PAR SA REFLEXION TOTALE

DANS L'INTÉRIEUR DBS CORPS TRANSPARBNTS.

[BmlkHn i» U Socx*« pkikmtkiq» , pour i8»3, p. s9. - Anmabu dt Hu«« tt dt phytiqu*, t. XXIX, p. 176 , cahier de juin i8i5.]

Il est remarquable que les phénomènes d'optique les* plus anciennement connus, et l'on pourrait dire les plus vulgaires, la réflexion et la réfraction, soient ceux pour lesquels on est parvenu le plus tard au calcul des intensités de la lumière. Malus a donné une loi très-simple des intensités relatives des deux faisceaux dans lesquels la lumière polarisée se divise en traversant un rhomboïde de spath calcaire ; et en attendant la vérification expérimentale que M. Arago doit faire de cette loi, j'estime qu'on a de fortes raisons de la regarder comme rigoureuse, abstraction faite des petites différences de proportion de lumière réfléchie aux deux faces du rhomboïde selon l'espèce de réfraction que subissent les rayons. On connaît depuis plusieurs années les lois générales des intensités de la lumière dans les phénomènes de la diffraction et de la coloration des lames cristallisées; quoiqu'elles n'aient guère été vérifiées jusqu'à présent que par des expériences indirectes, la multitude et la variété des faits qui les confirment suffiraient pour prouver leur exactitude , quand même la simplicité des principes dont elles découlent ne serait pas d'ailleurs une forte présomption en leur faveur.

M. Young a donné le premier l'expression de l'intensité de la lu- 1. 95

N° XXIX (A), mière réfléchie à la surface des corps transparents, en fonction du rapport des vitesses de propagation ou des longueurs d'ondulation de In lumière en dedans et en dehors du milieu réfléchissant. M. Poisson est arrivé ensuite à la même formule, pour les ondes sonores, par une analyse plus rigoureuse, mais ces deux savants n'avaient résolu le problème que dans le cas de l'incidence perpendiculaire. J'ai été conduit aux formules générales des intensités de la lumière directe ou polarisée, réfléchie sous toutes les incidences, par l'hypothèse sur la nature des vibrations lumineuses qui m'a fait découvrir peu de temps après la véritable loi de la double réfraction des cristaux à deux axes. Ces formules ont été publiées dans le tome XVII des Annales de Chimie et de Physique, pages 196 et 3iaW.

On conçoit que tous les phénomènes qui accompagnent la réflexion et la réfraction doivent être intimement liés entre eux : aussi ces formules, qui donnent la proportion de lumière réfléchie ou transmise sous une inclinaison quelconque, fournissent-elles encore le moyen de calculer, pour la même incidence , la proportion de lumière polarisée par réflexion et par transmission, ou la déviation du plan de polarisation des rayons incidents, s'ils ont été préalablement polarisés, ainsi que je l'ai montré dans la note citée.

Tant que la réflexion est partielle, soit qu'elle ait lieu à la première ou à la seconde surface du milieu diaphane, elle ne fait éprouver à la lumière incidente qu'une simple déviation de son plan de polarisation , sans altérer d'ailleurs en aucune manière ses propriétés primitives, quel que soit l'azimut de ce plan relativement au plan d'incidence. Mais lorsque la réflexion est totale, les rayons réfléchis éprouvent en général une dépolarisation partielle, surtout si le plan de réflexion est dans un azimut de 65° relativement au plan primitif de polarisation. La lumière ainsi modifiée peut toujours être représentée par la réunion de deux faisceaux polarisés, l'un suivant le plan de réflexion, l'autre suivant une direction perpendiculaire, et différant d'ailleurs dans leur

• Voyez V XXII. S 17 «I suivants.

marche d'une certaine fraction d'ondulation. Quand cette différence V' \Xl\ (A), est nulle, la lumière reste complètement polarisée, d'après les règles d'interférence; c'est ce qui a lieu au commencement de la réflexion totale et à sa seconde limite, c'est-à-dire quand les rayons incidents deviennent parallèles à la surface; mais entre ces deux limites il y a toujours, entre les deux faisceaux, une différence de marche, qui varie avec l'angle d'incidence, et après avoir crû jusqu'à un certain maximum, diminue ensuite et redevient nulle lorsque cet angle atteint 900 : l'incidence qui donne ce maximum, ainsi que la différence de marche correspondante, varient aussi avec le rapport de réfraction des deux milieux au contact desquels s'opère la réflexion totale. La loi de ces variations me paraissant très-diflicile à découvrir, je ne l'avais pas même cherchée, depuis six ans que ces phénomènes m'étaient connus; ce n'est que tout récemment que je me suis occupé de ce problème, et j'en ai trouvé la solution dans les expressions générales qui représentent les intensités des rayons réfléchis.

