OL

deviendra

ce qui donne pour j? une expression de cette forme

or la vérité du théorème précédent exige que Ton ait /i'— i^^, et, par conséquent, i — /i'< — ^; donc, afin que ce théorème subsiste, il est nécessaire que l'événement futur soit assez peu composé relativement

à l'événement observé, pour que (—j-) soit une fonction de o?, très petite relativement à —j-'

^ y dx

Si l'événement futur est exactement le même que l'événement observé, en sorte que w = j, la valeur a de x^ qui rend y un maximum, rendra pareillement uy un maximum, en sorte que Ton aura y = y et m'— V. On aura ensuite

dx' "■ ^ dx^ "^ dx^ '

mais la substitution de a pour x donne —^ = o, partant

d^iu'y') d}Y

dx^ -^ dx^

La formule (a) deviendra donc

i^ étant ce que devient w ou j lorsqu'on y fait a? ^ a; de là résulte ce théorème assez remarquable :

La probabilité d'un événement futur, pareil à celui que Von a observé, est à cette même probabilité, déterminée en employant pour les possibilités des événements simples celles qui résultent de l'événement observé, comme i est à sji .

Si Ton a observé, par exemple, que sur p-hq enfants il est né

p garçons et q filles, et que Ton cherche la probabilité P, que sur

p-{-q enfants qui doivent naître il y aura/? garçons et q filles, on

aura

p 1.2,3,. .{p-hg) ppgf* .

c'est ce qui résulte pareillement de la formule (ct) de l'article XVII.

En général, si l'on cherche la probabilité P que l'événement observé sera suivi d'un nombre n d'événements pareils, on aura u = y, et l'on trouvera

çn

sjn -h I

V étant ce que devient j, lorsqu'on y substitue pour x la valeur a qui rend y un maximum, et cette équation a également lieu, n étant fractionnaire. On s'exposerait donc alors à des erreurs considérables, en employant, dans le calcul de la probabilité des événements futurs, les possibilités des événements simples qui résultent de l'événement observé : en effet, il est visible que la petite erreur que l'on peut commettre, en faisant usage de ces possibilités, s'accumule en raison du nombre des événements simples qui entrent dans l'événement futur, et doit occasionner une erreur sensible lorsqu'ils y sont en très grand nombre. Au reste, quel que soit cet événement, on peut en déterminer la probabilité au moyen de la formule (a), qui est toujours vraie, à très peu près, lorsque l'événement observé est très composé.

Un des problèmes les plus utiles de cette partie de l'analyse des hasards, qui consiste à remonter des événements aux causes qui les ont produits, est celui de la détermination du milieu qu'il faut choisir entre les résultats de plusieurs observations. J'ai donné, dans le Tome VI des Mémoires des Suivants étrangers (*), les principes sur lesquels il me semble que la solution de ce problème doit être fondée; trois illustres géomètres, MM. de la Grange, Daniel Bernoulli et Euler, se sont depuis exercés sur cet objet : le premier dans le Tome V des Mémoires de la Société royale de Turin ^ et les deux autres dans la I" Partie des Mémoires de Pétersbourg pour Tannée 1777; mais leurs principes étant différents de ceux dont je me suis servi, cette considération m'engage à reprendre ici cette matière et à présenter mes résultats de manière à ne laisser aucun doute sur leur exactitude.

Supposons, pour fixer les idées, qu'il s'agisse d'un phénomène qui a été aperçu par plusieurs observateurs à des instants différents; chaque observation a pu s'écarter en plus et en moins de la vérité et fixer ainsi l'instant du phénomène plus tôt ou plus tard qu'il n'est arrivé. Nous supposerons, ce qui est très naturel, que les facilités des mêmes erreurs, soit en plus, soit en moins, sont égales entre elles, et nous désignerons par ç(a?) la facilité tant de l'erreur positive x que de l'erreur négative —a?, relativement au premier observateur; par ç'(a?), ç"(^)» ••• ^^s mêmes facilités pour les deuxième, troisième, ... observateurs. En nommant ensuite première observation celle qui fixe le plus tôt le phénomène, deuxième, troisième observations, etc. les différentes observations» dans l'ordre de leurs distances à celles-ci, nous nommerons/?, p\ p\ ... ces distances; en supposant donc x l'erreur de la première observation, les erreurs des observations suivantes seront p — x, p' — x^ p" — x^ . . . , et la pro-

