DE LA PROBABILITÉ DES TÉMOIGNAGES
44. Je vais d'abord considérer un seul témoin. La probabilité de son témoignage se compose de sa véracité, de la possibilité de son erreur et de la possibilité du fait en lui-même. Pour fixer les idées, concevons que Ton ait extrait un numéro d'une urne qui en renferme le nombre /i, et qu'un témoin du tirage annonce que le n® i est sorti. L'événement observé est ici le témoin annonçant la sortie du n^ t. Soit p la véracité du témoin, ou la probabilité qu'il ne cherche point à tromper; soit encore r la probabilité qu'il ne se trompe point. Gela posé :
On peut former les quatre hypothèses suivantes. Ou le témoin ne trompe point et ne se trompe point; ou il ne trompe point et se trompe; ou il trompe et ne se trompe point; enfin, ou il trompe et se trompe à la fois. Voyons quelle est, a priori, dans chacune de ces hypothèses, la probabilité que le témoin annoncera la sortie du n^ i.
Si le témoin ne trompe point et ne se trompe point, le n^ i sera sorti ;
mais la probabilité de cette sortie est a priori -; en la multipliant par
n pr
la probabilité /?r de l'hypothèse, on aura ^ pour la probabilité entière
de l'événement observé dans cette première hypothèse. Si le témoin ne trompe point et se trompe, le n^ i ne doit point être
sorti, pour qu'il annonce sa sortie; la probabilité de cela est ~ »
Mais l'erreur du témoin doit porter sur l'un des numéros non sortis. Supposons qu'elle puisse également porter sur tous : la probabilité
qu'elle portera sur le n® * sera — — ; la probabilité que le témoin ne trompant point et se trompant annoncera le n** i est donc
OU --En la multipliant par la probabilité /^(i — r) de l'hypothèse elle-
même, on aura ^ ^ ^ ^^ pour la probabilité de l'événement observé
dans cette seconde hypothèse.
Si le témoin trompe et ne se trompe point, le n^i ne sera point sorti,
et la probabilité de cela est "" ; mais le témoin doit choisir, parmi
les 72 — I numéros non sortis, le n® i. Si l'on suppose que son choix
puisse également porter sur chacun d'eux, -— |— sera la probabilité
que son choix se fixera sur le n® i; —^ ou - est donc la proba-
hilité que le témoin annoncera le n^i. En la multipliant par la probabilité {i—p)r de l'hypothèse, on aura ^'"^^^^ pour la probabilité
entière de l'événement observé dans cette troisième hypothèse.
Enfin, si le témoin trompe et se trompe, la probabilité qu'il ne croira
pas le n"* * sorti sera '" » et la probabilité qu'il le choisira parmi les
n — I numéros qu'il ne croira pas sortis sera ; -^ ^- — ou -
sera donc la probabilité qu'il annoncera la sortie du n^ i. En la multipliant par la probabilité (i —p){\ —r) de l'hypothèse, on aura ^'^^^^'~^^
pour la probabilité de l'événement observé dans cette quatrième hypothèse.
Cette hypothèse renferme un cas dans lequel le n^i est sorti, savoir le cas dans lequel, le n'' i étant sorti, le témoin ne le croit pas sorti, et le choisit parmi les n — i numéros qu'il ne croit pas sortis. La probabilité de cela est le produit de - par -— —• En multipliant ce produit
par la probabilité (i — />)(i — r) de l'hypothèse, on aura ^ T^ pour la probabilité du cas dont il s'agit.
On peut arriver aux mêmes résultats àç cette manière. Soient a, b, c,d, i, ... les n numéros. Puisque le témoin se trompe, il ne doit point croire sorti le numéro sorti, et puisqu'il trompe, il ne doit point annoncer comme sorti le numéro qu'il croit sorti. Mettons donc, à la première place te numéro sorti, k la deuxième te numéro que le témoin croit sorti, et à la troisième le numéro qu'il annonce. Parmi toutes tes combinaisons possibles des numéros trois à trois, sans exclure celles où ils sont répétés, il n'y a de compatibles avec l'hypothèse présente que celles où le numéro qui occupe la deuxième place n'occupe ni la
première, ni la troisième; telles sont les combinaisons aba, abc
Or il est facile de voir que le nombre des combinaisons qui satisfont aux deux conditions précédentes est n{n — i)'; car la combinaison ab peut se combiner avec les n — i numéros autres que b, et le nombre des combinaisons ab, ba, ac est n[n — i). Maintenant les combinaisons dans lesquelles le n" i est annoncé sans être sorti sont de la forme abi, bai, aci, .... et le nombre de ces combinaisons est {n — i)(n ~ 2); ainsi la probabilité qu'une de ces combinaisons aura lieu est --,■— — 7- Les combinaisons dans lesquelles le n° {'étant sorti, il est annoncé, sont de la forme iai, ibi, ..., et le nombre de ces combinaisons est visiblement/1—i; la probabilité qu'une de ces combinaisons aura lieu est donc — j — ^^^^ Il faut multiplier toutes ces combinaisons par la probabilité (i — /))(i — r) de l'hypothèse, et alors on aura les résultats précédents.
