APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS AUX OPÉRATIONS GÉODÉSIQUES

On détermine la longueur d*un grand arc, à la surface de la Terre, par une chaîne de triangles qui s'appuient sur une base mesurée avec exactitude. Mais, quelque précision que Ton apporte dans la mesure des angles» leurs erreurs inévitables peuvent, en s'accumulant, écarter sensiblement de la vérité la valeur de l'arc que l'on a conclue d'un grand nombre de triangles. On ne connaît donc qu'imparfaitement cette valeur, si l'on ne peut pas assigner la probabilité que son erreur est comprise dans des limites données. Le désir d'étendre l'application du Calcul des Probabilités à la Philosophie naturelle m'a fait rechercher les formules propres à cet objet.

Cette application consiste a tirer des observations les résultats les plus probables et à déterminer la probabilité des erreurs dont ils sont toujours susceptibles. Lorsque, ces résultats étant connus à peu près, on veut les corriger par un grand nombre d'observations, le problème se réduit à déterminer la probabilité d'une ou de plusieurs fonctions linéaires des erreurs partielles des observations, la loi de probabilité de ces erreurs étant supposée connue. J'ai donné, dans le Livre II de ma Théorie analytique des Probabilités, une méthode et des formules générales pour cet objet, et je les ai appliquées, dans le premier Supplément, k quelques points intéressants du Système du monde. Dans les questions d'Astronomie, chaque observation fournit, pour corriger les éléments, une équation de condition : lorsque ces équations sont très multipliées, mes formules donnent, à la fois, les corrections les

53â THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

plus avantageuses et la probabilité que les erreurs, après ces corrections, seront contenues dans des limites assignées, quelle que soit d'ailleurs la loi de probabilité des erreurs de chaque observation. 11 est d'autant plus nécessaire de se rendre indépendant de cette loi, que les lois les plus simples sont toujours infiniment peu probables, vu le nombre infini de celles qui peuvent exister dans la nature. Mais la loi inconnue que suivent les observations dont on fait usage introduit dans les formules une indéterminée qui ne permettrait point de les réduire en nombres, si Ton ne parvenait pas à l'éliminer. C'est ce que j'ai fait, au moyen de la somme des carrés des restes, lorsque l'on a substitué, dans chaque équation de condition, les corrections les plus probables. Les questions géodésiques n'offrant point de semblables équations, il a fallu chercher un autre moyen d'éliminer des formules de probabilité l'indéterminée dépendante de la loi de probabilité des erreurs de chaque observation partielle. La quantité dont la somme des angles de chaque triangle observé surpasse deux angles droits plus l'excès sphérique m'a fourni ce moyen, et j'ai remplacé par la somme des carrés de ces quantités la somme des carrés des restes des équations de condition. Parla, on peut déterminer numériquement la probabilité que le résultat final d'une longue suite d'opérations géodésiques n'excède pas une quantité donnée. En appliquant ces formules à la mesure d'une perpendiculaire à la méridienne, elles feront apprécier les erreurs, non seulement de l'arc total, mais encore de la différence en longitude de ses points extrêmes, conclue de la chaîne des triangles qui les unissent et des azimuts du premier et du dernier côté de cette chaîne. Si l'on diminue, autant qu'il est possible, le nombre des triangles et si l'on donne une grande précision à la mesure de leurs angles, deux avantages que procure l'emploi du cercle répétiteur et des réverbères, ce moyen d'avoir la différence en longitude des points extrêmes de la perpendiculaire sera l'un des meilleurs dont on puisse faire usage.

Pour s'assurer de l'exactitude d'un grand arc qui s'appuie sur une base mesurée vers une de ses extrémités» on mesure une seconde base

vers l'autre extrémité, et l'on conclut de Tune de ces bases la longueur de Tautre. Si la longueur ainsi calculée s'écarte très peu de Tobservation, il y a tout lieu de croire que la chaîne des triangles est exacte à fort peu près, ainsi que la valeur du grand arc qui en résulte. On cor* rige ensuite cette valeur, en modifiant les angles des triangles, de manière que les bases calculées s'accordent avec les bases mesurées, ce qui peut se faire d'une infinité de manières. Celles que l'on a jusqu'à présent employées sont fondées sur des considérations vagues et incertaines. Les méthodes exposées dans le Livre II conduisent à des formules très simples, pour avoir directement la correction de l'arc total qui résulte des mesures de plusieurs bases. Ces mesures ont non seulement l'avantage de corriger l'arc, mais encore d'augmenter ce que j'ai nommé le poids d'un résultat, c'est-à-dire de rendre la probabilité de ses erreurs plus rapidement décroissante, en sorte que les mêmes erreurs deviennent moins probables par la multiplicité des bases. J'expose ici les lois de probabilité des erreurs que fait naître l'addition de nouvelles bases. La mesure d'une seconde base sert pareillement à corriger la différence en longitude des points extrêmes d'une perpendiculaire à la méridienne et à augmenter le poids de la valeur de cette différence.