( ' ) OEuvrcs de Laplace, T. VIU, p. ^j.

habilité que toutes ces observations auront entre elles les distances respectives p^ p\ p'\ . . . sera

or les probabilités des différentes valeurs de x sont entre elles, par l'article XV, comme les probabilités que, ces valeurs ayant lieu, les observations s'écarteront entre elles des quantités observées /?, p , p\ Donc, si l'on construit une courbe dont Téquation soit

y — ?(^) ikp — ^) ^\p'— '^)*

les ordonnées j de cette courbe seront proportionnelles aux probabilités des abscisses correspondantes x, et par cette raison nous la nommerons courbe des probabilités.

Maintenant, on peut entendre une infinité de choses différentes par le milieu ou le résultat moyen d'un nombre quelconque d'observations, suivant que l'on assujettit ce résultat à telle ou telle condition. Par exemple, on peut exiger que ce milieu soit tel que la somme des erreurs à craindre en plus soit égale à la somme des erreurs à craindre en moins; on peut exiger que la somme des erreurs à craindre en plus, multipliées par leurs probabilités respectives, soit égale à la somme des erreurs à craindre en moins, multipliées par leurs probabilités respectives. On peut encore assujettir ce milieu à être le point où il est le plus probable que doit tomber le véritable instant du phénomène, comme M. Daniel Bernoulli l'a fait dans les Mémoires cités : en général, on peut imposer une infinité d'autres conditions semblables qui donneront chacune un milieu différent; mais elles ne sont pas toutes arbitraires. Il en est une qui tient à la nature du problème et qui doit servir à fixer le milieu qu'il' faut choisir entre plusieurs observations : cette condition est que, en fixant à ce point l'instant du phénomène, l'erreur qui en résulte soit un minimum; or comme, dans la théorie ordinaire des hasards, on évalue l'avantage en faisant une somme des produits de chaque avantage à espérer, multiplié par la probabilité de l'obtenir, de même ici

Terreur doit s'estimer par la somme des produits de chaque erreur à craindre, multipliée par sa probabilité; le milieu qu'il faut choisir doit donc être tel que la somme de ces produits soit moindre que pour tout autre instant.

Supposons présentement que, dans la courbe des probabilités dont l'équation est

la valeur de x puisse s'étendre depuis —/jusqu'à c —/, en sorte que l'intervalle dans lequel x peut varier soit c; si l'on fait x=^ z — /, il est visible que s pourra varier depuis 5 = 0 jusqu'à z = c, et que les probabilités des différentes valeurs de s seront proportionnelles à y ou à 9(5 — /)ç'(/? — 5 -h/)..., en sorte qu'on pourra les représenter par ky, k étant un coeHicient constant. Soit h la valeur de z que l'on doit prendre pour le véritable instant du phénomène, on aura k [(h -^ z)ydz pour la somme des erreurs à craindre depuis z = 0 jusqu'à 5 = A, multipliées par leurs probabilités respectives, l'intégrale précédente étant prise pour toute l'étendue de ces limites; on aura ensuite k (\z — h)ydz pour la somme des erreurs à craindre depuis z = h jusqu'à z = c^ multipliées par leurs probabilités, le signe C' servant à indiquer que l'intégrale doit être prise pour toutç l'étendue de ces dernières limites. On aura donc

kj\h — z)ydz -h k f\z — h)y dz

pour la somme entière des erreurs à craindre, multipliées par leurs probabilités, et h doit être tel que cette somme soit un minimum. Or, si l'on fait varier h de la quantité infiniment petite SA, il est clair que la variation de C{h — z)ydz sera Ihfydz et que celle de J (5 — h)ydz sera — ^h f'ydzx la variation de la quantité précédente sera donc

kih(fydz- fydz).