Maintenant, pour avoir la probabilité de la sortie du n° i, on doit faire une somme de toutes les probabilités précédentes, relatives à cette sortie, et la diviser par la somme de toutes ces probabilités, ce qui donne, pour cette probabilité.
impe poiril, la prubii-
hilité de la sortie du n"" i seray?» c'est-à-dire la probabilité de la véracité du témoin. ^
Si n est un très grand nombre, cette probabilité sera à très peu près pron la probabilité de la véracité du témoin, multipliée par la probabilité qu'il ne se trompe point.
Nous avons supposé que l'erreur du témoin, lorsqu'il se trompe, peut également tomber sur tous les numéros non sortis; mais cette supposition cesse d'avoir lieu, si quelques-uns d'eux ont plus de ressemblance que les autres avec le numéro sorti, parce que la méprise à leur égard est plus facile. Nous avons encore supposé que le témoin, lorsqu'il trompe, n'a pas de motif pour choisir un numéro plutôt qu'un autre, ce qui peut ne pas avoir Heu. Mais il serait très difficile de faire entrer dans une formule toutes ces considérations particulières.
45. Supposons maintenant que l'urne contienne n — i boules noires et une boule blanche, et qu'en ayant extrait une boule, un témoin du tirage annonce la sortie d'une boule blanche. Déterminons la probabilité de cette sortie. Nous formerons les mêmes hypothèses que nous venons de faire. Dans la première, la probabilité de la sortie de la
boule blanche est, comme ci-dessus, — • Dans la deuxième hypothèse, le témoin se trompant sans tromper, une boule noire doit être sortie,
et la probabilité de cela est -» et comme le témoin, supposé véri-
dique, doit énoncer la sortie d'une boule blanche, par cela seul qu'il se méprend, la probabilité de cette annonce sera donc ""'» probabilité qu'il faut multiplier par la probabilité p[} — r) de l'hypothèse, ce qui donne ^~ — ^— ^ pour la probabilité de l'événement observé
dans cette hypothèse. Dans la troisième hypothèse, le témoin étant supposé tromper et ne point se tromper, une boule noire doit être
sortie, et la probabilité de cela est ^— -' • En la multipliant par la pro-
habilité (i — p)r de cette hypothèse, on aura — — ^^^^^ ~'^ pour la
prohabilité de l'événement observé» dans cette hypothèse. Enfin, dans la quatrième hypothèse, le témoin, trompant et se trompant, ne peut annoncer la sortie de la boule blanche qu'autant qu'elle sera sortie. La
probabilité de cette sortie est -• En la multipliant par la probabilité
(i — /?) (i — r) de l'hypothèse, on aura iin^llLllZl pour la probabi-
lité de l'événement observé, dans cette hypothèse.
Présentement, si l'on réunit parmi les probabilités précédentes celles dans lesquelles la boule blanche est sortie, on aura la probabilité de cette sortie, en divisant leur somme par la somme de toutes les probabilités, ce qui donne
pr-4-(i-p)(i-r)
pr-+-(i— ;ï)(i-r)+i;?(i-r)4-(i-p)r](/i-i)
pour la probabilité de la sortie de la boule blanche; par conséquent
est la probabilité que le fait attesté par le témoin du tirage n'a pas eu lieu.
On peut observer ici que, si l'on nomme q la probabilité que le témoin énonce la vérité, on aura
q=zpr^[i-'p)[i'-r);
car il est visible qu'il dit vrai, dans le cas dont il s'agit, soit qu'il ne trompe point et ne se trompe point, soit qu'il trompe et se trompe. Cette expression de q donne
En effet, la probabilité i — q qu'il n'énonce pas la vérité est la probabilité qu'il ne trompe point et se trompe, plus la probabilité qu'il
trompe et ne se trompe point. L'expression précédente de la probabilité que le fait attesté est faux devient ainsi
Si le nombre n — i des boules noires est très grand, cette probabilité devient à très peu près égale à l'unité ou à ia certitude, pour peu que l'erreur ou le mensonge du témoin soit probable. Alors le fait qu'il atteste devient extraordinaire. Ainsi Ton voit comment les faits extraordinaires affaiblissent la croyance due aux témoins, le mensonge ou l'erreur devenant d'autant plus vraisemblable que le fait attesté est plus extraordinaire en lui-même.
46. Considérons présentement deux urnes A et B, dont la première contienne un grand nombre n de boules blanches, et la seconde le même nombre de boules noires. On tire de l'une de ces urnes une boule que l'on remet dans l'autre urne; ensuite on tire une boule de cette dernière urne. Un témoin du premier tirage atteste qu'une boule blanche est sortie; un témoin du second tirage atteste pareillement qu'il a vu extraire une boule blanche. Chacun de ces témoignages, considéré isolément, n'offre rien d'invraisemblable. Mais la conséquence qui résulte de leur ensemble est que la même boule, sortie au premier tirage, a reparu au second, ce qui est un phénomène d'autant plus extraordinaire que n est un plus grand nombre. Voyons comment la valeur de ces témoignages en est affaiblie.
Nommons q la probabilité que le premier témoin énonce la vérité. On voit, parle numéro précédent, que dans le cas présent cette probabilité se compose de la probabilité que le témoin ne trompe point et ne se trompe point, ajoutée à la probabilité qu'il trompe et se trompe à la fois; car le témoin, dans ces deux cas, énonce la vérité. Soit q' la même probabilité relative au second témoin. On peut former ces quatre hypothèses : ou le premier et le second témoin disent la vérité ; ou le premier dit la vérité, le second ne la disant pas; ou le second témoin
