LIVRE PREMIER

car les éléments des deux cordes au point de leur jonction étant en ligne droite et également tendus, ce point n'a aucune tendance à se mouvoir et doit conséquemment rester immobile, ce que l'expérience con firme.

Oette analyse des cordes vibrantes établit d'une manière incontestable la possibilité d'admettre des fonctions discontinues dans ce problème, et l'on en doit généralement conclure que ces fonctions peuvent être employées dans tous les problèmes qui dépendent d'équations à différences partielles infiniment petites, pourvu qu'elles puissent subsister avec ces équations et avec les conditions du problème. On peut en effet considérer ces équations comme des cas particuliers d'équationsaux différences finies, dans lesquelles on suppose que les variables deviennent infinies; or, rien n'étant négligé dans la théorie des équations aux différences finies partielles, il est visible que les fonctions arbitraires de leurs intégrales ne sont point assujetties à la loi de continuité, et que les constructions de ces équations au moyen de polygones ont lieu, quelle que soit la nature de ces polygones. Maintenant, lorsqu'on passe du fini à l'infiniment petit, ces polygones se changent dans des courbes qui, par conséquent, peuvent être discontinues; ainsi la loi de continuité n'est nécessaire ni dans les fonctions arbitraires des intégrales, ni dans les constructions géométriques qui les représentent. Il faut seulement observer que, si l'équation aux différentielles partielles en y^^x' est de l'ordre n, il ne doit point y avoir de saut entre

deuxvaleurs consécutives de . , . "Tir r->> r et^ étant des nombres en-

tiers positifs, s pouvant être nul; c'est-à-dire que la différentielle de cette quantité doit être infiniment petite par rapport à cette quantité elle-même. Cette condition est indispensable pour que l'équation différentielle proposée puisse subsister, parce que toute équation différentielle partielle suppose que les différentielles partielles de Vj.,y dont elle est formée, et divisées par les puissances respectives de dx e\.iedx\ sont des quantités finies et comparables entre elles; mais rien n'oblige d'admettre la même condition relativement aux diffé-

rences dey^,^- de l'ordre n ou d'un ordre supérieur. So prenant pour fonctions arbitraires les différences les plus élevées des fonctions arbitraires qui entrent dans l'intégrale d'une équation aux différences partielles, cette intégrale ne renfermera plus alors que des fonctions arbitraires et leurs intégrales successives qui sont continues, parce qu'en général l'intégrale fdsf{s) est continue dans le cas même où la fonction 9(5} ne l'est pas. La condition précédente se réduit donc à ce queladifférence(n — 1)''°" de chaque fonction arbitraire soit continue, c'est-à-dire que sa différentielle soit infiniment plus petite. Il ne doit donc point y avoir de saut entre deux tangentes consécutives de la courbe qui représente la fonction arbitraire de l'intégrale d'une équation aux difTérentielIes partielles du second ordre; ainsi, dans le problème des cordes vibrantes que nous venons de discuter, il est nécessaire et il suffit que deux éléments quelconques contigus de la figure initiale de la corde forment entre eux un angle infiniment peu différent de deux angles droits. Il ne doit point y avoir de saut entre deux rayons osculateurs consécutifs de la courbe qui représente la fonction arbitraire continue dans l'intégrale, si l'équation aux difîérences partielles est du troisième ordre, et ainsi de suite.

Considérations générales sur les /onctions génératrices.

20. Il est souvent inutile de connaître la fonction génératrice d'une quantité donnée par une équation aux différences finies, ordinaires ou partielles, parce que. l'Analyse offrant divers moyens pour développer les fonctions en séries, on peut ainsi obtenir d'une manière fort simple

alcrrr di? la quanlilé chcrcluV. Il rôsiillc du n" 5 quP la

A, B» C, ...» H étant des constantes arbitraires. En effet, si Ton compare cette fonction à celle-ci,

on aura, en faisant disparaître le dénominateur et en vertu de l'équation aux différences en y^^

en égalant ensuite les puissances homogènes de ^, on aura les valeurs de A, B, C, ... au moyen des n valeurs joi Ji» • • • »7/i-«; on aura donc ainsi la fonction génératrice de y^.

