LIVRE II
c'est donc ce qu'elle doit donner annuellement a l'établissement pour assurer à ses héritiers le capital hq.
Je n'insisterai pas davantage sur ces objets, ainsi que sur ceux qui sont relatifs aux établissements d'assurance de tout genre, parce qu'ils ne présentent aucune difficulté. J'observerai seulement que tous ces établissements doivent, pour prospérer, se réserver un bénéfice et multiplier considérablement leurs affaires, afin que, leur bénéfice réel devenant presque certain, ils soient exposés le moins qu'il est possible à de grandes pertes qui pourraient les détruire. En effet, si le nombre des affaires est s et si l'avantage de l'établissement dans chacune d*elles est b^ alors il devient extrêmement probable que le bénéfice réel de l'établissement sera sb^ s étant supposé un très grand nombre.
Pour le faire voir, supposons que s personnes de l'âge A constituent, chacune sur sa tête, une rente viagère A, et considérons une de ces personnes que nous désignerons par C. Si C meurt dans l'intervalle de la fin de l'année x écoulée depuis la constitution de sa rente à la fin de l'année 0?-+- 1, l'établissement lui aura payé la rente h pendant X années, et la somme de ces payements, réduite en capital actuel, sera ^p-h p^ -i-...-^ p^) ou làp"^"^^; or la probabilité que C mourra
dans cet intervalle est ^•^""^•^"^* ou — — ; la valeur de la perte que
Ar l'établissement doit alors supporter est donc — ^^Ihp^^*. La somme
de toutes ces pertes est
c'est le capital que G doit verser à la caisse de l'établissement pour en recevoir la rente viagère A. On peut observer ici que l'on a
en intégrant le second membre de cette équation, la fonction (r) se réduit à
— ^2Ap«^H ^^^^ -+-const.;
kkO THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
or 2/?* se réduit à zéro, lorsque a? = i , et lorsque a? = /* -h i, y^ est nul par ce qui précède ; la fonction (r) ou le capital que C doit payer à
rétablissement est donc — ~^> ce qui est conforme à ce qui précède.
Mais sous la forme de la fonction (r) on peut appliquer au bénéfice de rétablissement Tanalyse du n" 39. En effet, on a dans ce cas, par le numéro cité,
ensuite a, a\ ... étant les valeurs successives de —^ on aura
ro
en sorte que
En supposant que chacune des 5 personnes qui constitue la rente h sur sa tète verse à la caisse de rétablissement, outre le capital correspondant à cette rente, une somme 6, pour subvenir aux frais de l'établissement, on aura, parle n^39.