En égalant cette quantité à zéro par la propriété du minimum, on aura

fydzzzz f'ydz.

L'ordonnée correspondante à Tabscisse h, qui détermine le milieu qu'il faut choisir, doit donc diviser en deux parties égales Taire de la courbe des probabilités, comprise depuis z--o jusqu'à s = c, ce qui donne un moyen très simple de déterminer ce milieu, et l'on voit qu'il a encore la propriété d'être tel, qu'il est également probable que le véritable instant du phénomène tombe au-dessus ou au-dessous, en sorte qu'on pourrait le nommer milieu de probabilité.

Toutes les fois que les fonctions <f{x)y ^'{x), ç"(^)» • • • qui expriment les lois de facilité des erreurs des observations seront connues, la détermination du milieu qu'il faut choisir entre plusieurs observations sera réduite, par l'article précédent, à partager une surface donnée en deux parties égales, ce qui est un problème de pure Analyse. Mais, ces fonctions étant le plus souvent inconnues, c'est au Calcul des probabilités à fournir les moyens de suppléer à cette ignorance; or on a vu, dans l'article XIII, que si, dans ce cas, rt a, ± a\ ± a!\ . . . sont les limites des erreurs de la première, de la deuxième, ... observation, on doit supposer

Il ne reste plus ainsi, dans la recherche du résultat moyen de plusieurs observations, que les difficultés inévitables de l'Analyse; mais il faut convenir qu'elles rendent la méthode précédente d'un très difficile usage : aussi mon objet, en l'exposant, a été plutôt de faire connaître tout ce que l'analyse des hasards peut donner de lumières sur cette matière, que de présenter aux observateurs une méthode pratique et d'un usage commode; on pourra, cependant, l'employer dans des occasions très délicates, telles que celles du passage de Vénus sur le disque du Soleil, dans lesquelles il est nécessaire d'obtenir la plus grande précision. Le moyen le plus simple pour cet objet est de

carrer par parties la courbe des probabilités et de déterminer ainsi l'ordonnée qui divise sa surface en deux parties égales.

XXXH.

La règle ordinaire des milieux arithmétiques se déduit de cette méthode, en supposant a = a' = a''= .. . = 3c, comme il est facile de s'en assurer; mais nous allons démontrer un théorème beaucoup plus général en faisant voir que cette règle a lieu toutes les fois : I** que la loi de facilité des erreurs est la même pour toutes les observations; 2** que les mêmes erreurs, soit en plus, soit en moins, sont également possibles; 3"" qu'elles peuvent être infinies et que la fonction qui exprime leurs facilités ne décroit d'une quantité finie que lorsque x est infini, mais qu'alors elle va toujours en diminuant jusqu'au point de devenir nulle.

Pour cela, soit ^(aj?) la loi de facilité des erreurs des observations, a étant une quantité infiniment petite; soit de plus q la valeur de ç(aic), lorsque olx=^o et, par conséquent, lorsque x est une quantité finie. Il est évident que l'ordonnée de la courbe des probabilités, depuis — X = o jusqu'à — j: = oo, «era

En supposant le nombre des observations égal à /x et en négligeant les quantités de Tordre a', on aura

or, si l'on prend l'intégrale Ta <p(aa:)''~* -^-^-^'cir, depuis x = o

jusqu'à a? = 00, et que l'on se rappelle que ç(aa:) = q lorsque x = o et que o{olx) = o lorsque a? = oo, on aura

/ OL QKOLX)'^ ^ — -J-^ 'dX •=!

. soit donc A rintégrale/'<p(aa?)''£ir, prise depuis x = o jusqu'à rr = ac,

MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS. V8i

et Ton aura

pour Tintégrale fydx correspondante aux valeurs négatives de x.