Avant que l'on apportât, dans les observations et dans les calculs, l'exactitude que l'on exige maintenant, on considérait les côtés des triangles géodésiques comme rectilignes, et l'on supposait la somme de leurs angles égale à deux angles droits. Legendre a remarqué le premier que les deux erreurs qu'on commet ainsi se compensent mutuellement, c'est-à-dire qu'en retranchant de chaque angle d'un triangle le tiers de l'excès sphérique, on peut négliger la courbure de ses côtés et les regarder comme rectilignes. Mais l'excès des trois angles observés sur deux angles droits se compose de l'excès sphérique et de la somme des erreurs de la mesure de chacun des angles. L'analyse des probabilités fait voir que l'on doit encore retrancher de chaque angle le tiers, de cette somme, pour avoir la loi de probabilité des erreurs des résultats le plus rapidement décroissante. Ainsi, par la répar-

tition égale de l'erreur de la ftomine observée des trois angles do triangle considéré comme rectiligne, on corrige à la fois Texcès sphèrique et les erreurs des observations. Le poids des angles ainsi corrigés augmente, en sorte que les mêmes erreurs deviennent, par cette cotrection, moins probables. Il y a donc de l'avantage à observer les trois angles de chaque triangle, et à les corriger comme on vient de le dire. Le simple bon sens fait pressentir cet avantage; mais le Calcul des probabilités peut seul l'apprécier et faire voir que, par cette correction, il devient le plus grand qu'il est possible.

Les formules dont je viens de parler sont relatives à des observations futures : ainsi, lorsqu'on les applique à des observations passées, on fait abstraction de toutes les données que la comparaison de ces observations peut fournir sur les erreurs, données dont on peut faire usage quand on connaît la loi de probabilité des erreurs des observations partielles. Si cette loi est exprimée par une constante moindre que l'unité, dont l'exposant soit le carré de Terreur, alors mes formules conviennent aux observations passées comme aux observations futures, et elles satisfont k toutes les données de ces observations, comme je l'ai fait voir dans le n^ 25 du Livre II. Dans le cas où les angles sont mesurés au moyen d'un cercle répétiteur, chaque angle simple est le résultat moyen d'un grand nombre de mesures du même angle contenues dans l'arc total observé; l'erreur de l'angle est donc la moyenne des erreurs de toutes ces mesures; et, par le n^ 18 du Livre II, la probabilité de cette erreur est exprimée par une constante, dont l'exposant est égal au carré de l'erreur. L'emploi du cercle répétiteur réunit donc à l'avantage de donner une mesure précise des angles celui d'établir une loi de probabilité des erreurs qui satisfait à toutes les données des observations.

Pour appliquer avec succès les formules de probabilité aux observations géodésiques, il faut rapporter fidèlement toutes celles que l'on admettrait si elles étaient isolées, et n'en rejeter aucune par la seule considération qu'elle s'éloigne un peu des autres. Chaque angle doit être uniquement déterminé par ses mesures, sans égard aux deux

autres angles du triangle auquel il appartient; autrement, Terreur de la somme des trois angles ne serait pas le simple résultat des observations, comme les formules de probabilité le supposent. Cette remarque me parait importante, pour démêler la vérité au milieu des légères incertitudes que les observations présentent.

i. Concevons, sur une sphère, un arc de grand cercle A A' A"

et supposons que Ton ait formé autour la chaîne d(>s triangles ACC , CCC", C'CC", CT/C'% . . ., dont les côtés CC, C/C\ (rC^ . . . coupent

cet arc en A', A", A"', Je ne donne point de figure, parce qu'il esl

facile de la tracer d'après ces indications. Soient A l'angle CAA , A^'^ l'angle C'A'A^ A<^^ l'angle C"A'\r, .... Soient encore C l'angle ACC, 0*J l'angle CC'C", O^^ Tanglc CC'C On aura

a étant l'erreur de l'angle observé C, / étant l'excès des angles du triangle sphérique ACA' sur t: qui exprime deux angles droits ou la demi-circonférence dont le rayon est l'unité. On aura pareillement

af*> étant l'erreur de l'angle observé CC'C", et /^'^ étant l'excès des angles du triangle sphérique A' C'A" sur deux angles droits. On formera semblablement les équations

