COS
colacoYJTly
même expression que dans le cas précédent, en supposant, bien entendu , que a est toujours l'azimut du plan de polarisation du rayon immédiatement avant la réflexion.
10. Je n'ai pas encore vérifié la formule dans ce second cas, à cause de la nécessité de tailler les faces d'entrée et de sortie perpendiculairement aux rayons incidents et émergents pour les différentes obliquités dont on fait l'essai, si l'on veut que la déviation observée soit uniquement due à la réflexion intérieure. A la vérité on pourrait faire cette vérification d'une manière indirecte en employant une glace à faces parallèles et tenant compte des déviations résultant des deux réfraction» que le faisceau éprouve de la part de la première surface. Ce procédé aurait l'avantage de permettre de varier sans frais, et autant qu'on le désirerait, l'obliquité des rayons incidents. Je n'ai point encore fait ces expériences, mais je ne doute pas que leurs résultats ne fussent conformes à ceux du calcul basé sur les formules que je viens de donner
"; M. Brewster a conlirmé ultérieurement cette prévision. Voyez ie9 Transactions philosophiques pour i83o.
On en déduit pour la tangente de l'angle que le plan de polarisation N° XXX. d'un rayon réfracté fait avec le plan d'incidence :
1 1 . Quand on fait tomber de la lumière ordinaire sur la surface d'un corps transparent, puisqu'elle peut toujours être considérée comme composée de quantités égales de mouvements vibratoires parallèles el perpendiculaires au plan d'incidence, si l'on veut avoir la proportion de lumière polarisée dans les rayons réfléchis, il suflira de calculer, pour chaque incidence, au moyen des formules
» sin'(< t ) # i ta ng' (t-T;
les proportions dans lesquelles se réfléchissent la lumière polarisée parallèlement au plan d'incidence et la lumière polarisée perpendiculairement au même plan , et de diviser la différence de ces deux expressions par leur somme; le quotient sera la proportion de lumière polarisée contenue dans le faisceau réfléchi. Quant à la quantité de lumière polarisée par transmission, elle sera égale à l'autre, d'après la théorie que nous venons d'exposer, comme d'après les anciennes expériences de M. Arago.
12. En étudiant avec un prisme les modifications que la réflexion intérieure imprime à la lumière polarisée dans un azimut de 65° relativement au plan d'incidence, j'avais observé depuis longtemps que les rayons réfléchis ne conservaient leur polarisation primitive que jusqu'à la limite de la réflexion partielle, et que, lorsque la réflexion devenait complète, la lumière réfléchie se trouvait en partie dépolarisée. Cette dépolarisation devenait totale après deux réflexions semblables sous une incidence de 5o° environ. J'en avais conclu, d'après les règles d'interférences des rayons polarisés, que la lumière réfléchie se trouvait alors composée de deux systèmes d'ondes égaux différant d'un quart d'ondulation et polarisés l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence; ce qui revient à dire que les deux faisceaux polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence
N" XX\. dans lesquels on peut diviser le faisceau incident n'ont pas été réfléchis en quelque sorte à la même profondeur, ou, s'ils l'ont été l'un et l'autre à la surface même, y ont éprouvé des modifications différentes dans les périodes de leurs vibrations, et de telle manière qu'après une de ces réflexions le faisceau polarisé suivant le plan d'incidence se trouve en retard d'un huitième d'ondulation sur l'autre, ou en avance de g, et, après deux réflexions pareilles, en retard d'un quart ou on
avance de 7(,).
Mais cette différence de marche ou de période de vibration varie avec l'inclinaison des rayons; et la loi de ses variations m'avait paru si difficile à découvrir que, depuis six ans que ces phénomènes de dépolarisation m'étaient connus, je n'avais pas même essayé d'en chercher la loi, et je n'espérais la trouver qu'après avoir résolu d'une manière complète le problème mathématique de la réflexion et de la réfraction. La solution que je viens d en donner au commencement de ce Mémoire est sans doute bien incomplète, i° eu ce que je n'ai considéré que le cas où les deux milieux, ayant la même élasticité, différeraient seulement par leurs densités, tandis qu'il doit arriver le plus souvent que les deux milieux diffèrent eu même temps d'élasticité; 'i° en ce que /'ai appuyé mes calculs sur un principe que je n'ai point démontré, principe évident, à la vérité, lorsque les vibrations s'exécutent parallèlement à la surface réfringente, mais qui aurait besoin de démonstration dans le cas contraire où les rayons sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, c'est-à-dire où leurs vibrations s'exécutent dans ciplan.
