LIVRE H

respond au système du minimum de la plusgrande des erreurs, abstraction faite du signe, est

S'il y a plusieurs éléments à corriger, les équations de condition qui déterminent leurs corrections renferment plusieurs inconnues, et la recherche du système de correction, dans lequel la plus grande erreur est, abstraction faite du signe, plus petite que dans tout autre système, devient plus compliquée. J'ai considéré ce cas d'une manière générale dans le Livre III de la Mécanique céleste. J'observerai seulement ici qu'alors la somme des puissances an des erreurs des observations est. comme dans le cas d'une seule inconnue, un minimum lorsque an est infini; d'où il est facile de conclure que, dans le système dont il s'agit, il doit y avoir autant d'erreurs, plus une, égales, et les plus grandes, abstraction faite du signe, qu'il y a d'éléments à corriger. On conçoit que les résultats correspondants à an égal à un grand nombre doivent peu différer de ceux que donne in infini. Il n'est pas même nécessaire pour cela que la puissance 2n soit fort élevée, et j'ai reconnu par beau* coup d'exemples que, dans le cas même où cette puissance ne surpasse pas le carré, les résultats différent peu de ceux que donne le système du minimum des plus grandes erreurs, ce qui est un nouvel avantage de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.

Depuis longtemps, les géomètres prennent un milieu arithmétique entre leurs observations, et, pour déterminer les éléments qu'ils veulent connaître, ils choisissent les circonstances les plus favorables pour cet objet, savoir, celles dans lesquelles les erreurs des observations altèrent le moins qu'il est possible la valeur de ces éléments. Mais Cotes est, si je ne me trompe, le premier qui ait donné une règle générale pour faire concourir à la détermination d'un élément plusieurs observations, proportionnellement à leur influence. En considérani chaque observation comme une fonction de l'éléinent et reganlioir l'erreur de l'observation comme une difîérentiell*.' inlininicnt | elle sera égale à la différentielle de la fonction, iiri^e par rnppi

élément. Plus le coefficient de la différentielle de l'élément sera considérable, moins il faudra faire varier l'élément, pour que le produit de sa variation par ce coeHicient soit égal à l'erreur de l'obsen'ation ; ce coefficient exprimera donc l'influence de l'observation sur la valeur de l'élément. Cela posé. Cotes représente toutes les valeurs de l'élément, données par chaque observation, par les parties d'une droite indéfinie, toutes ces parties ayant une commune origine. 11 conçoit ensuite, à leurs autres extrémités, des poids proportionnels aux influences respectives des observations. La distance de l'origine commune des parties au centre commun de gravité de tous ces poids est la valeur qu'il choisit pour l'élément.

Reprenons l'équation de condition du n" 20,

t''> étant l'erreur de l'observation (i + i}'™', el s étant la correction de l'élément déjà connu à fort peu près; /)'", que l'on peut toujours supposer positif, exprimera l'influence de l'observation correspondante.

-777 étant la valeur' de s résultante de l'observation, la rèale de Cotes

revient à multiplier cette valeur par />"\ à faire une somme de tous les produits relatifs aux diverses valeurs, et à la diviser par la somme de tous les ;)'^, ce qui donne

Sa'''

C'était en effet la correction adoptée par les observateurs, avant l'usage de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.