A(2) -+- A(»> -4- CCa) - a(a; rr- r -h t^'^K A(5) 4- A(0 -+- 03) -- a(»> = TT + /(■»),

d'où l'on tire facilement

A(»') = A + C — C<*î -{- Cfîî - C(3) H-. . .-h C(2'- -.i) - (:(2i-i;

— i -\- /(i) — /(2) ^ /(8) .....- idi-i) -,. tCU-n^ Acai-i) = TT -. A — C -f- C^*) — Cfî»> -+- Cf«J — ... - (:(3' -2'

en supposant donc A bien connu» Terreur de l'angle A^^^ est

le signe supérieur ayant lieu si n est impair, et le signe inférieur ayant lieu si n est pair. Les valeurs de /, /<'\ . . . sont fort petites et peuvent être déterminées avec précision.

Il s'agit maintenant d'avoir la probabilité que cette erreur sera contenue dans des limites données. Pour cela, je supposerai d'abord qae la probabilité d'une erreur quelconque a est proportionnelle à c^\ c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Cette supposition, la plus naturelle et la plus simple de toutes, résulte de l'emploi du cercle répétiteur dans la mesure des angles des triangles. En effet, nommons 9(9) la probabilité d'une erreur q dans la mesure d'un angle simple, cette probabilité étant supposée la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives. Supposons encore que s soit le nombre des angles simples contenus dans toutes les séries qae l'on a faites pour déterminer cet angle. La probabilité que l'erreur du

résultat moyen ou de l'angle conclu par ces séries sera + -r= est, par le n^ 18 du Livre II, proportionnelle à

k étant égal ^^ fdqff{q)t l'intégrale étant prise depuis q nul jusqu'à 9 égal à sa plus grande valeur, que l'on peut toujours supposer infinie ; en faisant ff{q) discontinu et nul au delà de la limite de 9, if est égal fq^dqff{q). En supposant donc

r=ayls, /,= ^,

c"^*' sera la probabilité de l'erreur a. On verra, à la fin de cet article, que les résultats suivants ont toujours lieu, quelle que soit la probabilité de a.

Soient 6 et y les erreurs des deux angles AC'C et CAC du premier

triangle ACC; la probabilité des trois erreurs a, 6 et y sera proportionnelle à

mais Tobservation de ces angles donne la somme a -h 6 -f- y des trois erreurs; car la somme des trois angles devant être égale à deux angles droits plus la surface du triangle ACCS si Ton nomme T l'excès des trois angles observés sur cette quantité, on aura

l'exponentielle précédente devient ainsi

ê étant susceptible de toutes les valeurs depuis — oo jusqu'à + oo ; il faut multiplier cette exponentielle par d& et prendre l'intégrale dans ces limites, ce qui donne une intégrale qui a pour facteur

la probabilité de a est donc proportionnelle à ce facteur. La valeur de a la plus probable est évidemment celle qui rend nulle la quantité oc — ^T; il faut donc corriger les trois angles de chaque triangle du tiers de l'excès T de leur somme observée sur deux angles droits plus l'excès sphérique. C'est ce que l'on fait communément.

Nommons a et 6 les quantités a — ^T, 6 — ^T; la probabilité de a sera donc proportionnelle à

-?Aa«

Si l'on diminue l'angle C de {T, c'est-à-dire si l'on enoploie les angles

corrigés de chaque triangle, en nommant C, C^*^ ... ce que deviennent, par ces corrections, les angles C, 0*\ . . ., on aura

OPMvreë de L, — \\\. 68

La probabilité que la quantité

ou Terreur de l*angle A^"' sera comprise dans les limites ±: r^n^ sera, par le n° 18 cité.

"t'fdrc

VTT

On peut observer ici l'avantage que produit l'observation des trois angles de chaque triangle, par la correction de ces angles. Sans cette correction, l'erreur de Tangle A^"^ serait

et la probabilité que cette erreur est comprise dans les limites =b r\in serait

probabilité moindre que la précédente dan^ laquelle le poids du résultat est f A, au lieu qu'il est ici A.

