N° IV (A

[Fragment. — Avril i8ao.)

1. Les phares étaient anciennement éclairés par des feux de bois ou de charbon de terre. On y substitua ensuite des lampes alimentées

Dans ce fragment sans date il n'est question que de la théorie des phart* caloptriquet, >ra sorte qu'au premier abord on pourrait le croire antérieur aux précédents écrite. Mai» les indications qu'il fournit sur les proportions les plus avantageuses à donner aux réverbères paraboliques ont avec la Note ci-après (D), adressée à Gumbey, le iq avril i8ao, une connexité qui doit faire rapporter ce» deux pièces a peu près à In même époque. Il ne faudrait pas d'ailleurs inférer de ces études que Fresnel eût pendant quelque temps écarté l'idée de son nouveau système d'éclairage pour revenir a l'ancien. On s'expliquera facilement cette nibrcbe en appai-euce rétrograde , si l'on considère , d'une |>art , les graves difficulté* à résoudre pour passer de la conception à la complète exécution des appareils lenticulaires, et. d'un autre côté, l'impérieuse nécessité de satisfaire aux besoins les plus urgente de notre

.V IV (A), par l'huile, à cause de la facilité d'eu entretenir la combustion et d'obtenir ainsi, pendant toute la durée de la nuit, une lumière d'une intensité uniforme. Mais ces lampes à mèches plates, à peu près semblables à celles des réverbères qui servent à l'éclairage des rues, ne donnaient qu'une lumière faible, dont on n'utilisait d'ailleurs qu'une partie peu considérable, au moyen des petits réflecteurs placés derrière les becs.

Il y a encore en France plusieurs phares éclairés de cette manière. <'<e n'est que depuis la belle découverte d'Argand que l'éclairage des phares a éprouvé un perfectionnement notable, lorsque M. Teulère. inspecteur divisionnaire des ponts et chaussées, substitua aux anciennes lampes les lampes a double courant d'air, et aux anciens réflecteurs , de grands miroirs paraboliques de cuivre argenté, au foyer desquels il plaça les nouveaux becs.

'2. C'est aussi à M. Teulère qu'on doit l'idée ingénieuse des feux tournants'*. Dans ce système, au lieu de diriger les axes des réflecteurs de manière que les cônes lumineux qu'ils réfléchissent soient contigus et éclairent ainsi tout l'horizon en môme temps, on en réunit plusieurs sur une même direction, en laissant des intervalles obscurs entre les angles illuminés par les différents groupes de réflecteurs, ainsi que

éclairage maritime. Ce fut sou» la pression d'une telle nécessité que Fresnel dut s occuper de la fabrication des appareils catoptriques et chercher à se rendre préalablement compte du rapport à établir entre ta profondeur et l'ouverture des paraboloïdes. Les résultats de celte étude furent transmis à Ganibey, qui soumissionna, eu i8ao, la fourniture de dix réverbères de 65 centimètres d'ouverture, de cuivre plaqué d'argent. Mais l'éminenl artiste, ayant reconnu, après divers essais, que ce marché lui serait très-onéreux , en sollicita la résiliation. Il l'obtint d'autant plus facilement que ia supériorité théorique et pratique du système lenticulaire fut bientôt pleinement reconnue, en sorte que l'application des rêverl>ères à l'éclairage des phares ne pouvait plus être admise que comme mesure transitoire ou exceptionnelle.

*" La priorité, quant à l'invention et à l'emploi des fevT tournants, nous parait appartenir à la Suède. (Voir le Rapport de Borda sur le phare tournant de Lemoyne, dans le recueil de l'Académie des sciences , année 1 783. )

le représente la figure i ; c'est ie mouvement de rotation imprimé au N° IV (A), système et entretenu par une horloge, qui fait passer successivement

tous les cônes lumineux devant l'œil du navigateur, d'où résulte pour lui une succession régulière d'éclats et d'éclipsés.

