LIVRE II
fortune physique de B étant primitivement lO'j^'fSg^ il ne doit alors risquer prudemment à ce jeu que 7^*^,89, au lieu de la somme infinie que le résultat du calcul indique, lorsqu'on fait abstraction de toutes considérations morales. Ayant ainsi la valeur de a relative à a'=ioOy il est facile d'en conclure de la manière suivante sa valeur relative à a'= 200; en effet on a, dans ce dernier cas,
a=z (aoo + 3)^(200-+- 2^)* . . . = 2(100 -f- 1)^(100 H- 2)^(100 -4-4)"
Mais on vient de trouver
donc
a = 2 v^ioi.107,89 = 208 , 78.
Ainsi la fortune physique de B étant primitivement 208,78, il ne peut risquer prudemment à ce jeu au delà de 8''',78.
43. Nous allons maintenant étendre le principe exposé ci-dessus aux choses dont l'existence est éloignée et incertaine. Pour cela, considérons deux personnes A et B, qui veulent placer chacune, en viager, un capital q. Elles peuvent le faire séparément; elles peuvent s'associer et constituer une rente viagère sur leurs têtes, de manière que la rente soit réversible à celle qui survit à l'autre. Examinons quel est le parti le plus avantageux.
Supposons les deux personnes du même âge et ayant la même fortune annuelle que nous représenterons par l'unité, indépendamment du capital qu'elles veulent placer. Soit 6 la rente viagère que ce capital leur produirait à chacune, si elles plaçaient leurs capitaux séparément, en sorte que leur fortune annuelle devienne i -h €. Nous exprimerons, conformément au principe dont il s'agit, leur fortune morale annuelle correspondante par k log(n- 6) -+- logA. Mais cette fortune n'aura lieu que probablement à la a^^^^ année; ainsi, en désignant par j'j. la probabilité que A vivra à la fin de la x^^^^ année, on doit multiplier sa fortune morale annuelle relative à cette année par j^^; en ajoi
donc tous ces produits, leur somme, que nous désignerons par \k log(i -+• €) -f- logA]2y^, sera ce que je nomme ici Jortune monde viagère.
Supposons maintenant que A et B placent la somme 29 de leurs capitaux sur leurs têtes, et que cela produise une rente viagère €% réversible au survivant. Tant que A et B vivront, chacun d'eux ne touchera que ^6' de rente viagère, et leur fortune morale annuelle sera *log(i -h 56') -f-logA. En la multipliant par la probabilité qu'ils vivront tous deux à la fin de l'année a:, probabilité égale à {y^Yf 1^ somme de ces produits pour toutes les valeurs de x sera la fortune morale viagère de A, relative à la supposition de leur existence simultanée ; cette fortune est donc
j^A-log(i+|) H-logAJllrx)».
La probabilité que A existera seul a la fin de la a?*^"* année est
y^ — [yxYl sa fortune morale viagère relative à son existence après la
mort de B, qui rend sa fortune morale annuelle égale à i + €', est
donc
[A- log(i -4- 6') 4- log/i]2[rx - [yxYl
La somme de ces deux fonctions
A- log(i-4- ^)2(rx)^ -h A-log(i -h 6')[2/x- 2(rx)>] + logAI/^
sera la fortune morale viagère de A dans l'hypothèse où A et B placent conjointement leurs capitaux.
Si l'on compare cette fortune à celle que nous venons de trouver dans le cas où ils placent séparément leurs capitaux, on voit qu'il y aura pour A de l'avantage ou du désavantage à placer conjointement, suivant que
iog(n-|)2(r.r)>4-iog(i4-6')[2r--2(r-)»]
sera plus grand ou moindre que log(ï -+- €)2ja?' Pour le savoir, il faut
