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a et 6 représentant toujours les distances de l'écran au point lumineux et au plan sur lequel on reçoit son ombre, et x la distance du bord de l'ombre géométrique au point que l'on considère dans ce plan, on a

et par conséquent

69. A l'aide de ces formules, on peut calculer les valeurs de la distance x ou de l'inclinaison | du rayon infléchi qui correspond aux différentes valeurs de v; et réciproquement, étant donné x ou l'obliquité j, on peut en déduire i\ et déterminer l'intensité de la lumière infléchie. Une conséquence remarqua Me de la formule

r-'esl que les valeurs de x ne sont pas proportionnelles aux valeurs de 6, mais aux ordonnées d'une hyperbole dont celles-ci seraient les abscisses. Ainsi il résulte de cette théorie que les points de même intensité par rapport au bord de l'ombre géométrique ne suivent pas une ligne droite quand on fait varier 6, mais une hyperbole qui a une courbure sensible, comme les trajectoires des franges extérieures.

70- Je n'ai pas encore vérifié par des expériences directes les rapports d'intensité de la lumière infléchie que j'ai déduits de la théorie fies interférences appliquée au principe d'Huyghens. Ce genre d'observations présente de grandes difficultés'1', et j'ai peine à croire qu'on puisse y porter autant d'exactitude que dans la détermination des

' Il est très-difficile de mesurer avec précision l'intensité de la lumière , même dons les circonstances les plus favorables. Ionique les espaces éclairés qu'il s'agit de comparer sont suffisamment étendus et présentent chacun une lumière uniforme ; h plus forte raisoD lorsque ces espaces varient de clarté d'un |K>int à un autre, et ne peuvent être considérés comme ayant une intensité uniforme <jue dans un intervalle extrêmement étroit, ou, pour ainsi dire, une seule ligne lumineuse. Je crois cependant qu'on pourrait parvenir a vérifier les formules d'intensité de lumière dans les phénomènes de diffraction , «l'une manière suflisanlc. quoique toujours indirecte, à l'aide d'un procédé très-siruplo .

" Vti ajoul. e j l'impression.

auquel j'ai songé depuis que mon Mémoire a été déposé à l'Institut : ce serait de superposer, a l'aide de la double réfraction . des franges différentes les unes sur les autres, celles de l'intérieur d'une ombre étroite, par exemple, sur celles de l'extérieur, et d'observer la position des nouveaux maxhna et minima résultant de ce mélange. Si , comme j'en sois persuadé, les formules appliquées a ces superpositions de franges diverses s'accordaient encore avec l'observation sur la position des nouveaux maxima et minima, on ne pourrait plus douter qu'elles ne représentassent effectivement les intensités relatives des différents points des franges ").

points les plus sombres et les plus brillants des franges , dont les résul- N" XIV. tats me paraissent aussi des vérifications (à la vérité indirectes) de ces mêmes rapports d'intensité; car la position des maxima et minima étant déduite de l'expression générale de l'intensité de la lumière, si l'expérience s'accorde à cet égard avec le calcul, toutes les fois du moins que les observations peuvent être faites avec précision , il devient bien probable que cette intégrale représente réellement toutes les variations d'intensité de la lumière infléchie.

71. A l'aide du tableau des maxima et minima des franges extérieures, on peut calculer aisément, comme nous l'avons vu, les positions des points les plus sombres et les plus éclairés de leurs bandes obscures et brillantes pour toutes les valeurs de a et de 6. Il n'en est pas de même à l'égard des franges intérieures de l'ombre d'un corps étroit, ou de celles qui sont produites par une petite ouverture. Les deux limites de l'intégrale variant à la fois, il n'est plus possible de présenter des résultats généraux applicables à tous les cas; et l'on est obligé de déterminer les maxima et les minima dans chaque cas particulier, à l'aide de la table qui donne les valeurs numériques de

fdv cos qv2 et fdv sin qv*.

Je vais présenter le résultat de tous les calculs de cette espèce que j'ai faits jusqu'à présent pour la vérification de la théorie. Comme ils sont très-longs (,), je n'ai pas pu les multiplier autant que je l'aurais désiré; mais j'ai tâché de compenser ce défaut par la variété des cas auxquels je les ai appliqués, et en vérifiant la théorie de préférence sur les observations qui m'avaient présenté les dispositions de franges les plus extraordinaires.

72. Je vais d'abord m'occuper des franges produites par une petite

(l) Il est très-possible qu'il y ail des pro- de l'analyse m'aura empêché d'apercececlês plus courts, que mon peu d'usage voir'*'.

