LIVRE II

par ce qui précède, à la condition que la somnie des carrés des erreurs qu'elles laisseraient subsister encore soit un minimum. Les Tables qui approcheraient le plus de remplir cette condition mériteraient donc la préférence, d'où il suit qu'en comparant ces diverses Tables à un nombre considérable d'observations, la présomption d'exactitude doit être en faveur de celle dans laquelle la somme des carrés des erreurs est plus petite que dans les autres.

22. Jusqu'ici nous avons supposé les facilités des erreurs positives les mêmes que celles des erreurs négatives. Considérons maintenant le cas général dans lequel ces facilités peuvent être différentes. Nommons a l'intervalle dans lequel les erreurs de chaque observation peuvent s'étendre, et supposons-le partagé dans un nombre infini Al + n' de parties égales et prises pour l'unité, n étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs négatives, et n! étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs positives. Sur chaque point de l'intervalle a élevons une ordonnée qui exprime la probabilité de l'erreur

correspondante, et désignons par <p( — ~~') l'ordonnée correspondante

à l'erreur .r. Cela posé, considérons la suite

•^»(i-^)'^'"'""°'^-^'(rf„')"""'^-

Représentons cette suite par /?(— ^— r)c^^^, le signe/ s'étendant

à toutes les valeurs de x, depuis ic = — /i jusqu'à x = n\ Le terme

indépendant de c°>l-^ et de ses puissances, dans le développement de la fonction

XZS\—\

sera, par le n" 21, la probabilité que la fonction

sera égale à /-t- (*; cette probabilité est donc

( I ) — /rfn c-ftaV^ c-i"»»/^/» f — ^, ) cï-™*'^ X . . . ,

l'intégrale étant prise depuis o = ~ iï jusqu'à o = t:. Le logarithme de la fonction

( a ) c-^'^^~< ff {■■ -^—,] cî-tt'v^ X ff (—-- 7) fï"'-«T^V~ . . .

est

/tel n'étant supposés des nombres infinis, si l'on fait

si, de plus, on suppose

les intégrales étant prises depuis 0^= on aura

c^xa^-t — i^n -hn')k !

L'erreur de chaque observation devant tomber dans les limites — « et -(-«', et la probabilité que cela aura lieu étant/y/^--^-,] ou (n-t-n')*,