LIVRE IL

par c-*<*'>, afin qu'il puisse également convenir aux erreurs positives et négatives» on aura "^

Si Ton fait a? = a + s, et que Ton développe l'exposant de c par rapport aux puissances de s, y prendra cette forme

expression dans laquelle on a

P =4,'(a«)-+-»|;'(o-g)«-f- «)»'(« -jf«))»H...+ aa»|'(o»)

i{/(i) étant le coefficient de dt dans la différentielle de ^(/), \|/''(i) étant le coefficient de dt dans la différentielle de ^'[t)^ et ainsi de suite.

Supposons le nombre s des observations très grand, et déterminons a par l'équation N = o que donne la condition du maximum de j^; alors on a

M, P, Q, ... sont de l'ordre s\ or, si z est très petit de l'ordre — » Qs* devient de l'ordre -^» et l'exponentielle c"^**~- • peut se réduire à

l'unité. Ainsi, dans l'intervalle depuis js = o jusqu'à z= —^ on peut supposer

Au delà, et lorsque z est de l'ordre s *,m étant plus petit que l'unité, Pz* devient de l'ordre s*-*^; par conséquent c"^** devient, ainsi que y, insensible; en sorte que l'on peut, dans toute l'étendue de la courbe,

34a THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

supposer

^=llc-''-''''.

La valeur de a donoée par l'équation N =1:: o, ou

est alors l'abscisse x correspondante à l'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en parties égales. La condition que l'aire entière de la courbe doit représenter la certitude ou l'unité donne

l'intégrale étant prise depuis s = — co jusqu'à 2 ^ « , ce qui donne

L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, en prenant a pour résultat moyen des observations, est ±fzydz, l'intégrale étant prise depuis s nul jusqu'à z infini, ce qui donne pour cette erreur

Mais l'ignorance entière où l'on est de la loi e^*'**' des erreurs de chaque observation ne permet pas de former l'équation

Ainsi, la connaissance des valeurs de 9, i^'", ... ne àonnAïii a posterion aucune lumière sur le résultat moyen a des observations, il faut s'en

'é'iiillat If pUis !ivant;is'Hix détiTmiiK.' n priori, <■[ que l'on :i