Ce système présente deux grands avantages : i* celui de permettre de réunir sur une même direction plusieurs réflecteurs, sans en augmenter le nombre, et de produire ainsi, avec la même dépense, des effets de lumière beaucoup plus grands; a° celui d'empêcher le navigateur de confondre les phares avec toute autre espèce d'objets lumineux, et de les lui faire distinguer entre eux, en variant simplement l'intervalle de temps compris entre les milieux de deux éclats consécutifs.

DBS FBIIX TO CURANTS.

3. La durée absolue des éclats et des éclipses dépend à la fois des intervalles angulaires qu'ils occupent et de la vitesse du mouvement de rotation. On pourrait même ajouter qu'elle dépend aussi de l'inten-

iii 5

IV (A), sité de la lumière; car les mêmes rayons places vers les extrémités des cônes lumineux, qui n'étaient pas sensibles pour un spectateur éloigné, peuvent le devenir lorsque la vivacité de la lumière focale augmente, ou lorsqu'un plus grand nombre de cônes lumineux se superposent.

à. On peut prolonger la durée de l'éclat, sans augmenter l'amplitude du cône lumineux, en ralentissant seulement le mouvement de rotation; mais on augmente alors la durée de l'éclipsé, et précisément dans la même proportion; en sorte que le nombre des chances favorables pour apercevoir le phare reste le même. Pour les multiplier, il faut nécessairement augmenter le rapport de la durée des éclats à celle des éclipses, en élargissant les angles illuminés ou en en augmentant le nombre.

5. Lorsque le nombre total des réflecteurs reste le même, on ne peut augmenter celui des angles illuminés qu'eu les subdivisant en groupes pluç petits, et dont l'effet diminue d'intensité dans la même proportion. On peut aussi élargir les angles illuminés en faisant diverger plus ou moins les axes des réflecteurs d'un même groupe, au lieu de les placer dans des directions exactement parallèles; mais la diminution d'intensité de lumière, dans ce cas, est encore proportionnelle à l'accroissement de l'amplitude de l'angle éclairé. Ainsi, de quelque manière que l'on combine le6 directions des réflecteurs, on n'augmente la vivacité de l'éclat qu'aux dépens de sa durée, et sa durée qu'aux dépens de sa vivacité. Ce sont comme les deux facteurs d'un produit constant, dont l'un diminue toujours dans le même rapport que l'autre augmente.

6. C'est ce produit de la durée de l'éclat par l'intensité de sa lumière que nous regarderons comme la mesure de l'effet utile des réflecteurs, dans la recherche des dimensions les plus avantageuses à leur donner, puisque l'on peut toujours, par une distribution convenable des réflecteurs, augmenter à volonté la durée de la lumière aux dépens de sa vivacité ou sa vivacité aux dépens de sa durée, tandis que leur produit reste constant. Ainsi la forme des réflecteurs qui rendra ce produit le plus grand possible sera en même temps celle qui présentera les éléments les plus avantageux à l'éclairage des phares.

RÉFLECTEURS PARAROLIQUES. 35

On voit, à laide de ces considérations, que la question delà meilleure N8 IV (A), forme à donner aux réflecteurs devient indépendante de l'importance relative de la durée et de la vivacité des éclats, question qui ne peut être décidée, pour chaque phare en particulier, que d'après les besoins de la navigation.

1er PROBLEME.

La surface du miroir parabolique étant donnée, déterminer le degré de profondeur ou de courbure qui produira le plus grand effet utile.

7. Je remarquerai d abord que les miroirs métalliques réfléchissent, à très-peu près, la même quantité de lumière sous toutes les inclinaisons, depuis l'incidence perpendiculaire jusqu'aux incidences les plus obliques, et je supposerai que le degré d'obliquité ne fait point varier l'intensité de la lumière réfléchie.

Je supposerai aussi que tous les points de la flamme envoient des rayons lumineux d'égale intensité dans tous les sens, en raison de sa transparence presque parfaite, et en faisant abstraction de la petite ombre portée par le bec de la lampe.