Avant d'en déduire la loi dont il s'agit, je commence par présenter dans mon Mémoire un calcul très-simple de ces formules. 11 repose sur la loi de Descartes, sur le principe de la conservation des forces vives, et sur cette hypothèse subsidiaire, savoir, que les composantes des vitesses absolues des molécules vibrantes, parallèlement à la surface réfléchissante, ne changent pas de grandeur dans les ondes réfléchies el transmises pendant que celles-ci s'éloignent de la surface Pour démontrer rigoureusement que ces formules sont une conséquence nécessaire du genre de vibration que j'attribue aux rayons lumineux, il faudrait d'abord établir l'exactitude de cette hypothèse et prouver

(l' Je suppose toujours, pour simplifier pas de dislance relativement à leur centre

les raisonnements , que l'onde incidente est d'ondulation , qui est aussi infiniment èïoi-

plane. ou le point lumineux situé à l'infini . gné, el que. sous ce rapport, il ne doit pas

en sorte que les ondes réfléchies ou trans- y avoir d'affaiblissement sensible dans les vi-

mises en s éloignant de la surface ne changent tesses absolues des molécules vibrantes.

[m) ta texte imprimé dans le Bulletin de la société philomathique ajoute entre parenthèses : •rce qui ne me parait pas bien difficile, r

V XXIX (A), ensuite la justesse de l'application du principe de la conservation des forces vives au cas que je considère, où les deux milieux réfringents ayant la même élasticité ne diffèrent qu'en densité. Je me suis borné à ce cas, parce qu'il paraît résulter de toutes les observations que la réflexion est toujours nulle au contact de deux milieux également réfringents, quelque différence d'élasticité qu'il puisse d'ailleurs y avoir entre eux, et qu'en général les proportions de lumière réfléchie ne dépendent que du rapport de réfraction; en conséquence, pour les calculer, il est indifférent de considérer le ralentissement de la marche de la lumière dans le milieu le plus réfringent comme résultant d'une plus grande densité ou d'une moindre élasticité. Néanmoins il serait très-important d'établir ce principe par les lois de la mécanique. Je me propose, quand j'en aurai le loisir, de reprendre le problème dans toute sa généralité, et de donner, si je puis, une démonstration complète et rigoureuse de ces formules. En attendant, j'ai cru devoir les faire connaître, ainsi que le calcul très-simple qui y conduit, calcul dont elles tireraient déjà un grand degré de probabilité, quand elles ne seraient pas en outre appuyées par plusieurs mesures très - précises de M. Arago, et par les observations que j'avais faites sur les déviations du plan de polarisation des rayons réfléchis à la surface extérieure du verre et de l'eau.

Je considère successivement le cas où les rayons incidents sont polarisés suivant le plan de réflexion, et celui où ils sont polarisés perpendiculairement à ce plan, c'est-à-dire les deux cas dans lesquels les vibrations de ces rayons lui sont perpendiculaires ou parallèles. Si 1 on appelle i l'angle d'incidence, ï l'angle de réfraction, et qu'on prenne pour unité le coefficient commun des vitesses absolues dans les ondes incidentes, on trouve que celui des ondes réfléchies est égal, pour le premier cas , à

si n i cos*' — sin i cos/ sin i cosf -4-sim" cos»'

sin (/ - i ") «nli + f '

et pour le second, à Nl XXIX (A).

sin m os i sin i" rosi sin i cos « sin f cos r '

tang(i-f).

tang(n-0'

conséquemment, si l'on prend pour unité l'intensité de la lumière incidente, celle de la lumière réfléchie dans le premier cas sera

sin' (i-Q sin^i-i-O'

et dans le second,

tang' (i-Q tang»(i + 0'

Je ne m'arrêterai pas à montrer comment ces formules s'accordent avec les expériences de Malus et la loi de Brewster; le lecteur y suppléera aisément : il pourra voir aussi, dans la note déjà citée, comment on déduit de ces formules les déviations qu'éprouve le plan de polarisation de la lumière incidente quand il est oblique au plan de réflexion . les proportions de lumière directe polarisée par réflexion ou par ré- Fraction, et l'expression suivante de l'intensité de la lumière réfléchie, lorsque les rayons n'ont éprouvé aucune polarisation préalable.