Néanmoins, comme il paraît résulter des faits observés jusqu'à présent que les proportions de lumière réfléchie et transmise à la surface de contact des deux milieux, ainsi que l'angle de la polarisation complète, ne dépendent que du rapport de réfraction des deux milieux, c'est-à-dire du rapport des vitesses de propagation rie la lumière dans
VoyexN-XVL
Il' MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 781
chacun d'eux, quelle que soit d'ailleurs leur différence de nature et de N° XXX. densité pondérable'", et par conséquent sans doute leur différence d'élasticité, il me paraît très-probable que, si l'on avait égard dans le calcul à cette dernière différence, on aurait le même résultat qu'en attribuant uniquement à une différence de densité les vitesses différentes avec lesquelles la lumière parcourt ces deux milieux, et qu'ainsi l'on retomberait encore sur les formules (1) et (a). Quant à l'hypothèse subsidiaire sur laquelle elles reposent, elle me parait aussi d'une grande probabilité, à en juger par l'accord satisfaisant entre ces formules et toutes les observations exactes sur lesquelles j'ai pu les vérifier jusqu'à présent. Ayant donc tout lieu de croire qu'on doit les considérer comme rigou reuses (et d'autant plus qu'elles ne sont pas seulement vérifiées par des laits, mais encore établies sur des considérations théoriques déjà trèsprobables en elles-mêmes) , j'ai cherché si ces mêmes formules qui m'avaient conduit d'une manière si simple à la loi des déviations que les rayons éprouvent dans leur plan de polarisation par l'effet de la réflexion extérieure, ne m'aideraient pas à deviner la loi des modifications d'une nature toute différente que la réflexion totale imprime à la lumière polarisée, et j'y suis effectivement parvenu au moyen des inductions que je vais exposer.
13. Les formules (1) et (2) conservent la forme réelle pour toutes les valeurs de i comprises entre o et 900, tant que le second milieu est plus réfringent que le premier; mais quand il l'est moins, c'est-à-dire lorsque le coefficient n, par lequel il faut multiplier «ni pour avoir sin f . est plus grand que 1 , avant d'atteindre 900, on trouve une valeur de i pour laquelle la valeur correspondante de sin 1' est égale à 1 et passé laquelle ce sinus est plus grand que l'unité; alors cosi' devient imaginaire et avec lui les formules (1) et dans lesquelles il entre. Cependant, en vertu de la loi générale de continuité, si elles étaient une expression exacte des lois de la réflexion jusqu'à la limite dont nous
111 J'appelle ainsi la partie de la densité particules de ce corps, on ne peut pus le du milieu qu'on peut peser, c'est-à-dire celle peser, parce qu'il est inroerrible. du corps : quant ii l'éther contenu entre les
V XXX. venons de parler, elles doivent encore l'être après; mais l'embarras est de les interpréter et de deviner ce que l'analyse annonce dans ces expressions imaginaires. C'est néanmoins ce que nous allons tâcher de faire, sinon par des raisonnements rigoureux, au moins par les inductions les plus naturelles et les plus probables.
Pour fixer les idées, prenons d'abord la formule (1) :
sin ï cos t - sin i'cosi
sin i cos i ■+- sm i cos i
qu'on peut mettre sous la forme
sin i \J\ - «'sin' i - n sin i cos i
sin i v/i - n* sin' i' + n sin i cos i ou multipliant haut et bas par le numérateur,
ou
sin' j ( i — n' sin' i 1 4- n* sin' j cos' i — a n sin' ï cos i \J i - n* sin' /
sin* i ( i - n' s>n' i)-n* sin' i cos' i
t i — «' sin' i -i- n' cos' i — an cos i \/ 1 — »' sin 't V i -n'sin'r — n* cos*/
Tant que n2 sin2 1 est plus petit que i, cette valeur de v est réelle: quand i = n2sm2i, elle devient
n cos i
c'est-à-dire que la totalité de la lumière incidente est réfléchie; mais lorsque n2sin2i est plus grand que i, le radical \J i — n* sin2 i, qui s'était évanoui dans le dernier cas, reparaît, et de réel qu'il était auparavant devient imaginaire; alors nous le mettrons sous la forme y/n2sin2i — i y/— Tt et la valeur de v sous celle-ci :
( i — n' sin' i + n' cos* i —an cos i \J n* sin' t — i y1— i
1 — i +n* sin' i n* cos' i - i ■+■ n* sin' i -+- n* cos' ï
ou
i + «' — a n* sin' i a m/, i - sin* i) v/n' sin* i — i y/- i , A »
14. On voit que cette valeur de v est la somme d'une quantité réelle et d'une quantité imaginaire. Quand /i2sin2i = i, le terme imaginaire
s'évanouit et le terme réel devient égal à i; mais lorsque nasin*i est i\" \X\. plus grand que », quoique la valeur de v renferme alors un terme imaginaire et que le terme réel devienne plus petit que 1 , il est certain, d'après la théorie (,) comme d'après l'expérience, que la totalité de la lumière incidente est encore réfléchie; d'une autre part, rien n'est changé dans le milieu que parcourent les rayons réfléchis : c'est toujours le premier milieu; ainsi nous savons d'avance que le coefficient commun des vitesses absolues des molécules dans les ondes réfléchies doit être réel et égal à 1 ; que signifie donc le terme imaginaire qui entre dans ce coefficient Il signifie sans doute que les périodes de vibration des ondes réfléchies, qui, dans les bases du calcul, avaient été supposées coïncider à la surface pour les oncles incidentes et réfléchies, ne coïncident plus; en effet, si c'est la véritable interprétation de l'expression imaginaire, l'analyse, ne pouvant pas abandonner dans ses réponses la supposition fondamentale de cette coïncidence, nous donnera nécessairement, pour coefficient des vitesses absolues réfléchies, une quantité imaginaire; car si l'on représente par x le chemin parcouru à partir de la surface, et que sin (o + x) soit la vitesse absolue d'un point de l'oncle réfléchie situé à la distance x, dans le cas où ses périodes de vibration coïncidaient à la surface avec celles de l'onde incidente, si ces périodes sont retardées ou avancées dans l'onde réfléchie d'une certaine quantité, la vitesse absolue du même point sera sin(«' + x) : or, quel que soit le coefficient réel A par lequel on multiplie sin(.a + .r), on ne pourra jamais faire que A sin (a 4- x) soit égal à sin (a' + x) pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire qu'en continuant à compter les périodes de vibration comme on l'avait fait d'abord, il n'est aucun coefficient constant réel qui puisse servir à représenter les vitesses absolues dont les diverses molécules du milieu sont animées à chaque instant par l'effet
l,> A l'aide du principe des interférence», on démontre aisément (du moins pour un point éloigné de la surface réfringente d'une distance très-grande relativement à la longueur d'ondulation) que la lumière trans-
mise est nulle dans re cas, et par conséquent , d'après le principe de la conservation des forces vives, la lumière réfléchie doit être égale à la lumière incidente.