[a> M. Cauchy a effectivement trouvé des procédés plus courts, qu'on peut étudier dans le Mémoire de M. Quel sur la diffraction. ( Annal* <U ekimù H <U pkyi. 3' série , t. XLIX.) f E. Vbbdbt.]

V Xl\

U/i THÉORIE DK LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION.

ouverture, qui tiennent à la fois des franges extérieures et de celles qu'on observe dans l'ombre d'un corps étroit.

Soit G le point lumineux, AG une ouverture étroite dont les bords

A et G sont rectilignes et parallèles, BD sa projection conique sur le plan où l'on observe les franges, et P uh point pris dans ce plan, dont on veut connaître l'intensité. Four cela, il faut intégrer

* " p 0 0 entre les limites A et G, et faire la somme des carrés de ces intégrales : ce sera l'intensité de la lumière en P. Mais il faut se rappeler que l'origine des z est sur le rayon direct CP, et qu'en conséquence les deux limites A et G répondent à

:-UG et z — - AM.

Après avoir calculé les valeurs correspondantes de v avec la formule

lila + b

OU

dans laquelle x représente la distance du point P au bord de l'ombre géométrique, on cherchera dans la table des intégrales

fdv cos qv* et f dv sin qv*

les nombres qui approchent le plus de ces valeurs de t.

Je suppose que / soit la diiîérence entre la valeur calculée et le nombre t de la table, on trouvera les intégrales correspondantes au moyen des formules approximatives

(' + 'dv cos qv1 — f'fdv cos qv* 4- ^ (sin qi(i+2t) — sin qc),

fî + tdv sin qv^—f'^dv sin qv* + cosqi (i 4- 2/) 4- cos qi2).

Après avoir fait le même calcul pour les deux valeurs de v qui répondent aux limites A et G de l'ouverture, on ajoutera ensemble les intégrales homologues, si le point M est en dedans; on les retranchera au contraire l'une de l'autre s'il est en dehors, et l'on fera enfin la somme ries carrés des deux nombres trouvés. On aura de même les intensités

de lumière pour tous les autres points dont la position sera donnée, et N° XIV. en comparant ces différents résultats-, on reconnaîtra entre lesquels sont placés les maxima et les minima. Etant données les intensités lumineuses de trois points assez rapprochés entre lesquels se trouve un maximum ou un minimum, on peut aisément déterminer sa position avec une exactitude suffisante par la méthode des interpolations, en supposant que, dans ce petit espace, la courbe qui aurait pour ordonnées les intensités de ces points, et pour abscisses leurs distances à une origine commune, coïncide sensiblement avec une courbe du second degré. Cette hypothèse conduit à la formule

~ a~>V-pV) '

dans laquelle z et z" représentent les distances d'un des points extrêmes aux deux autres, p' et p" les différences de leurs intensités, et enfin z la distance du même point au maximum ou au minimum. J'ai essayé cette formule sur les maxima et les minima des franges extérieures, déjà calculés par un autre procédé; et, sans employer des nombres plus rapprochés que ceux de la table, j'ai obtenu des résultats d'une exactitude suffisante, même pour le minimum du 7e ordre, quoique la différence de deux valeurs consécutives de v dans la table soit une partie considérable de l'intervalle qui sépare le minimum et le maximum du 7* ordre.

73. Pour appliquer cette méthode de calcul aux observations, j'ai d'abord déterminé la valeur tabulaire de c , c'est-à-dire de la largeur de l'ouverture, au moyen de la formule

qui m'a donné ainsi l'intervalle tabulaire des deux limites. Par des tâtonnements faciles, j'ai cherché entre quels nombres de la table se trouvaient les maxima ou les minima; j'ai ensuite déterminé leur position d'une manière plus exacte par le procédé que je viens d'indiquer. Ayant ainsi calculé les valeurs de v répondant aux maxima ou aux minima, je les ai retranchées de la moitié de la valeur tabulaire de c, pour les rapporter au milieu de l'ouverture. Enfin la formule

N° XIV. m'a donné la distance des mêmes nnnima ou nuLciina au milieu de la projection lumineuse de l'ouverture, origine que j'avais adoptée dan? mes observations.

TABLEAU COMPARATIF

RESULTATS DE LA THÉORIE BT DE L'EXPÉRIENCE 80 B LA POSITION DES MâXIUâ DANS LES fB ANGES PRODUITES PAR ONE OCVERTLBB ÉTROITE.

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DISTANCES dti HiiiM «ni immma à U projection du milieu de l'ouverture.

1* 0BSBBTATI0II.

« = a",oio-, b = i",5o3; c = i"",oo; valeur tabulaire de c = 1,910.