Ces deux hypothèses, sans lesquelles le calcul serait impraticable, s'éloignent assez peu de la vérité pour être admises dans une évaluabon approximative des effets des réflecteurs, surtout en comparant des formes qui ne peuvent pas différer beaucoup, et pour lesquelles, en conséquence, les petites quantités que nous négligeons doivent être à peu près les mêmes.

Cela posé, soit F (fig- a) le foyer d'un miroir parabolique, M un point quelconque de la parabole génératrice DAMG; je représente par s l'angle AFM compté à partir du sommet A, et par ds la différentielle MFm de cet angle. La partie de la sphère lumineuse engendrée par l'angle MFm tournant autour de l'axe AX sera égale à îirmisds, et cette expression représentera ainsi la somme des rayons émanés du point F qui tombent sur la partie de la surface du miroir

Ji* IV (A), engendrée par le petit arc M/n. Si les rayons que reçoit cette surface partaient tous du foyer, ils seraient tous réfléchis parallèlement à Taxe, et ne formeraient ainsi qu'un cylindre lumineux, dont la base serait égale à l'ouverture du réflecteur. Mais l'objet éclairant ayant des dimensions sensibles, il s'ensuit que les rayons qui en émanent s'écartent plus ou moins de 1» direction du rayon vecteur, et cet écart donne précisément la mesure de l'angle que les rayons réfléchis font avec l'axe du paraboloïde, c'est-à-dire la mesure de leur divergence. Je dis divergence, môme pour les rayons réfléchis qui se rapprochent de l'axe; parce que, après l'avoir coupé, ils s'en éloignent, et qu'il n'y a plus ainsi que des rayons divergents, à des dislances un peu considérables du phare, telles que celles pour lesquelles nous cherchons à déterminer l'effet des réflecteurs. Or la divergence des rayons partis des différents points d'un élément de l'objet éclairant, et tombant sur le même point M du miroir, est sensiblement en raison inverse de sa distance au foyer, dont nous supposons que tous les éléments de l'objet éclairant sont peu éloignés. Mais il faut distinguer deux sens dans la divergence des rayons réfléchis, le sens horizontal et le sens vertical; et c'est seulement dans le sens vertical que cette divergence nuit à l'effet utile; car, s'il n'y avait de divergence que dans le sens horizontal, la somme des rayons reçus par l'œil du spectateur pendant la rotation du phare serait toujours la même. L'effet utile est donc en raison inverse seulement de la première puissance de la divergence et, par conséquent, proportionnel au rayon vecteur FM, que je représente par r. Ainsi l'effet utile produit par les rayons incidents compris dans l'élément de la sphère lumineuse ait siu s Js sera proportionnel à airrsin s ds.

8. La môme expression représenterait l'effet utile produit par les rayons émanés de tout autre élément de l'objet éclairant, et tombant sur la même partie de la surface du paraboloïde engendrée par le petit arc M.»m, et l'on peut en conséquence la prendre pour la mesure de l'effet utile produit par tous les rayons réfléchis sur cette partie du miroir. Pour avoir l'effet utile de la totalité des rayons réfléchis par le

miroir parabolique, il faut donc intégrer cette expression dans toute IV (A), l'étendue de sa surface, et, en égalant à zéro le coefficient différentiel de l'intégrale pris par rapport à *, on obtient l'équation qui donne la valeur extrême de s, répondant au maximum de l'effet utile.

9. Comme le paramètre est ici une quantité variable, il faut le différentier aussi par rapport à s, après avoir tiré sa valeur en fonction de s de l'équation qui exprime que la surface du paraboloïde est égale à une quantité constante. On arrive de cette manière à une équation transcendante logarithmique, indépendante de la constante, comme on devait s'y attendre, et qui, résolue numériquement, donne, pour valeur des très-approchée, 107° 59' 6*.