Déterminons maintenant la valeur de A. Parmi les données des observations, les quantités dont les sommes des angles de chaque triangle surpassent deux angles droits plus l'excès sphérique paraissent être les plus propres à faire connaître cette valeur. Par ce qui précède, la probabilité de l'existence simultanée de a et de T est proportionnelle à

En multipliant cette exponentielle parafa, et prenant l'intégrale depuis

a =z — X jusqu'à a = x) , l'intégrale aura pour facteur c * , et ce facteur sera proportionnel à la probabilité de T; cette probabilité sera donc

dTc^

rintégrale du dénominateur étant prise depuis T = — qo jusqu'à T = 00 . Elle sera ainsi proportionnelle a

Ici l'événement observé est que les sommes des angles du premier triangle, du deuxième, du troisième, etc. surpassent deux angles droits plus l'excès sphérique, respectivement, des quantités!, T^'^ ..., T^''~*\ n étant le nombre des triangles; la probabilité de cet événement sera donc proportionnelle à

en faisant

0» = T» -+. Tf «)2 -1- . . . 4- Tf''-^)».

Maintenant, si l'on considère les diverses valeurs de h comme causes de l'événement observé, la probabilité de h sera, par le principe de la probabilité des causes tirée des événements observés, égale à

2 *e« h^dhc •

Jh^dhc '

l'intégrale du dénominateur étant prise pour toutes les valeurs de A, c'est-à-dire depuis A = o jusqu'à A = oo . La valeur de h qu'il faut choisir est évidemment l'intégrale des produits des valeurs de h multipliées par leurs probabilités; cette valeur est donc

fh^dhc*

les intégrales étant prises depuis A = o jusqu'à A = qo . L'intégrale du numérateur est égale à

La fraction précédente devient ainsi -— ^-^; c'est donc la valeur de A

qu'il faut adopter. Si Ton suppose n un grand nombre, cette valeur

devient à fort peu près -r^* Cette quantité est la valeur de h qui rend Tévénement observé le plus probable, la probabilité de cet événement,

a priori, étant proportionnelle à h^c * . En prenant pour h la quantité —g^j la probabilité que Terreur de TangleA^"^ sera comprise dans les limites ±: r\'n est

la probabilité qu'elle sera comprise dans les limites ± |0/ est donc

rintégrale étant prise depuis /^ nul.

2. Supposons Tare A A' A''... perpendiculaire au méridien du point A. Soient 9 Tangle formé par ce méridien et par celui du point extrême X^'^K et Y le plus petit des angles que ce dernier méridien fait

avec l'arc AA'. . .; on aura

cosV sm9= -r-r^

l étant la latitude du point A. En désignant donc par t^ et SY les erreurs des angles 9 et Y, on aura

. 3YsinY

^ sin/cos9

Si l'on a mesuré avec une grande exactitude l'angle que le dernier côté de la chaîne des triangles forme en A^''^ avec la méridienne de ce point, il est facile de voir que

SA^"^ étant Terreur de A^"^; Tintégrale précédente en r' est donc la pro-

habilité que l'erreur tf de ta longitude f conclue des azimuts observés

sin/cosf

Il résulte de l'analyse exposée dans le Chapitre V du Livre III de la Mécanique céleste que, s'il existe une excentricité dans les parallèles terrestres, elle n'a aucune influence sensible sur ta valeur de f conclue de cette manière, pourvu que l'arc mesuré soit peu considérable. En mesurant donc, avec une grande précision, les angles des divers triangles et les amplitudes des points extrêmes, on aura fort exactement la différence en longitude de ces points, et l'on pourra, par la formule précédente, apprécier la probabilité des petites erreurs à craindre sur cette différence.

Déterminons présentement ta probabilité que l'erreur de la mesure

de la ligne AA'A" sera comprise dans des limites données. Pour

cela, supposons que dans les triangles CAC, CGC, ... on ait corrigé les angles comme on le fait ordinairement, c'est-à-dire en retranchant de chacun le tiers de la quantité dont la somme des trois angles observés surpasse deux angles droits plus l'excès sphérique. Que l'on abaisse des sommets C, C, C", . . . des perpendiculaires CI, CI', C"r, ... sur ta ligne AA'A". . .; on aura, à très peu près,

AI=:ACcosIAC.

On aura ensuite, à fort peu près,

ir = CC'cosA«' et, généralement,

I<"I"^"~C'"C<'+'icosA<'+".