!S° XXX. des ondes réfléchies. Cela posé, et suivant toujours la même idée, nous pouvons concevoir le système d'ondes réfléchies décomposé en deux autres différant d'un quart d'ondulation et dont l'un aurait toujours à la surface, entre ses vibrations et celle des ondes incidentes, la coïncidence de période que nous avions supposée primitivement dans notre calcul, ou, en d'autres termes, serait réfléchi à la surface même de séparation des deux milieux; alors le coefficient de ce système d'ondes sera réel et celui de l'autre imaginaire. Si la forme à laquelle nous avons amené la valeur de v met en évidence ces deux coefficients, il faut que le carré du premier terme
i - n' gin' i + n1 cos' i -i+n*
plus le carré du second
an cos i y/n1 gin1 1 — 1
qui dans la valeur de v est affecté du facteur imaginaire y/— i, donnent une somme égale à l'unité : or c'est effectivement ce qui a lieu. Nous pouvons donc, avec un espoir bien fondé de ne pas nous méprendre, déterminer la position du système d'ondes réfléchi d'après ces deux systèmes composants, dont l'un, partant de la surface même, a pour coefficient de ses vitesses absolues
i + n' — an* sin' î
et l'autre, qui diffère du premier d'un quart d'ondulation, a pour coefficient
- an \/i — sin'/ v/"' «n1 1 — i 1 , 1 .
15. Après avoir déterminé de cette manière la position du système d'ondes résultant, le procédé le plus direct pour vérifier le résultat du calcul serait de comparer par interférence la différence de marche entre deux rayons voisins dont l'un aurait éprouvé la réflexion totale sous une inclinaison donnée, et dont l'autre, réfléchi sous la même inclinaison et par la même surface, ne l'aurait été que partiellement au
Il MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 785
moyen du contact d'un liquide réfringent en son point d'incidence. Je V XXX. n'ai pas encore eu le temps de faire cette expérience ; et comme l'objet principal de mes recherches théoriques était de découvrir la loi des modifications imprimées à la lumière polarisée par la réflexion totale, modifications qui dépendent de la différence de position que cette réflexion établit entre les ondes polarisées suivant le plan d'incidence et celles qui sont polarisées perpendiculairement à ce plan, j'ai dû calculer d'abord cette différence et voir si elle s'accordait avec les faits que je connaissais, puis en vérifier l'expression générale par des expériences nouvelles.
16. Pour avoir les coefficients des deux systèmes d'ondes composants de la lumière réfléchie, lorsque les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, il faut appliquer à la formule (2) les transformations et les raisonnements que nous venons d'employer pour la formule (1); et d'abord nous chasserons les imaginaires du dénominateur en multipliant haut et bas par le numérateur, ce qui nous donnera :
sin* i cos' i + sin* 1 cos' 1" — a sin 1 cos 1 sin ? cos /
sin' 1 cos' 1 — sin* f cos* ; expression qu'on peut mettre sous la forme :
cos' 1 -t- n' 1 — 11' sin' 1 ) — an cos 1 yV sin* i — 1 y - 1 cos' i-hii' (n'sin' 1 — 1
ou
(n*-+- i)sin*i — n'- 1 an\/( 1 — sin V) { «' sin' i - 1 ) v/— 1 ft}\ *'- + („• ,)[(„•+ l)sin«i- !]+(„■ ,)[(„*+ osin'i-.]
Nous considérerons donc la lumière réfléchie comme composée de deux systèmes d'ondes séparés par un quart d'ondulation, dont l'un, parti de la surface, aura pour coefficient de ses vitesses absolues :
h* -f- Qsin'^ - »' -- 1 {«'- i)[(n'+ ilsin'i - il '
et l'autre
an y (1 — sin' 1 ) ; n' sin1 i — 1 ; 11' ' - 1 ) [ i n' + 1 ) sin' 1 - 1 ] "
7K(, THÉOKIK DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTIOiV
V XX\. .'I l'on trouve en effet que la somme des carrés de ces deux cofilirieut* est égale à 1 .
Pour les simplifier, remplaçons la constante n*i par c et In quantité variable sin'i par x, alors ils deviennent :
ic'+i i-f i . i yv i - jj ex — 1 1
i.C- \ \ [{C+ il J - l]' ' (f — Il [(C+ I) J - l] '
Par le même changement de lettres dans la formule (A), on a :
r+i- ar-r ^ — a y/ r i — ,r r.r — t <• — i ' r — i
pour les coeflicients correspondants, dans le cas où la lumière incidente est polarisée suivant le plan d'incidence.