1 sin' i T| i tang' u — Q

2 si!?! i + 0 â tang1 (i -i-0 '

Je passe maintenant à l'objet principal du Mémoire, qui est la loi des modifications que la réflexion totale imprime à la lumière polarisée. Lorsque la réflexion a lieu dans l'intérieur d'un corps transparent , situé dans le vide ou dans l'air, ou en contact avec un milieu moins réfringent que lui, si l'on appelle n le nombre fractionnaire qui exprime le rapport des vitesses de la lumière dans les deux milieux, sin »". au lieu d'être égal à -~ * est égal à n sin i , et ï est un angle droit quand wsini ' — î ; après quoi son cosinus devient imaginaire; ce qui fait entrer des imaginaires dans les deux formules rapportées plus haut.

sin icnsi - sin i'cosi sint'cosf -t-sin f cos»'

V \XI\ (A), et

sin i cost -sin ïcosi sin icosi -i-sinf cosi"

qui expriment les intensités des vibrations des ondes réfléchies, selon que les ondes incidentes sont polarisées parallèlement ou perpendiculairement au plan de réflexion. Cependant il est clair que lorsque n sin . est plus grand que 1, la totalité de la lumière est réfléchie, d'après le principe de la conservation des forces vives, puisque la transmission ■les vibrations lumineuses dans le second milieu devient impossible, comme on le démontre aisément à l'aide du principe des interférences . •lu moins pour un point distant de la surface d'une quantité trèsgrande relativement à la longueur d'une ondulation. D'un autre côté, si ces formules sont vraies depuis l'incidence perpendiculaire jusqu'à • elle où i = 900, qui les rend Tune et l'autre égales à 1 , elles doivent •xprimer encore une chose vraie passé cette limite, lorsqu'elles deviennent en partie imaginaires et prennent la forme a +b \J — 1. En interprétant, de la manière qui m'a paru la plus naturelle et la plus probable, ce que l'analyse voulait indiquer par cette forme imaginaire, j'ai trouvé l'expression générale de la différence de marche que la réllexion totale établit entre la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence et celle qui l'est perpendiculairement à ce plan. Sans doute cette expression ne découle pas d'une manière aussi évidente et aussi certaine des formules précédentes que la loi des simples déviations du plan de polarisation des rayons qui n'ont éprouvé qu'une réflexion partielle l"; mais ce qui rond très-probable la justesse de l'interprétation que je donne de ces formules dans le cas de la réflexion totale, c'est que d'abord elle trouve une première vérification dans les formule: mêmes, et qu'ensuite l'expression qui en dérive s'accorde avec tous le laits que j'avais observés précédemment et avec les expériences nou velles par lesquelles je viens de la vérifier.

La forme compliquée de l'expression à laquelle je suis ainsi parvenu.

; Mon but était seulement de découvrir suis (imposé pour le moment que d'en don- -vlle loi h l'aide de la théorie, et je ne me ner une démonstration expérimentale.

RÉFLEXION TOTALE DANS LES CORPS TRANSPARENTS. 75«i

par un calcul dont les détails sont exposés dans mon Mémoire, suffit V X\l\ i »i. pour faire sentir combien il aurait été difficile de la découvrir par la simple observation des faits. Nommant toujours i l'angle de l'incidence intérieure et n le rapport de réfraction, si l'on représente par une circonférence entière la longueur d'une ondulation lumineuse, la différence de marche, après la réflexion totale entre les deux faisceaux polarisés, l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence, a pour cosinus,

a n* sin^ i (»' + i ) sin' i i (h* -h i)sin* /' - i

Lorsque la lumière incidente est entièrement polarisée suivant le plan de réflexion ou dans une direction perpendiculaire, elle ne donne qu'un système d'ondes, qui conserve le même plan de polarisation, et se trouve seulement réfléchi à des profondeurs un peu différentes, selon que son plan de polarisation est parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion. Mais quand les ondes incidentes sont polarisées dans tout autre azimut, on peut alors décomposer leurs mouvements vibratoires parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence, et les intensités de ces vibrations composantes sont représentées par le sinus et le cosinus de l'angle que le plan de polarisation fait avec le plan d'incidence; les vibrations composantes perpendiculaires au plan d'incidence ne seront pas réfléchies à la même profondeur que celles qui lui sont parallèles, et I on pourra calculer leur différence de marche au moyen de la formule ci-dessus : connaissant ainsi les intensités relatives et la différence de marche des deux systèmes d ondes réfléchies, polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan de réflexion, if sera facile de déterminer les intensités des images ordinaire et extraordinaire que la lumière totale produira en traversant un rhomboïde de spath calcaire, d'après l'azimut de sa section principale, en suivant la même méthode que pour les lames minces cristallisées.

