OU MU
-l(cos^) = sin^s.
ou
— I (cos ^ 5) = 1 — r(>s2 -V ou enfin, en représentant cos^s par on a :
ou, en mettant en nombres,
Je lais / n-M. « étant une valeur approchée île z, et j'ai :
ou peut néjdijrer <î*, <î étant supposé très-petit, ce qui l'ait
(n + J)2-=n» + inl
RÉFLKCTEUHS PARABOLIQUES. 51
Ainsi V IV (A).
n + S = e ; ou «4-d=-f .c ;
mais pïnJ— i 4- -JtnS, en négligeant les puissances supérieures de S; on a donc :
n + ^-p" ' (i + an<î)>=en ~' 4-e* — ' . a/»<5 ;
n' -i i — hj
.<• --// t i — ne
d= — ; ou S=
J'ai trouvé, pour première valeur frès-approchée de * : n = o,/|5; i— na = o,7975; e=2, 71828. Substituant, on a, pour première valeur de S,
^TJT^T - °,ooo76^65,
cl par conséquent
j = 0,4^076365 =- cos £ 5 ;
dont le logarithme est 9,6089/186, qui correspond à 63° 1 -/ a6\ Telle est la valeur de l-$ correspondant au maximum d'effet utile, et par conséquent celle de s est
1260 aA' 5a".
Supposons d'abord
s i 20"; -s — 60"; cos^s - ^- •j a 3
L'expression de l'effet utile est
- cot - s. 1 (cos - a) :
cot -s
Nc IV (A). Ainsi l'expression de l'effet utile devient
-\fi •U*5!
en substituant les logarithmes ordinaires aux logarithmes népériens qui leur sont proportionnels, ce qui donne :
Supposons
Substituant dans l'expression
— rot'- s. log (cos^ v),
on trouve
Dans le cas du maximum on a :
b3rt»a'a<r et log cos '-s - -- cMtioô 1 fi,
.•I substituant dans l'expression
— cot ^ 5. log (cos s),
on trouve
pour la valeur maxima de l'effet utile.
On voit qu'elle ne diffère guère que de 777 de relie qui répond à .<= 1 «o°; en sorte que, dans la pratique, il faudrait peut-être préférer celte valeur de s, qui donnerait un réflecteur d'une profondeur et d'une surface sensiblement moindres, et produirait à très-peu près le même effet.
L'équation des maxima et mitrima, \z *. 1 - peut être satisfaite V IV (A), par z - i ; mais cette valeur de * ou de cos^s. qui donnerait s ... et par conséquent une profondeur indéfinie pour le réflecteur, répond à un minimum de l'expression — cot^s.l (cos~s), comme on pourrait s'en convaincre en calculant ses coellicients différentiels.
On trouve d'abord, pour le coefficient différentiel du iCT ordre.
et en différentiant une seconde fois :
i i i ros '-s. I |riBj .t| .
mais, d'après l'équation des maxima et minima, on a :
sur \ *
Substituant, on trouve
i i i cas', s 1 / cos'js i \ i siu'jji imii-j
t cos|«!tin;s î sin -| s ~ '» VsïrTjicos}*/ î sin i*rns{ * ~ wns^*
quantité négative, lorsque '- s fi 3" i a' :ifi\
Ainsi cette valeur correspond à un maximum, comme nous nous en étions déjà assuré par des calculs numériques.
Mais quand v-=o, tang^* devient aussi zéro, et le coefficient différentiel du 'ic ordre étant nul, cette valeur de s ne répondrait plus à un minimum, analytiquement parlant, à moins que le coefficient différentiel du 3e ordre ne fût aussi égal à zéro.
Sans suivre ces calculs, qui sont un peu longs, ou peut reconnaître que l'expression — cot ^ s. 1 (cos ^ s^j de l'effet utile devient nulle quand a- o.
â/i IMIAKKS KT APPAREILS D'ÉCLAIRAGE.
\° IV (A). Elle peut se mettre sous la forme
sin ; s
fraction dont le numérateur et le dénominateur deviennent égaux à zéro truand s = o. Pour en déterminer la valeur répondant à <=o, il faut différentiel* ses deux termes, ce qui donne :
i . sinjj
. Slh {• 5.1 COS;5 + ;COh;5. — . . . .
* • COS^i 8111; 5.1 fOS ; 5)-t- Sin ; S
{ros;* vos'-s
expression <|ui devient", ou o, lorsqu'on \ lait s--o. Ainsi I effet utile est alors nul.
CALCOt DE IWm I Tl 1,1. EXPRIME PAU
rot ' .v.tog ^ cos ~ 5 J .
DANS LHH'OTItàsE Ol l.'OI VERTl RE Dl RKFLECTEt ■ EST CONSTANTE l'OI R LA \ Al.Kt II
RÉPONDANT Al MAXIVLM , LORSQLE C'EST LA SLHPACE Dl RÉELECTEl R Ql 'ON SI PPOSE CONSTANTE.
log (cos x- s) = — o , o. 3 ( ) 6 < j < j 2 . . . log -t- : ï , 3 6 3 «46 1
loffcot-«< F.86i38ôi
7,2 2443 1 2 — log o, 1 67<>()
Le maximum est <>, 1 7^7 ô
Différence —0,00709
c'est-à-dire environ ~-r.
REFLECTEURS PARABOLIQUES. 55
ni / Mi .1 • A
5 =- 9° : ; - - 4 •> : «>» 1 : <"* ; * • -y ï : - cot ^ 5. log (cos i >) - - log ^ l^o. i .-)o.-) . ô.
On voit que l'expression de l'effet utile va toujours eu diminuant à mesure que le réflecteur a moins de profondeur.
Kn représentant toujours par À le diamètre de l'ouverture du ré 11 prieur, on a pour l'expression de sa surface :
srf(..-i:m}.-"<')-
linsi, en supprimant le facteur constant on a, pour la quantité
à laquelle elle est proportionnelle, et qui peut servir ;i la représenter.