En supposant donc que i soit la caractéristique des erreurs, on aura

On a, par ce qui précède,

ensuite, on a, dans le (i -h i)'*"* triangle,

ce qui donne

3O'+«>D'-oc(0colC<'-^*>C<'-«>O')

mais â^'^ est, par ce qui précède, l'erreur de Tangle C^ou O'-*^C^''0'-*^*\ corrigé en en retranchant le tiers de l'excès de la somme des trois angles observés du triangle sur deux angles droits. Soit &'' Terreur de l'angle 0''''^G'^'^0'\ ainsi corrigé; -(ifO^^gto) sera Terreur du troisième angle O'^^^O'^^^O'K On aura donc

ce qui donne, en observant que, dans le premier triangle, le côté 0'~*'C est AC que je suppose mesuré 1res exactement,

^'J^ai^n^ = - S[(g<^) H- 6(0) coiO^-^«)C<^--«)C<^) -4- 6<^) cotC('--«)C^^-^«)0^)],

le signe S servant à exprimer la somme de toutes les quantités qu'il renferme depuis { = o jusqu'à i inclusivement. On aura donc ainsi la valeur de S.r'^T'^'^ En réunissant toutes ces valeurs, on aura, pour Terreur entière de leur somme ou de la ligne mesurée, une expression de cette forme

La probabilité des valeurs simultanées de a et de 6 est, par ce qui précède, proportionnelle à

En faisant

SUPPLÉMENTS, l'exponentielle précédente devient

ainsi les lois de probabilité des valeurs de a et de a sont les La fonction (o) prend alors cette forme

(o') ra4-r<'>«-*-r(»)««'-+-r(»>âi'> + ....

La probabilité que l'erreur de cette fonction, et par conséquent de la fonction (o), est comprise dans les limites ± s est, par le n" 20 du Livre II,

ifdlç-''

l'intégrale étant prise depuis / nul jusqu'à / égal à

On a évidemment

P« + ?ë=(;»-i9)â + iç«v'3;

ce qui donne, en l'égalant à /■« -h r^'^x,

la valeur de / sera donc, en y substituant pour h sa valeur -^^t

isy p* — p

La longueur de l'arc mesuré fait connaître celle du rayon oscutateur de la surface nu poiut A de départ. 1 von mené du centre

de gravilé de la Terre à sa surface, < '*" la longiluilc

et de la latitude, It^ demi-axe de la si l'ou

nomme R le rayon osculateur à c4 aura.

su THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS,

par le Chapitre cité du Livre III de la Mécanique céleste.

R = i + «- ^^jtang/

lddu\ cos*/ *

et si Ton nomme i la longueur de Tare mesuré AÂ^'^ on aura, à fort peu près,

R = —^,{1 - icnang*/);

ce qui donne, à fort peu près,

fCOS/ f^COSi

mais on a, par ce qui précède,

. q= 3A ^«^ zh ( i â( * > -h i(«) - . . . )

Oa =: ; = ; f

^ sin / sin /

le signe inférieur ayant lieu si n est pair, et le signe supérieur si n est impair. En faisant donc

' <pcos/ "*" ç^sin/cos/' ^ 9COS/*

p<*)=-^^ dl , <7H)=:-V ,

'^ (pcos/ 9'sin/cos/ ^ (pcos/

la probabilité que Terreur SR sera comprise dans les limites ±- s sera

rintégrale étant prise depuis / nul jusqu'à

La diflerence en latitude des points extrêmes de la perpendiculaire

dépend, par le Chapitre cité de la Mécanique céleste, de l'excentricité des parallèles terrestres, qui introduit dans son expression la quantité

la partie de cette expression qui est indépendante de cette excentricité est proportionnelle à <p'; ainsi la petite erreur dont <p est susceptible n'a point d'influence sensible sur la différence en latitude. En observant donc avec un grand soin cette différence, l'excentricité des parallèles terrestres doit se manifester, pour peu qu'elle soit sensible.

Si la ligne géodésique a été tracée dans le sens du méridien, l'azimut, à l'extrémité de l'arc mesuré, fera connaître l'excentricité des parallèles terrestres, et il est remarquable que cet azimut soit la fonction (n), en y changeant (p dans la différence en latitude des points extrêmes de l'arc mesuré et en la multipliant par le sinus de la latitude divisé par le carré du cosinus de la latitude à l'origine de l'arc.

L'arc mesuré dans le sens du méridien fera connaître le rayon osculateur de la Terre dans ce sens, et, par les formules précédentes, on aura la probabilité des erreurs dont sa valeur est susceptible.