10. Les réflecteurs construits d'après ce résultat seraient encore plus profonds que ceux qui ont servi aux opérations géodésiques de la méridienne, dans lesquels s est égal à 9 8° 63' environ; mais ils seraient moins profonds que ceux qui sont généralement adoptés dans les phares d'Angleterre, pour lesquels s est égal à 1 180 a a'.

1 1 . Comme la difliculté de placer un grand nombre de réflecteurs dans une petite cage tient beaucoup plus à la largeur de ces réflecteurs qu'à leur profondeur, on pourrait dans ce cas se demander quelle est, pour une largeur donnée des réflecteurs, la profondeur la plus avantageuse. Alors ce ne serait plus la surface du réflecteur qu'il faudrait égaler à une constante, mais le diamètre de son ouverture. En tirant de cette équation la valeur du paramètre en fonction de s, et faisant d'ailleurs le calcul comme nous venons de l'indiquer, on trouve, pour la valeur de s répondant au maximum de l'effet utile, j= i a 6° a 6' 5a".

12. Un réflecteur qui aurait la même ouverture, mais dans lequel la valeur extrême de s serait égale à 1070 59' U\ comme ci-dessus, ne produirait que jj de moins d'effet utile , et présenterait une économie de j environ dans sa superGcie, avec une diminution pareille dans son poids; et sa profondeur ne serait guère que les ~ de celle de l'autre réflecteur. Il résulterait sans doute de cette moindre courbure une plus grande facilité d'exécution, et par conséquent une nouvelle économie dans la façon, en sus de celle de T provenant de la

\" IV (A), moindre étendue de lu superficie. On voit donc qu'à moins d'être obligé de produire le maximum d'effet que comporteraient les dimensions d'une cage, on doit encore préférer la première forme de réflecteurs.

La petite différence de ~j dans l'effet utile, répondant à une variation si notable de la valeur de s, fait voir aussi qu'il ne faut pas attacher trop d'importance dans la pratique à ce que s soit exactement égal à l'angle donné par la théorie, et qu'il suflit qu'il n'en diffère pas trop, (l'est au reste uue propriété générale et caractéristique des maxxma el miiitma que, dans leur voisinage, des changements sensibles de la variable n'en apportent pas de sensibles dans la fonction; et c'est d'après cette condition même qu'on établit l'équation qui sert à les déterminer

CALCUL Dl DEGRÉ DE PROFONDEUR LE PLUS AVANTAGBUX À DONNER \ UN RÉFLECTEUR PARABOLIQUE.

{ A»ril i8ao. ]

y iv (A).

AP x ; MP - y ; ABM * ; MB / ;

CD p.

y* = px ; nydy = pdx; dx -■■ .

d arc -= y/</y' + </x* ~ ^ .<//•■ ^ \Jp^- hy\

Circonférence (rayon = MP)=- nsy.

Ainsi l'anneau différentiel - y ydy y^'+fy5 ,

dont l'intégrale est

Or l'intégrale doit être nulle quand / = o ; ainsi

:,i Les calculs que nous reproduisons ici ont fourni les résultats consignes dans le fragment précédent, ainsi que dans la Note ci-après (D), adressée par Fresncl à Gambcy. le 19 avril i8ao, sur les meilleures proportions à donner aux réflecteurs paraboliques. Ces calculs figurent en tête d'un carnet où ils sont suivis d'une série de notes relatives ssais comparatifs de grands réverbères paraboliques, è la construction d'une lentille

Y IV (A), d'où

Ci s Ï*P-

La surface du paraboloide de révolution est donc égale h

Je supposerai cette surface constante et je chercherai quel est le degré de courbure le plus avantageux pour le bon emploi de la lumière émise du foyer.

Le bon emploi d'un cône lumineux infiniment mince qui tombe sur la surface du miroir est proportionnel à la distance r de cet élément de la surface au foyer; à la vérité, la divergence des rayons partis des différents points de l'objet éclairant est en raison inverse du carré de cette distance; mais la perte de lumière ne doit être considérée comme proportionnelle qu'à la divergence dans un seul sens, dans le sens vertical.