Si l'on suppose 2'j^= j!p, on aura Vjj= A'j'^p, et alors l'équation

devient

ce qui donne, en intégrant,

M, N, . . . étant des constantes arbitraires. Par le n° 2, u étant la fonction génératrice de y^;, celle de y^ est

la fonction génératrice de j^^ ou de la quantité donnée par l'équation précédente en y^ est donc

Concevons maintenant que a^ b, c^ ... soient des fonctions rationnelles et entières de t' de l'ordre n, et que A, B, G, ... soient des fonctions arbitraires de la même quantité; j^^? sera fonction de x et de t'.

OEuyres de L, — \U. 11

En la développant par rapport aux puissances de t^ nous nommerons Jx.x le coefficient de t"^' dans ce développement. Cela posé, si Ton suppose

tf = aV« H- 6' /'«-« H- e /'«-^ -4- . . . ,

Téquation différentielle précédente en y^, donnera» en comparant les coefficients de la puissance r'"^'"^", l'équation suivante aux différences partielles en y^

XjX »

la fonction génératrice de la variable j^,j.' de cette équation sera donc

A, B, C, ... étant des fonctions arbitraires de t\ elles donneront, par leur développement, les fonctions arbitraires qui doivent entrer dans l'expression de j'^,^'.

On peut encore déternriiner les fonctions génératrices des équations aux différences finies, dans lesquelles les coefficients sont variables. Considérons pour cela l'équation aux différences

o =: a Xx-^b yjc-^-i -+- c rx+% -h . . -+- ç jx+/i

-ha: [a! yx-^V yx^s-^-cyx^t-^'-'-^q' JTx^n] H- x^[a''yx'\'byx^\ + c'yx+t -f- . . . + q'yx^)

Si l'on nomme u la fonction génératrice de y^^ on aura, en vertu de l*équation précédente,

"{^^j^ji+--^i)

A, B, C, . . . , H étant des constantes arbitraires, qui dépendent des valeurs dejo^Ji» Ja» ••••Jn-i- En effet, si Ton substitue dans cette équation la valeur précédente de u en série, on voit qu'en vertu de l'équation différentielle proposée, tous les coefficients de la même puissance de t disparaissent lorsque cette puissance est égale ou plus grande que n, et la comparaison des puissances inférieures donne un nombre n d'équations, qui déterminent les constantes A, B, G, ..., au moyen des valeurs j'o, j^ . . . , yn-^ •

L'équation différentielle précédente n'est intégrable généralement que dans le cas où elle est du premier ordre, et alors les coefficients de l'équation aux différences finies en y^ ne renferment que la première puissance dex; dans ce dernier cas, on peut obtenir la fonction génératrice u par des quadratures.

21 . La connaissance des fonctions génératrices des équations différentielles donne l'expression des intégrales de ces équations au moyen de quadratures définies. Reprenons, pour cela, l'équation

Substituons dans ses deux membres (f^>^ au lieu de /*, c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et nommons U ce que devient alors u. En multipliant l'équation par

(T^^y^ du et intégrant, on aura

Si l'on substitue, pour c^^yf^ ^ sa valeur cosrci ± yj— isinra, et si l'on prend l'intégrale depuis u = — tt jusqu'à ct = w, aw étant la circonférence, le second membre se réduit à aTry^.; on a donc

/'x= — /U c/iïj(cosxBj — \/— I sin^riD);

mais cette formule a l'inconvénient d'introduire des imaginaires dont

on peut se débarrasser de la manière suivante. Considérons l'équation

et supposons

T étant une fonction de t qu'il s'agit de déterminer, ainsi que les limites de l'intégrale. En substituant pour j^? cette valeur dans l'équation différentielle en y^, et observant que l'on a

ce qui fait disparaître le coefficient variable x, on aura .

= -Tr-'(«'H-y+...+ ^)

(A) I JT(a+f-H...+ 5;)

En égalant à zéro la partie sous le signe /, on aura