Cette même intégrale, prise depuis x = o jusqu'à x=p^'^'*\ est pin--^)qn^ parce que Ton peut, dans cet intervalle, supposer

par conséquent l'ordonnée y=:q".

Depuis X =p^'^'-*^ jusqu'à a? == oo, on a

ou

v = 9(ax)«-a(/?4-/?'H-/>'4-...4-><«->>)o(aJ?)*->--^^^

/d ffl I ot jKt aç(aa?)'^* -^ — :^dx, prise depuis x=p^'^~*^ jusqu'à

a? = x), est — -y". De plus, l'intégrale rç(aa:)''<iir, prise dans le même intervalle, est évidemment égale à A—p^''''*^q^; on aura donc

pour la valeur de j ydx, prise dans cet intervalle. Partant, Taire entière de la courbe des probabilités est égale à 2A. Or, en nommant h l'abscisse dont l'ordonnée divise cette aire en deux parties égales, la partie de l'aire qui est à gauche de cette ordonnée sera visiblement égale à

en l'égalant à A, on aura

ce qui donne pour h la même valeur que la règle des milieux arithmétiques. Les suppositions qui nous ont conduit à ce résultat étant hors

ORwreê de L, — IX. 6 1

Ma MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

de toute vraisemblance» on voit combien il est nécessaire» dans les occasions délicates» de faire usage de la méthode que nous avons proposée.

Il est facile d'appliquer la théorie précédente à la correction des instruments; pour cela» supposons que, en vérifiant un instrument et en répétant un grand nombre de fois la même vérification» on ait

trouvé n différentes erreurs /?» p\ p"^ Soient i» i^» i'', ... les

nombres de fois que chacune d'elles a été répétée; en représentant par a?» a/, ocf\ ... leurs facilités respectives, on aura koéx*^xf''^ . ...... pour

la probabilité de l'événement observé, k étant un coefficient constant; la probabilité de ce système de facilités sera donc

x^x'^'x'^ , . .dxdx'dLxf , . .

Ç^ x^x^^'af^ . . . dxdx^dx'. . .

les intégrales du dénominateur étant prises pour toutes les valeurs

possibles de x, a/^ af, Pour en conclure la probabilité de a?» on

intégrera la fonction afx'^af^". . . dx dxf cbf. . . d'abord par rapport à a/» depuis a/ = o jusqu'à a:'=i — a? — a/'— ...» ensuite par rapport à j/', depuis of = o jusqu'à af=i — a? — a:*'— ...» et ainsi de suite» ce qui donne pour dernière intégrale

On aura donc» pour la probabilité que la facilité x sera comprise dans des limites données»

l'intégrale du numérateur étant prise dans l'étendue de ces limites et celle du dénominateur étarit prise depuis x = o jusqu'à a? = i ; or cette probabilité se déterminera par la formule de l'article XVIII en y changeant/i en t et ^r en «^ H- «" -h . . . -h w — I .

Examinons présentement la correction qu'il faut faire à une nouvelle observation faite avec cet instrument : supposons qu'il soit un quart de cercle et que, en prenant un grand nombre de fois une même ' hauteur apparente a, on ait trouvé entre cette hauteur et la hauteur réelle n diJBTérences qui s'étendent depuis a — a jusqu'à a -f- a'. Supposons de plus que, en partageant l'intervalle a-f-a' en /i— i parties très petites, on ait trouvé que Terreur — a a été répétée i fois; que l'er-

reur — a -i --— a ete répétée i fois; que 1 erreur — a '

a été répétée t" fois et ainsi de suite ; soient enfin x, x\ af^... les facilités de ces erreurs. On Sura, par l'article XIV,

fx^^^x'^'x'i'. . . dxdx'dx',, .