Le nombre de rayons compris dans le cône lumineux différentiel est égal à 27r. sin * ds . qu'il faut multiplier par r pour avoir la mesure de l'effet utile produit; ce qui donne iimmsdi.

C'est cette expression qu'il faut intégrer dans toute l'étendue du réflecteur pour avoir la mesure de la quantité de rayons utilisés.

On a :

y = rsinj; et x = ^p — rcoss; par conséquent y'' = px devient

r2 sin2 s = p^jp — r cos s) = *- p* — pr cos s,

ou

sin s 'jsin s

d'où

a sin j y • s,n * 4 sin* * a sur* 3 tari Y

= ~\f!^7±\^il (cest ,e s'gne + q»''1 faul prendre).

RÉFLECTEURS PARABOLIQUES. 41 L'effet utile est proportionnel à fairrs\nnh, ou à frsmsds; mais N° IV (\).

i i —cas s i i — coa s i i p (i:

r~ïP sm'i ~ a ^ i -coa'* — *P i +coss~ fleos'i* '

par conséquent l'intégrale devient :

Mais la constante doitôtre nulle, puisque l'intégrale doit l'être lorsque s=o, et qu'alors le premier terme p \ (cos^s) devient égal à zéro. Donc la mesure de l'effet utile est

~P'\ (cos^sj.

C'est de celte quantité qu'il faut chercher la valeur nuurima en supposant constante la surface a2 du réflecteur. Nous avons

i sin \s - cas;»'

■> i s »in* s

mais

t sinj$

et par conséquent Substituant, on a .

a *" / î , s sin' J *\± î 2 w s /cos'ii+sin'i s\L 1 j wp' / 1 \

d'où

\ cos J s l

<■> cos j^os.' - i - sin» - J-acos' - i- 1 ; donc 1 -HCOsi = acos1 - s.

[ \ote marginale.]

IV (A). Je fais, pour simplifier,

cos ; *

alors j'ai

P " (f^t)5 et l'expression de l'effet utile devient

-/)l(i) ou p\[x).

Chercher le maximum de cette quantité, c'est chercher le maximum de son carré p1!2 (a:). Pour cela il faut d'abord substituer, à la place de p\ sa valeur

ce qui donne

Supprimant le facteur constant — , on a —M- , dont il faut maintenant égaler a zéro le coelficicnt différentiel, ce qui donm* :

°- «r^rf

ou, en divisant tout par {J*i

OU

d'où

RÉFLECTEURS PARAROLIQUES. 43 Je représente, pour simplifier, a? par z, et j'ai IS" IV (A).

b = 3(fr,1< OU

pour l'équation qui doit servir à déterminer le maximum et le minimum de 1 effet utile. On peut la mettre sous la forme

qui est celle sous laquelle j'ai reconnu, en consultant les tables, que la valeur de z approchait beaucoup de 5.

i satisfait aussi à l'équation, mais correspond évidemment à un minimum de l'effet utile.-

Soit n la valeur approchée de z, et S la petite quantité qu'il faut y ajouter pour avoir la valeur exacte de z; nous aurons/- n+S. Or, on mettant en nombres l'équation logarithmique

on a

Comme ^ est supposé très-petit, on peut s'arrêter à sa première puissance dans une première approximation, ce qui donne :

par conséquent

» a aj

*> Il y a ici une erreur de signe qui explique l'inexactitude du résultat final. (Voyei l.t note de la pajfe A5.)

.V iv (A), el l 'équation devient

mais on a, en général.

tr = i +x-\ h etc.

•I , par conséquent,

en s'arrêtent à la première puissance de S. Substituant dans l'équation, nu a z ou

ï«— 3 ïii — i tu — 1

un — »

— 14 •« Il