Si le rapport de réfraction n était le même pour les rayons de diverses couleurs, leurs intensités resteraient égales dans l'image ordinaire comme dans l'image extraordinaire, qui ne présenteraient alors

N° XXIX (A), aucune trace de coloration , lorsque la lumière incidente serait blanche;

mais n varie un peu avec la nature des rayons, en sorte que leurs intensités ne restent pas rigoureusement égales dans chaque image; et le calcul fait voir que ces différences d'intensité doivent être d'autant plus sensibles, que l'angle d'incidence se rapproche davantage de la limite de la réflexion partielle, qui, comme on sait, répond à des inclinaisons diverses pour les diverses espèces de rayons colorés; tandis que les mêmes différences d'intensité s'affaiblissent rapidement à mesure qu'on s'approche du parallélisme à la surface, c'est-à-dire de l'autre limite de la réflexion totale, qui est la même pour tous les rayons; en conséquence, la coloration des images ordinaire et extraordinaire ne doit être bien sensible que dans le voisinage de la réflexion partielle , ainsi que l'expérience le montre, quand on a soin d'employer un prisme de verre bien recuit et ne conservant aucune trace de double réfraction. Je n'ai pas comparé en détail les résultats du calcul avec ceux de l'observation relativement à ces phénomènes de coloration, mais je suis persuadé d'avance que la formule ci-dessus serait pleinement confirmée par cette épreuve; je me suis particulièrement attaché à la vérifier par d'autres expériences susceptibles d'une plus grande précision.

Dans cette vérification expérimentale, je me suis proposé d'obtenir une différence de marche d'un quart d'ondulation par deux ou un plus grand nombre de réflexions totales. En dirigeant bien exactement le plan de la polarisation primitive dans un azimut de 65° relativement au plan de réflexion, afin que les deux faisceaux fussent d'égale intensité, leur réunion devait présenter, au travers d'un rhomboïde de spath calcaire, les apparences d'une lumière complètement dépolarisée, et enfin tous les caractères de la polarisation circulaire, caractères faciles à constater. L'espèce de verre que j'ai employé était le crown de Saint- Gobain, dont l'index de réfraction est i,5i. En mettant ce nombre à la place de n, on trouve, d'après la formule, que les incidences qui doivent donner rigoureusement une différence de marche égale à un quart d'ondulation après deux réflexions intérieures sont 68° 37' et 5/i°37'; entre ces deux angles la différence de marche varie très-peu

et atteint son maximum quand i= 5i°3lûL J'ai fait tailler un parallé- N' XXIX (A), lipipède de verre dont les faces d'entrée et de sortie étaient inclinées de 5 h° 7 sur les surfaces réfléchissantes, afin que les rayons réfléchis sous l'incidence de 5&°T fussent perpendiculaires aux faces d'entrée et de sortie; et j'ai proportionné la longueur de ce parallélipipède à son épaisseur, de telle sorte que les rayons entrés par le milieu de la première face sortissent au milieu de la seconde, précaution utile pour s'assurer aisément qu'ils ont été réfléchis sous l'inclinaison calculée. L'expérience m'a fait voir que l'angle de &U°~ satisfaisait à la condition énoncée, c'est-à-dire que, sous cette incidence, deux réflexions dépolarisaient complètement la lumière polarisée dans l'azimut de 65°.

Je me suis ensuite proposé d'obtenir le même résultat , d'abord par trois réflexions totales, et puis par quatre : pour le premier cas, le calcul donne les incidences de 63°i l! et 690 12', et dans le second, celles de 620 21L et 7 6° Ui'. J'ai observé, sous les deux premières, l'effet de trois réflexions, et j'ai trouvé que la lumière réfléchie sous l'incidence de 69°i2', étant analysée avec un rhomboïde de spath calcaire, présentait toujours deux images blanches d'égale intensité, tandis qu'elles se coloraient un peu lorsque l'incidence était de 63° 1 1^ comme je devais m'y attendre, à cause de son voisinage de la limite de la réflexion partielle. C'est pour cette raison que, dans le second cas, de quatre réflexions successives, je n'ai point essayé l'angle de Ui° 20', mais seulement celui de 7 6° 62', qui imprimait à la lumière émergente tous les caractères de la polarisation circulaire. J'ai produit enfin la même modification par quatre réflexions totales, dont deux à la surface de contact du verre et de l'eau , et les deux autres sur la seconde surface du même parallélipipède de verre non mouillée , en recevant les rayons sous l'incidence de 68° 27', qui m'avait été donnée par le calcul. Ces vérifications, quoique peu nombreuses, me paraissent, à cause de la variété des circonstances, prouver suffisamment l'exactitude d'une formule en faveur de laquelle s'élèvent déjà des probabilités théoriques.

En résumé, l'on voit qu'on peut maintenant calculer tous les phé-

:V \X1\ (A), nomèiies qui accompagnent, la réflexion et la réfraction produites par les corps transparents, savoir : i° les intensités des rayons réfléchis et transmis sous toutes les incidences, soit qu'on emploie de la lumière directe ou polarisée; <j° les déviations du plan de polarisation, quand on emploie celle-ci, et les proportions de lumière polarisée par réflexion et par réfraction , quand la lumière incidente n'a reçu aucune

polarisation préalable; 3° enfin les modifications que la réflexion totale imprime à la lumière polarisée, sous toutes les inclinaisons et pour tous les azimuts du plan primitif de polarisation.