Px^x^i'x^i\,.dxdx'dx'.,.

pour la probabilité que l'erreur d'une nouvelle hauteur a, observée avec ce quart de cercle, sera — a, les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises pour toutes les valeurs possibles de x, x\ j/', ..., ce qui revient à intégrer l'un et l'autre, d'abord par rapport à a?, depuis a? = o jusqu'à a? = i — a?'— o?^— ..., ensuite par rapport à a/, depuis x'=o jusqu'à a?'= i — - j:?^ — . . . , et ainsi du reste. On trouvera de cette manière que la fraction précédente se réduit à

-: — :^ — 4-^ ; cette quantité exprime donc la probabilité que

l'erreur de l'observation sera — a; en y changeant i successivement en i\ i", . . . , et réciproquement, on aura les probabilités que l'erreur

de l'observation sera — a -h - — — ou — a -f- '^^ — —y — On con-

cevra donc élevées sur les extrémités et sur chacune des divisions de l'intervalle a + a' des ordonnées égales ou proportionnelles à ces probabilités et dont les extrémités, à cause de la petitesse des divisions, formeront sensiblement une ligne courbe; cela posé, l'abscisse dont l'ordonnée partagera l'aire de cette courbe en deux parties égales sera, par l'article XXIX, celle dont il faut faire usage, en sorte que, si l'on nomme h cette abscisse comptée depuis l'origine de l'intervalle

hSk MÉMOIRE SUR LES PROBABILITÉS.

a 4- a' qui répond à Terreur — a, la correction qu*il faudra faire à la hauteur observée a sera A — a et, par conséquent, il faudra supposer la hauteur réelle égale à a + A — a.

De là résulte cette règle fort simple pour corriger TinstrumeiH : Ajoutez continuellement les quantités i -+- «'-+-2, i'+ i^'-h 2, i^-h 1*4- 2, . . . Jusqu'à ce que vous soyez parvenu à une somme égale ou immédiatement plus petite d'une quantàé quelconque [x que la moitié de la somme

i-hai'4-a*'-!-. . .4- at<'»-«)4- i(«-«)-|-a/i — q.

Soient r le nombre des quantités i -h i -h 2, i -h 1" -h 2, . . . que vous aurez

ainsi ajoutées ; l le nombre des parties — — - contenues dans a; la cor^

rection qu'il faut faire à la hauteur a ou, ce qui revient au même, la quantité qu'il faut lui ajouter sera y à très peu prés.

Si, au lieu de fixer la véritable hauteur au point de Tabscisse dont l'ordonnée divise l'aire d& la courbe en deux parties égales, on la fixait au point dont l'ordonnée passe par le centre de gravité de cette aire, on aurait la même correction que donne la méthode des milieux arithmétiques : cette méthode revient donc, dans ce cas, à prendre pour milieu le point où la somme des erreurs en moins, multipliées par leurs probabilités, est égale à la somme des erreurs en plus, multipliées par leurs probabilités.

Lorsqu'une fois on connaît la loi de facilité des erreurs d'un instrument, on peut en conclure celle des erreurs d'un résultat quelconque déduit d'observations faites avec cet instrument, tel que le midi conclu par deux hauteurs correspondantes. En efi*e||^ si l'on nomme s, z\ Ji% ... les erreurs des observations que nous supposerons ici très petites, la correction qu'il faudra faire au résultat sera Xz 4- A' s' 4- A''s''4- . . . » A, A', A'', ... étant des coefficients constants dépendant de la nature du résultat que l'on déduit des observations.

Si Ton suppose cette correction égale à x, on aura

Il ne s'agira plus ensuite que de déterminer, par la méthode de l'article VIT, la probabilité de cette équation au moyen de la loi de facilité des erreurs z, z\ z"\ on aura ainsi pour cette probabilité une fonction de a?, que nous désignerons par ?(^), en sorte que l'équation de la courbe des probabilités des valeurs de x sera v = 9(0?). Maintenant, si Ton prend l'intégrale f ydx pour toute l'étendue des limites dans lesquelles x peut varier, l'abscisse h qui divisera en deux parties égales la surface que représente cette intégrale sera la correction qu'il faudra faire au résultat proposé.