17. On sait que, pour déterminer la position de chacun des deux systèmes d'ondes résultants, quand ces deux systèmes composants sont comme ici séparés par un quart d'ondulation, le calcul d'interférence est absolument semblable au calcul qu'on l'ait en statique pour trouver la direction de la résultante de deux forces rectangulaires. Ainsi. lu longueur d'ondulation étant représentée par une circonférence entière, si nous représentons par l'angle a la distance qui sépare les points homologues du système résultant et du système composant réfléchi à la surface, nous aurons, pour le cas où la lumière incidente est polarisée simant le plan de réflexion,
c -+- i — acj- • — a V/ c ' i — -v ' i r.r - i
cos<x = . et sma = .
et représentant par l'angle /S la distance du système résultant au système composant réfléchi à la surface, dans le cas où les rayons ont été polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, nous aurons :
a i c* -t- 1 1 x — c — i • o ai, r 1 1 — .t 1 I ci — i ;
Pour avoir l'intervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes résultants, c'est-à-dire leur différence de marche, il suflit de calculer a— |3, ce qu'on peut faire aisément au moyen de lu formule
cos (a — (3} = tos a ros jS + sin a si n jS;
Il' MÉMOIRE SUR L\ RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 787 substituant à la place de cosa. sina. cos(3, sin (S, leurs valeurs, ou a : N" XXX.
f m [r'+i j-i'-i)-1c;i-i (fi-i, " îr ,'[r+»x - '
<»« . effectuant les multiplications du numérateur et ordonnant par rapport à r.
ic { c — i 1 x' -+- r -+• î ) c — î 1 ./ — c • i ' cos.a-^j - c..,«>-, x+ll <
ou enliii, divisant haut et bas par {c -
2 , - ara ' +- c 4- 1 a i
cas a - pi - — •
Pour employer celte formule, il faut se rappeler que x est le carré •lu sinus d'incidence intérieure, c le carré du rapport de réfraction . et •pie l are a— £ divisé par la circonférence exprime la fraction d'ondulation dont le système d'ondes polarisé perpendiculairement au plan d'incidence est en avance ou en arrière du système d'ondes polarisé suivant ce plan, après la réflexion; car le signe de l'arc a- jS ne peul pas être indiqué par son cosinus.
i 8. La formule (a), qui nous a donné le coefficient des vitesses absolues de l'onde réfléchie, quand les rayons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de réflexion, présente dans l'interprétation de son signe une petite difficulté qui pourrait, au premier abord, faire penser qu'elle ne s'accorde pas avec les observations sur la déviation du plan de polarisation dans la réflexion extérieure. Pour nous faire mieux entendre, prenons le cas où l'angle i est presque égal à 900. c'est-à-dire où les rayons incidents sont presque parallèles à la surface: on sait qu'alors le plan de polarisation des rayons réfléchis est sur !«• prolongement des rayons incidents. Cependant la valeur
sin 1 cos 1 - sin i" cos 1
sin 1 cos 1 + sin 1 cos 1 devient alors « = -+- 1, tandis que l'autre formule
sin » cos f- sin T cos»
sin j cos 1 -+ sini cosi donne dans le même cas v= - 1 , ce qui semblerait indiquer, au pre-
V XXX. mier abord, que le premier système d ondes exécute ses vibrations au point d'incidence dans le moine sens que le faisceau incident, et le second système d'ondes en sens contraire du faisceau incident qui l a produit, d'où résulterait un mouvement composé perpendiculaire à celui de l'ensemble des deux faisceaux incidents. Mais il faut faire attention (jue cette interprétation du signe est vraie pour les rayons polarisés suivant le plan d'incidence, dont les vibrations sont toujours parallèles dans les ondes incidentes, transmises et rélléebies, quelle que soit I inclinaison «le ces rayons; tandis qu'on ne peut pas entendre de la même manière le signe i dans le second cas, où la direction des vibration.rélléebies fait en général un certain angle avec celle des vibrations incidentes. Quand les rayons sont perpendiculaires à la surface, ces deux directions coïncident; mais, à mesure que l'obliquité augmente, elles s écartent l'une de l'autre et ne finissent par coïncider de nouveau à l'autre limite qu'après avoir décrit chacune <)o° ou ensemble i8o°, d'où l'on pourrait déjà conclure que le signe de la valeur de v doit être interprété d'une manière opposée. Et en ell'et, si l'on remonte à l'équation par laquelle nous avons exprimé que la composante horizontale de la vitesse absolue dans l'onde transmise était égale à la somme de celle de l'onde incidente et de celle de l'onde réfléchie prise avec son signe, on voit que le signe positif ou négatif de celle-ci indique qu'elle porte les molécules parallèlement à la surface, dans le même sens que l'onde incidente ou en sens contraire; or, considérons le cas où les rayons avant dépassé l'inclinaison de la polarisation complète, la valeur de v
est devenue positive; soit IC l'onde incidente qui a produit l'onde réfléchie ' IH: il est évident, par la seule inspec-
tion de la ligure, que dire que les composantes d.-s deux vitesses absolues parallèles à la surface AH ont le même signe, agissent dans le même sens, c'est dire que, si la vitesse absolue qui agit suivant 1C tend à éloigner la molécule I du milieu inférieur, la vitesse absolue de l'onde réfléchie agissant suivant RI tend à l'y faire entrer, et qu'en conséquence, à- la
Il MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LI MIÈRE POLARISÉE. 789
limita, Inisque les rayons »'-tant parallèles à la surface les deux ondes S \\\ lui seront perpendiculaires, leurs vitesses absolues agiront précisément en sens contraires. Ainsi, puisque, d'après nos calculs, la vitesse absolue a le même signe que sa composante horizontale, nous mois rappellerons qu'une valeur positive de v indique seulement la similitude de signe dans les composantes horizontales des ondes incidentes et rélléchies, ou, ce qui est plus simple pour le cas dont nous nous occupons, nous changerons le signe de v en convenant que les vitesses absolues dans les ondes incidentes et réfléchies porteront le même signe, quand elles pousseront les molécules de la surface «lu même < ôté, et des signes contraires, lorsque l'une les poussera en dedans du premier milieu el l'autre en dedans du second ;* .