On obtiendra plus de précision dans tous les résultats en fixant ^ers le milieu de l'arc mesuré l'origine des angles; car alors les puissances supérieures de ces angles, que l'on néglige, deviennent beaucoup plus petites.

3. Supposons que, pour vérifier les opérations, on mesure, vers l'extrémité A^"^ de l'arc AA'A''..., une seconde base. L'expression de l'erreur de cette base, conclue de la chaîne des triangles et de la base mesurée au point A, sera, par ce qui précède, de la forme

soit X cette erreur qui sera connue par la mesure directe de la seconde base. Si dans la fonction {p) on fait, comme précédemment,

OMmmret de L.— VU. 69

elle prend cette forme

En désignant par s la valeur de la fonction (o) ou de son équivalente (o') et observant que les probabilités de oc et de a suivent la

même loi et sont proportionnelles à c ' ' et c ' , la probabilité de la fonction précédente sera proportionnelle à

En supposant la fonction égale à X, cette exponentielle devient

F exprimant la somme des carrés /* -h /^'^* -+- /^*^* -h. . .. Les valeurs de a, a, x(*\ ... les plus probables sont évidemment celles qui rendent un minimum l'exposant de cette exponentielle» ce qui donne

Si l'on observe ensuite que Ton a, par ce qui précède,

6 = ia v3 — ^ac, on aura

a — ji . 5 — p ,

et F deviendra

/« «. in/4- m* -f- P*>> — m<«)/(«) H- m<«)a 4-. . . .

Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction (o), on aura la correction résultante de la mesure d'une seconde base» en Taffectant d'un signe

contraire. Mais on peut directement arrivera ce résultat, par le n^ 2i du Livre II, d'après lequel on voit que, s étant la valeur de la fonction (o), sa probabilité est proportionnelle à

C S/(Oi ^

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de i, depuis i = o inclusivement. La valeur de s la plus probable est celle qui rend nul l'exposant de c, ce qui donne

il faut donc retrancher de l'arc mesuré AA^*^ . . A^"^ cette valeur de s ; et, si l'on nomme u l'erreur de l'arc ainsi corrigé, la probabilité de u sera proportionnelle à

SKO.-<S'-^'^^^'^>'

On voit par cette expression que le poids du résultat est augmenté en vertu de la mesure de la seconde base; car, avant cette mesure, le coefficient de —s^ était, par le numéro précédent,

Sr<')a'

et, par cette mesure, le coefficient de —a* devient

La même erreur devient donc moins probable par cette mesure et par la correction précédente de cet arc.

On peut observer ici que les valeurs précédentes de r, r^*\ / et /^*) donnent

su THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

On pourra donc former aisément Sr*'^' et Sr^'^/^" au moyen des coeffi- . cients de «, ê, a'", . . . dans les fonctions (o) et {/>).

Si l'on avait mesuré d'autres bases, on aurait, par l'analyse du n° 21 du Livre II, les corrections qu'il faudrait faire à l'arc mesuré, et la loi de ses erreurs.

La mesure d'une nouvelle base peut servir à corriger, non seulement l'arc mesuré, mais encore la différence en longitude de ses points extrêmes ou l'angle A'"'. Il suffira de substituera la fonction (o) celle-ci

qui exprime l'erreur de A'">, le signe supérieur ayant lieu si n est impair, et l'inférieur si n est pair. Alors on a

de là il est facile de conclure que, pour corriger l'angle A<"'. il faut lui ajouter la quantité

La probabilité que l'erreur de A'"' ainsi corrigé est dans les limites ±/i sera

l'intégrale étant prise depuis / nul jusqu'à

(/— /M) + /(»!,... jm -h jm")—...)»

4. Nous sommes parvenus aux résultats précédents en partant de la loi de probabilité de l'erreur a proportionnelle à c"*"', et nous avons prouvé que cette loi de probabilité peut être admise à l'égard des angles mesurés avec le cercle répétiteur. Nous allons faire voir ici que ces résultats ont lieu généralement, quelle que soit la loi de probabilité de l'erreur x. Soit 9(a) cette loi. Nous la supposerons telle que les

mêmes erreurs positives et négatives soient également probables. Nous supposerons, de plus, que 9(a) s'étend depuis a = — oo jusqu'à X = + 00 : cette supposition est toujours permise; car, si la probabilité devient nulle au delà de certaines limites, la fonction (p(a) est alors discontinue et nulle au. delà de ces limites. Cherchons maintenant la probabilité des valeurs de la fonction (o) du n^ 1. Cette fonction a été calculée en corrigeant les angles de chaque triangle du tiers de la somme observée de leurs erreurs. Supposons généralement que, dans le premier triangle, on corrige l'erreur a de (i ■+- j)T, Terreur 6 de (i, 4- ^)T, et par conséquent la troisième erreur de ({ — i — i,)T, en désignant par a et 6 les erreurs a et 6 ainsi corrigées, on aura

