équations la méthode dont Lagrange et Charpit ont fait usage, de manière à lever les difficultés que 'cette application semblait présenter au premier abord. Tel est l'objet de la présente Note. En approfondissant le sujet, je suis parvenu, non seulement à faire disparaître les difficultés dont il s'agit, mais encore à déduire de mon analyse quelques propositions nouvelles, et en particulier la suivante.

Supposons que l'équation donnée renferme, avec les variables indépendantes

, dont l'une t peut représenter le temps, une inconnue cr, et ses dérivées partielles du premier ordre

relatives aux diverses variables indépendantes. Si les équations ditïérentielles, que l'on substitue à cette équation aux dérivées partielles, sont intégrées, et si le système de leurs intégrales générales est décom-

posé en deux autres systèmes qui offrent respectivement : i" les valeurs initiales de oc, y, z, ...; 2« les valeurs initiales des dérivées/?, y, r, . . . , et de l'inconnue u, exprimées en fonction de

on obtiendra une solution complète de l'équation aux dérivées partielles, non seulement en supposant les valeurs des dérivées p, q, r, ... déterminées en fonction de x, y, z, . . ., i, r^ par le premier système d'intégrales générales, mais encore en supposant, avant cette détermination, une ou plusieurs intégrales du premier système remplacées par une ou plusieurs intégrales correspondantes du second système, savoir, l'intégrale qui renferme la valeur initiale de x; par l'intégrale qui renferme la valeur initiale de la dérivée relative à œ ; l'intégrale qui renferme la valeur initiale de j, par l'intégrale qui renferme la valeur initiale de la dérivée relative à j, etc. D'ailleurs, les valeurs p, g, r, ... étant une fois déterminées en fonction de x,y, :■,..., t,n, on pourra, dans tous les cas, en déduire celle de s, à l'aide de l'équation donnée, puis celle de u, en intégrant la formule

drn = p dœ + q dy -^ r dz -+-... + s dt.

Calcul intégral. — Mémoire sur les équations linéaires simultanées aux dérivées partielles du premier ordre.