Cela posé, la valeur de v changeant de signe dans le cas où les layons incidents sont polarisés perpendiculairement au plan de ré-
Il résulte de ces considérations que l'expression exacte «le la v liesse «.!•- viluation ivfl. i lu-- est. pour In lumière jKiliii isi;e dans le plan dïncid. nec .
sinli i) sin i * i
et pour la Iikhi. iv |H»liiri«;e p. i |ieiidirul,iir.im«'nt au plan il incidente
lang r+ F}"
Si. le deuxième milieu tUant plus réfringent que le premier, i est plus grand que i . I . \-
piv-ioii 'r est toujours négative, mais l'expression J'™^ V ',- esl positive tant
ipie < • i . si plus p. lit que <jo\ Il n'y a donc pas toujours perte d'une dcmi-loiigiiein d ondulation dans la réflexion de la lumière lorsque le deuxième milieu est plus réfringent «pie le premier, comme Fresnel. après Young. l'a suppose' dons la tht'orie des anneaux rolorés i voir les n*' IV et \ ), et il peut y avoir perle d'une demi-longueur d ondulation dans «vilains eus. lorsque le deuxième milieu est moins réfringent que le premier. Mais il \ a toujours opposition de signe entre les vitesses réfléchies sous des incidences rorrespmiilniit«'S aux deux surfaces d'une laine transparente environnée de toutes paris par le même milieu. Otte opposition de signe est en réalité tout ce «pi'exige la tln'-orie des anneaux colon*.. [ K. Verdet.
V AU. flexion, sinj3 et cosjS en changent aussi, et par conséquent la valeur de «os (a — (3), qui devient :
19. VéritioiM d'abord cette formule sur les faits qui nous sont connus : nous savons d'abord qu'aux deux limites de la réflexion totale il n'y a plus aucune dépolarisation partielle du faisceau incident polarisé dans l'azimut de 45°: et en effet, pour la première, n sin t = i , par conséquent n*sin- i, ou
< ,r — i . cos (a — f3) — aJ ~J ~ x . ou cos (a — j3) = i : pour la seconde limite, quand les rayons sont parallèles à la surface .
\insi, dans un cas comme dans l'autre, l'angle a— jS est égal à zéro ou a un nombre entier de circonférences, et conséquemment il n'y a pas de différence de marche entre les deux systèmes d'ondes polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan d'incidence qui composent le faisceau réfléchi; leur réunion doit donc reproduire une lumière complètement polarisée, comme la lumière incidente, et précisément dans l'azimut donné par l'expérience. Nous savons encore que sous l'incidence de ht) \ la différence de marche entre les deux systèmes d'ondes réfléchis est égale à un huitième d'ondulation, ou du moins n'en diffère que très-peu; or, si l'on met dans la formule sin* (5o") à la place de t . «•t à la place de c le carré de i,5i , qui est l'indice de réfraction de la glare de Saint-Gobain , on trouve :
re qui donne pour a— j3 un arc de Ub° 63' quantité presque égale au huitième de la circonférence, puisqu'elle n'en diffère pas d'un soixantième.
20. J'avais reconnu aussi dans mes anciennes observations que la dépolarisation partielle produite par une seule réflexion dans le verre ne
Il' MEMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIERE POLARISÉE. 791
dépasse guère ce terme, et qu'après être restée quelque temps au même .V \\\. point pendant qu'on augmente l'inclinaison des rayons incidents, elle diminue continuellement jusqu'à la seconde limite de réilexion totale, où elle devient tout à fait insensible. On peut, à l'aide de la formule (C). calculer ce maximum, qui répond au minimum de cos (a— f3). en diflerentiant par rapport k x et égalant le coefficient différentiel à zéro, ce qui donne, après plusieurs réductions.
d'où l'on tire
et, substituant cette valeur de r dans la lormule {()). on ;i
• il substituant à la place de c sa valeur, on trouve 4.V 5(i' £ pour le maximum de a-£, ce qui excède bien peu, comme ou voit, le huitième de la circonférence. En mettant aussi pour c sa valeur dans la lormule r ou sinai— —, on trouve i--.">r un'1.; lel esl l'aimte d'imidence qui donne le maximum de dépolarisalion partielle produite par nue seule réflexion intérieure du verre de Saiut-Gobain.