En désignant pareillement par a^*^ et 6^*^ les erreurs a^*^ et 6^*^ respectivement corrigées de («^'^ -f- j)T^\ (tV -+• s)T'*^ on aura

et ainsi de suite. La fonction (o) est, par le n^ i, égale à

ensuite, on a

« = «-+- iT;

on a pareillement

La fonction (o) devient ainsi

S {pi 4- yi,)T désignant la somme

(/>l4-^li)T4-(/l<0/(0^-ç(i)|Y))T<«)-|-....

La correction -de la fonction (o) relative aux valeurs de 1, 1,, i^^\ ... est

donc

-S(pi^-gi,)T,

et alors cette fonction ainsi corrigée devient

(c) p« -h ^6 -h />(Oa(n^ ç(06(0 + pW^O) ^-. . . .

Pour avoir la probabilité des valeurs de cette dernière fonction, nous observerons que la probabilité de Texistence simultanée des valeurs de a, 6 et T est

rfgrf6rfT9(g)<p(6)<p(T — g — 6) ///rf«rf6rfr<p(«)<p(6)<p(T~«-6)*

les intégrales du dénominateur étant prises dans leurs limites infinies positives et négatives. Désignons par k l'intégrale /^ç(a), prise dans ces limites; il est facile de voir que ce dénominateur sera égal à là. La fraction précédente devient ainsi

la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de a, 6 et T sera donc

=^^?[«-^('-4.î)T]9[6 + (i, + f)T](p[(l-.i-iOT-«~6].

T étant supposé pouvoir varier depuis — oo jysqu'à +oo, on aura la probabilité des valeurs simultanées de a et de 6 en intégrant la fonction précédente par rapport à T, dans les limites infinies. Nommons

— — ^(a, 6) cette intégrale. On voit, par le n** 20 du Livre II, qu'en

désignant par s la valeur de la fonction (e), la probabilité de s sera proportionnelle à

/ //Açrf6^|/(a, 6Jcos(/>« + ç6)« 1

(H) /rfû)C-W^| x//rfa^«^rf6<<)+(a<*>,6<«>)cos(/i<«)at«> + 9<«>6<«))û) [»

l'intégrale relative à (o étant prise depuis (o = — u jusqu'à <a = it et

les intégrales relatives à a et 6 étant prises dans leurs limites infinies. Développons dans une série, ordonnée par rapport aux puissances de (0, la fonction comprise da/is la parenthèse. Le logarithme de ffdoLdS^(^oL, 6)cos(/>a -h y6)(o est égal à

'^ffdadS^{a,^){pa-^qSY log//rf«dS+(«,6)--' -j^j^^-^-^^^ 1--....

Or on a

Les intégrales étant prises dans leurs limites infinies, il est aisé de voir, par la théorie connue des intégrales multiples, que le second membre de cette équation est égal à

///d«rf6rfr'(p(«)?(6)<p(r),

T' étant égal à T — a — 6 ; il est donc égal à k* . On a ensuite

J ffdadS^(^,e){pa'hqey ^"^ ( =fffdadèdT'<f{a)ff{^)<f(T){pa^q6)^

en substituant pour a et 6 leurs valeurs en a, 6, et T' dans la quantité (/?a -h qSy. Or il suit de ce qui précède que Ton a

!=(î~i)6-('iH-i)«-(i'. + i)T'.

En substituant ces valeurs dans la quantité ÇpoL h- q^y* on pourra, dans son développement, négliger les termes dépendants des produits a6, aT' et 6T', car la triple intégrale

(II) ///rf«^6rfT'9(«)<p(6)9(T')(/ia-h96)>

étant prise dans ses limites infinies, et la fonction ^(a) étant supposée

la même pour les valeurs + a et — a, il est clair que les éléments de cette intégrale dépendants de + a6 seront détruits par les éléments négatifs dépendants de — aS. Si Ton observe ensuite qu'en désignant JV doL (p(a) par A'', on a

///«»rf«rf6rfr<p(«)<p(6)<p(T') = Ar«A^.

la fonction [u) deviendra

le logarithme de

fjda rf6 vp(«, 6) cos^pa -4- ç6)« devient ainsi

En repassant des logarithmes aux nombres et négligeant, conformément à l'analyse du n^ 20 du Livre II, les puissances de o) supérieures au carré, l'intégrale (H) prendra cette forme

S(/^* "■ W "^ y*) représentant la somme des quantités

S(/ie + 7{,)^ représentant la somme des quantités

et n étant le nombre des triangles. Donnons à l'intégrale précédente cette forme

Q étant égal à

L'intégrale doit être prise depuis co =— ir jusqu'à (o = ir, et l'on a vu, dans le numéro cité du Livre II, qu'elle peut être étendue depuis

co = — 00 jusqu'à 0) = 00 ; alors l'intégrale précédente, ou la probabi-

lité de s, devient proportionnelle à c *^ ou à

iks*

kk'[S{p*'-pq-rq*)-h\S{pi-^qi^)*]

k 11 faut maintenant déterminer la Valeur de p* Pour cela nous ferons,

comme ci-dessus, usage des valeurs observées de T, V*\ T^\

Lorsque ces valeurs sont en grand nombre, la somme de leurs carrés divisée par leur nombre sera, à fort peu près, par ce que nous avons établi dans le Livre II, la valeur moyenne de T'; en faisant donc

— sera cette valeur moyenne. Or on a cette valeur en multipliant

chaque valeur possible de T^ par sa probabilité et en prenant la somme de tous ces produits; l'expression de la valeur moyenne de T' sera donc

///rf«rf6rfT.T«<p(g)9(6)y(T--g~6) ///rfarf6dT(p(«)(p(6)(p(T-«-6) '

les intégrales étant prises dans leurs limites infinies.. Soit, comme cidessus,

la fraction précédente deviendra

fffJT -4-«-h6)^rf«rf6(fr>(a) 9 { 6)9(10 /7/rf«d6^r9(a)9(6)9(T')

toutes ces intégrales étant prises encore dans leurs limites infinies. Il est facile de voir, par l'analyse précédente, que le numérateur de cette fraction est égal à 3k^^\ et que son dénominateur est égal à ^'; la

fraction devient ainsi -r-; en l'égalant à —> on aura

n il

QEurres de L. — \\\, 70

la probabilité de s est donc proportionnelle à

fffi>

Il est clair que les valeurs de i et de {, qui rendent cette probabilité le plus rapidement décroissante sont celles qui donnent /»{ + ^i, = o ; et alors la correction précédente de Tare mesuré devient nulle. Le cas de i et If nuls donne donc la loi de probabilité des erreurs géodesiques, le plus rapidement décroissante, loi qui doit être évidemment adoptée.

De là, il est facile de conclure que la probabilité que la valeur de s sera comprise dans les limites ±. s est égale à

IMntégrale étant prise depuis i nui jusqu'à

ce qui est conforme à ce que nous avons déduit dans le n"^ 1 de la loi particulière de probabilité des erreurs a proportionnelle à c~**'.

Exprimons, comme dans le n® 2, l'erreur d'une nouvelle base conclue de la première par la fonction

Kn faisant, comme précédemment,

la correction de cette fonction, relative aux valeurs de i', «,, i^^\ ... sera — S(/i H- /ni,)T, et l'erreur de la nouvelle base ainsi corrigée sera

Soit ^' la valeur de cette fonction; la probabilité de l'existence simul-

lanée des valeurs s et s' des fonctions (e) et (X) sera, par le n** 21 du Livre II, proportionnelle à

les intégrales étant prises depuis o) et (o' égaux à — ao jusqu'à (o et (»' égaux à +00. On voit ensuite, par l'analyse du numéro cité, que l'on a

i^fff<^<x rf6rfr'9(a) 9(6) (p(T') [(/>« -4- 76)0) -h (/a + m6)w']>

///rf«J6rfT>(«) 9(6)9(1')

les intégrales relatives à a, 6 et T' étant prises dans leurs limites infinies; ce qui donne, en substituant pour a et 6 leurs valeurs précédentes,

d'où l'on conclut, par l'analyse du numéro cité, que la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de s et de s' est proportionnelle à

c ~ "*(QO.-QÎ)

ou

«iÇl-J-:)' r, c KQU.-Qî) *««^

La mesure de la seconde base détermine la valeur de s; et, en la nommant X comme ci-dessus, la probabilité de 5 sera proportionnelle à

La valeur de s la plus probable est celle qui rend nul l'exposant de c;

ce qui donne

en faisant donc

va