*21. Après m'etre assuré ainsi que la formule (C) représentait bien la marche générale du phénomène entre les deux limites de la réflexion complète, et donnait précisément à ces deux limites et dans l'incidence de ôo° les résultats que j'avais observés depuis longtemps, j'ai fail quelques expériences nouvelles pour vérifier celte formule dans les incidences intermédiaires. Le degré de dépolarisation le plus facile à conslaler est celui de la dépolarisation complète, parce qu'il donne deux images d'égale intensité quand on analyse la lumière aver un rhomboïde de spath d'Islande, et deux images incolores quand on la tait passer dans un tube rempli d'essence de térébenthine; c'est pourquoi j'ai toujours fait eu sorte d'arriver à la dépolarisalion complète par la succession des réflexions totales, dans les expériences nouvelles que je vais rapporter.
V XXX. D'après la valeur maximum que nous venons de trouver pour a -(3, et qui excède à peine d'un degré le huitième de la circonférence, il esl Hair que, pour avoir entre les deux faisceaux une différence de marche égale à un quart d'ondulation, il faut au moins deux réflexions totales dans l'intérieur du verre. J'ai voulu déduire de la formule (C) l'incidence exacte qui satisfaisait à cette condition, c'est-à-dire donnait rigoureusement un huitième d'ondulation de différence à chaque réflexion, et, pour que la formule pAt servir à d'autres expériences où le nombre des réflexions serait plus considérable, j'ai résolu le problème d'une manière générale en représentant par a le cosinus de la partie quelconque de circonférence à laquelle on voulait que l'arc a — j3 fût égal, el, égalant la valeur de cos (a- (3) au cosinus donné*/, j'ai eu l'équation :
— |W - t — a, ou -^£\r (c-h i).r 4- i = a{c-i- i)x — a.
ou enfin.
d'où l'on tire
H il
f, <•■*■ ' (' -+-« ^yn -*-« [ r-f- i ' i a -*<•] {. ^
On voit que x, ou sin'i, a en général deux valeurs différentes, qui ne deviennent égales que dans le cas du maximum de la différence de marche a — 13, parce qu'alors a étant égal à
), ou a-\ i à t^-î, (c + if(i + «)- 8c = o.
et le radical s'évanouit.
(Juand on fait a égal à cos /i5° ou y/.^ , on trouve pour les deux valeurs
n»rres|)ondantes de l'angle d'incidence. î— S-/ \ et i—h!\°\\-l'\.
\a\ première des valeurs étant plus voisine que l'autre de la première limite de la réflexion complète, qui est différente pour les diverses espèces de rayons, on sent aisément que, calculée d'après le rapport de réf-artion des rayons jaunes, elle devra donner des résultats moins semblables pour les rayons de différente réfrangibilité; c'est donc la
Il- MÉMOIRE Si R LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 793
seconde valeur qu'il faut adopter de préférence, si l'on veut avoir plus N" XXX. d'uniformité dans les modifications imprimées aux diverses espèces de rayons colorés qui composent la lumière blanche. J'ai fait tailler un
parallélipipède de verre de Saint-Go-
X / bain, dont les faces d'entrée et de
^ / -, / sortie étaient inclinées de 56° 37' sui
les deux autres, de manière qu'elles lusMMit perpendiculaires au faisceau polarisé dans l'azimut de /i5°, qui .'•prouvait successivement deux réflexions intérieures sur celles-ci, sous l'incidence calculée de 54° 3;'. Alors, analysant les rayons émergents a\ec un rhomboïde de spath calcaire, j'ai trouvé les deux images sensiblement incolores et d'égale intensité, dans quelque azimut que je tournasse sa section principale.
11. Cette expérience, n'étant guère qu'une répétition de celles que j'avais faites anciennement, mais seulement plus exacte et éclairée par la théorie, ne pouvait en être considérée comme une vérification nouvelle; c'est pourquoi j'ai essayé de produire la même modification, ou d'obtenir une différence de marche d'un quart d'ondulation, d'abord par trois et ensuite par quatre réflexions totales.
Dans le premier cas, il faut que a-j3 soit égal à un tiers de quadrant, ou que a H>it égal à cos3o° : celte valeur, substituée dans la formule (IV). donne pour l'angle d'incidence i, qui satisfait à cette condition, M* 10' et b\)° m' {. J'ai voulu vérifier par l'expérience ces deux valeurs de i, et pour cela j'ai fait tailler deux verres trapézoïdaux,
dont les faces d'entrée et de sortie étaient inclinées en sens contraires sur les deux faces réfléchissantes, dans l'un de 63° 11' et dans l'autre de (\if 1 ■.»', de sorte qu'elles fussent perpendiculaires aux rayons incidents et émergents réfléchis dans le premier verre sous l'incidence de /|3° t 1', e! dans le second sous celle de Oif 1
\° XXX. La première incidence s'approche trop de l'origine de la réflexion totale pour que la valeur de a— (3 ne varie pas sensiblement d'une espace de rayon aux autres; aussi ai-je remarqué quelques traces de coloration dans les deux images en analysant le faisceau émergent avec un rhomboïde de spath calcaire; mais d'ailleurs il paraissait aussi complètement dépolarisé qu'on pouvait s'y attendre.
L'autre verre, taillé d'après l'incidence de 690 12', m'a donné un faisceau modifié d'une manière beaucoup plus uniforme pour les diverses espèces de rayons, et qui, analysé par la double réfraction, donnait toujours deux images blanches et d'égale intensité dans quelque azimut qu'on tournât la section principale du cristal.
J'ai ensuite produit la même modi6cation par quatre réflexions consécutives; il faut pour cela que a— (S soit égal à un quart de quadrant, ou que rt = cos 3 2° 3o'; ce qui donne pour 1 les deux valeurs suivantes :
( = 42°i9'5o" et i = 74»4i'ôo",
La première valeur de i était trop voisine de l'origine de la réflexion totale (que les rayons jaunes éprouvent à hi° 28' 20" d'incidence) pour que je ne fusse pas certain d'avance qu'elle me donnerait des images colorées; c'est pourquoi je n'ai employé que la seconde, en
faisant tailler un parallélipipède de verre dont les faces d'entrée et de sortie faisaient un angle de 7/1° h 2' avec les deux surfaces réfléchissantes, et dont la longueur était calculée de façon que les rayons éprouvassent dans son intérieur les quatre réflexions totales, sous l'incidence calculée. J'ai obtenu de cette manière un faisceau parfaitement dépolarisé ou, en d'autres termes, qui avait reçu bien complètement la polarisation circulaire.
23. J'ai voulu vérifier encore mes formules par une expérience sur la réflexion totale au contact du verre et de l'eau. J'ai cherché d'abord la valeurmaximum que cette réflexion pouvait donner pour a- |3, et j'ai
trouvé qui répond à l'incidence i = 6t)°34'; par conséquent six X" \X\. réflexions pareilles ne suffiraient pas pour atteindre 900 et produire exactement la dépolarisation complète; il en faudrait au moins sept, et comme elles auraient lieu sous des incidences assez obliques, il faudrait une plaque de verre d'une assez grande longueur pour que l'on put craindre que, quelque bien recuite qu'elle fût, elle ne produisit sur un aussi long trajet entre les deux faisceaux quelque différence de marche indépendante des réflexions complètes et provenant d'une double réfraction très-faible, ("est pourquoi j'ai préféré combiner seulement deux réflexions totales au contact du verre et de l'eau avec deux réflexions totales au contact du verre et de l'air qui devaient compléter la dépolarisation commencée par celles-là. J'ai trouvé que l'incidence qui donnerait a— {2 ^3 i° dans lu réflexion intérieure du verre seul était i = 68° 27', différant peu, comme on voit, de l'incidence / = 6y°3A', qui répond au maximum de a-|3 pour le contact du verre et de l'eau: or, comme une quantité varie peu autour de son maximum, en adoptant l'incidence de 68° 27', je devais avoir encore bien près de 1 6° pour la réflexion au contact du verre et de l'eau; et en effet j'ai trouvé par le calcul i3°53' J, qui, ajouté à 3i°, donne Ulx° 53' ^, dont le double est 890 67' ' , qui diffèrent bien peu, comme on voit, d'un quart de circonférence. J'ai donc fait tailler un parallélipipède de verre, dont les faces d'entrée et de sortie étaient inclinées sur les deux autres de 68° -17', et dont la longueur avait été déterminée de manière qu'après quatre réflexions intérieures sous l'incidence de 68° ^7', les rayons incidents qui entraient par le milieu de la face antérieure sortissent aussi par le milieu de la seconde, en sorte qu'il suflisait d'incliner le parailélipipède de verre jusqu'à ce que la face d'entrée vînt se peindre au milieu de la face de sortie pour être certain que les rayons qui arrivaient à l'œil avaient été réfléchis sous l'incidence calculée'11. Lorsque le parallélipipède de verre n'était en contact qu'avec l'air, le faisceau émergent analysé par un rhomboïde de spath calcaire donnait deux
m J'avais réglé de la ni^ine manière la longueur des autres morceaux de verre employés dans les expériences précédentes.
XXX. images d'intensités variables et généralement inégales, et Ton pouvait reconnaître que la lumière avait passé le point de la polarisation circulaire. Mais quand on appliquait une feuille de papier mouillé sur une des faces réfléchissantes, le faisceau émergent paraissait complètement dépolarisé ou polarisé circulairement, conformément au calcul. Enfin quand on mouillait les deux faces réfléchissantes, la lumière n'était dépolarisée qu'en partie, et l'on pouvait reconnaître, à la direction de son plan de polarisation partielle, qu'elle était encore en deçà et non pas au delà de la dépolarisation complète, comme dans le cas où aucune des deux faces n'avait été mouillée.
'là. Je me suis borné jusqu'à présent à ces cinq expériences, qui. jointes à mes anciennes observations sur les mêmes phénomènes, me paraissent établir suffisamment l'exactitude de la formule (C). Je ne doute pas qu'elle ne fournisse aussi une représentation Gdcle des phénomènes de coloration très-sensible qu'on observe surtout dans le voisinage de la limite commune des réflexions totale et partielle, en supposant toujours qu'on emploie de la lumière polarisée dans un azimut de 65° relativement au plan de réflexion, et qu'on analyse le faisceau émergent avec un rhomboïde de spath calcaire M. Pour vérifier la formule dans ce cas, il faudrait d'abord calculer, d'après les différents degrés de réfrangibilité des diverses espèces de rayons colorés, les différentes valeurs de a — 13 qui correspondraient à l'incidence donnée : ayant déterminé ainsi la différence de marche entre les deux systèmes d'ondes émergents polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan (Fiticidence, pour les sept principales espèces de rayons colorés, on calculerait aisément, au moyen des formules d'interférence, l'intensité que chaque espèce devrait avoir dans l'image ordinaire et l'image extraordinaire pour un azimut quelconque de la section principale du rhomboïde, et substituant les intensités trouvées dans la formule empirique
'» M. Brewster est le premier qui ail remarque* ces phénomènes; mais, d'après la manière dont il les décrit et les lois qu'il leur suppose, il paraît qu'il a confondu avec
ces effets de la réflexion totale des phénomènes ordinaires de polarisation résultant de quelque u*empe accidentelle des prismes qu'il aura employés.
Il MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXIOIS DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 797
«le Newton qui donne la couleur résultant d'un mélange de rayons, I\e \\\ on trouverait les teintes que doivent offrir les deux images, et l'on verrait si elles s'aecordcnt avec l'observation.
Je me propose de faire ces expériences et ces calculs lorsque j aurai plus de loisir; mais je crains que l'époque où il me sera possible de les entreprendre et de compléter la vérification directe des formules (i) et (a) ne soit encore un peu éloignée.
*25. Malgré tout ce que mes recherches sur la réflexion laissent encore à désirer, tant sous le rapport théorique que sous celui des vérifications expérimentales, il me semble qu'elles établissent déjà avec un haut degré de probabilité l'exactitude des formules que j'ai donnée? dans ce Mémoire, vu le nombre de faits exacts par lesquels elles sont déjà confirmées et la variété des phénomènes qu'elles embrassent. Car les formules (t) et (a), par exemple, qui s'accordent avec les phénomènes connus de la réflexion de la lumière polarisée, et se trouvent \ériliées par deux observations très-précises de M. Arago sur l'intensité de la lumière réfléchie sous des incidences obliques, représentent encore très-bien les déviations que j'avais observées dans le plan de polarisation de la lumière réfléchie à la surface extérieure du verre et de l'eau, et cela par une déduction qui est une conséquence immédiate et forcée des idées théoriques qui m'ont servi à découvrir ces formules. Quant à la formule (C), que j'en ai tirée aussi et qui représente la loi. des modifications imprimées par la réflexion totale, je dois convenir quelle n'en découle pas d'une manière aussi nécessaire; mais elle m'en parait l'interprétation la plus naturelle, quand la valeur de v devient imaginaire, et cette interprétation, qui se vérifie sur les formules mêmes, se trouve d'ailleurs confirmée par les cinq expériences que je viens de rapporter et par mes observations antérieures W.
(a> On Mit que les expériences de M. Jamin ont mis hors de doute l'exactitude de la formule (C), et qu'elles ont montré au contraire que les formules (i) et (a) ne su/lisent pas à la représentation des phénomènes qui ont lieu au voisinage de l'angle de polarisation. ( Voyex Annaiee de ekimU et de p^yie, 3* série , t. XXIX . XXX et XXXI. ) [ E. Vwdet. ]
H* XXX. Pour résoudre le problème rigoureusement, au lieu de chercher à deviner ce que l'analyse indique dans des formules qui deviennent imaginaires, il aurait fallu recommencer le calcul pour le cas de la réflexion complète, en y exprimant la condition que le mouvement vibratoire ne peut pas se propager dans le second milieu , ou que du moins s'il y pénètre, comme certaines expériences paraissent l'indiquer, il ne s'étend qu'à une petite dislance de la surface de contact des deux milieux. Je me propose de reprendre par la suite le problème dans son entier, et de le traiter d'une manière plus rigoureuse et plus générale, en supposant que les deux milieux diffèrent non-seulement en densité . mais encore en élasticité. Dans ces nouvelles recherches théoriques, les résultats que j'ai obtenus déjà me seront très-utiles, car c'est un grand point de connaître d'avance* les théorèmes auxquels on doit arriver el de n'avoir plus qu'à les démontrer.
26. Je me proposais d'exposer à la 6n de ce Mémoire des calculs d'interférences qui présentent sous une forme très-simple le genre des vibrations imprimées aux rayons polarisés par la réflexion complète: mais, n'en ayant pas le temps et ces calculs étant d'ailleurs sans difficulté , je me contenterai d'en énoncer les résultats principaux.
Lorsque le faisceau incident est polarisé dans un azimut de Ub° relativement au plan de réflexion, les deux systèmes d'ondes polarisés parallèlement et perpendiculairement à ce plan dont la lumière réfléchie est composée sont d'égale intensité; si par deux ou un plus grand nombre de réflexions totales on a établi entre eux une différence de marche égale à un quart d'ondulation, ou à un nombre entier et impair de quarts d'ondulation, les molécules décriront des petits cercles autour de leurs positions d'équilibre et avec une vitesse uniforme : si la différence de marche est un nombre pair de quarts d'ondulation, elles décriront des lignes droites; enfin, si cette différence n'est pas un nombre entier de quarts d'ondulation, les courbes décrites seront des ellipses. Ce seront encore des ellipses, la différence de marche étant un nombre entier et impair de quarts d'ondulation, si les deux systèmes d'ondes n'ont pas la même intensité, comme cela aurait lieu dans le
Il' MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 799
ras où la lumière incidente n'aurait pas été polarisée à 65° du plan de N° XXX. réflexion, ou si deux systèmes d'ondes polarisés venant à interférer dans des circonstances quelconques , leurs plans de polarisation n'étaient pas rectangulaires.
