Tome VI, p

1. On peut concevoir ainsi la formation des suites récurrentes : si 9 exprime une fonction quelconque de rc, et que Ton y substitue successivement, au lieu de â?, i, 2, 3, ..., on formera une suite de termes dont je désigne par j^ celui qui répond au nombre œ; cela posé, si dans cette suite chaque terme est égal à un nombre quelconque de termes précédents, multipliés chacun par une fonction dexa volonté, la suite est alors récurrente.

Telle est l'idée la plus générale que Ton puisse s'en former, et c'est sous ce point de vue que je les ai considérées dans un Mémoire antérieur présenté à l'Académie (^).

Je suppose maintenant que 9 est une fonction de x et de /i, et que l'on y substitue successivement au lieu de x elde n les nombres i, 2, 3, ... : on formera pour chaque valeur de n une suite dont je désigne le terme répondant aux nombres x etn par ^yw'* ^^f ^î njx ^^t égal à un nombre quelconque de termes précédents pris dans un nombre quel-

(1) Par M. de la Place, Professeur à TÉcole Royale militaire. (*) Fbir le Tome IV des Mémoires de Turin,

6 SUR LES SUITES RÉCURRO-RÉCURRENTES

conque de ces suites et multipliés chacun par une fonction de x et de /i, ces suites seront ce que j'appelle suites récurro-récurrentes ; elles diffèrent des suites récurrentes en ce que leur terme général a deux indices variables.

Comme la considération de ces suites m'a paru très utile dans la Théorie des hasards, et qu'elles n'ont encore été examinées par personne, que je sache, j'ai cru qu'il ne serait pas inutile de les développer ici avec quelque étendue.

2. Problème l, —■ Je suppose que l'on ail une suite d'équations de cette forme

t/ar -H A, . i7»-i H- B, . ^;e, 4- . . . 4- N,

= Uf. ija:^- M,. ,r*-l -i- Pi. I Jx-i -H . . . ,

Il faut déterminer la valeur de „ya?; A„, B«, . . . , N„, H^,, . . . étant des fonctions quelconques de n^ et Aj, Bj, ..., A,, B,, ... étant ce que deviennent ces fonctions lorsque Von y substitue successivement, au Heu de n^ i ^ 2^ 3, ...f enfin A, B, N, . . . étant des constantes quelconques.

Supposons d'abord que l'on ait

La seconde de ces équations donnera mais l'équation (a) donne

partant

multipliant Téquation (a) par —a, l'équation (c) par p, et les ajoutant avec Téquation (6), on aura

On fera disparaître ^y^ et «j^?-!» au moyen des équations

aA-hM,+ (3(H,-~î)rr:o;

on voit que, en suivant ce procédé, il est toujours possible de transformer l'équation (i) du problème dans la suivante

a,|, 6^, ...,<£« étant des fonctions de n et de constantes que Ton déterminera par la méthode suivante.

L'équation (:i) donnera les suivantes :

En comparant ces équations avec l'équation (r), on aura

-+-*;»-t(nJ'«-l+ A«.»^a:-8 4-. . .4- N,)

8 SUR LES SUITES RÉCURRO-RËCURRENTES

Si l'on compare cette équation avec l'équation (2), on aura

Cn = Cn-i -h ^«-1 A„ -h a^-i Bn—C„,

I/équation (i) du problème sera donc ainsi transformée dans l'équation (2) qui est aux suites récurrentes ordinaires, et que Ton intégrera facilement par la méthode exposée dans le Mémoire cité ci-dessus.

3. Problème II. — On propose d'intégrer l' équation difféveniio-diffé^ rentielle

+ ^n • n-i^x "+" Pu • n-tj^x-l "+" 7/1 • n-î^x-t "f" • • • ♦

^v; supposant que l'on ait

On fera voir aisément, comme dans le problème précédent, qu'il est toujours possible de transformer l'équation (3) dans une autre, telle que

,,v ( n^x^^ an-nyx-l"^ t/^'n^x-f^ Cn'nyx—i~^' ' ''^ Un

on aura donc

■+" '^n-l' n-ij^x ■+" */i-i 'rt-s^ap-i "t"pn-i . n-j^ar-t ~^" • • •)>

i^/i • n-l/jc-l = P/i («n-l • ii-l J«-t 4- b„..i . n-i7«-ï "+- Cn-t • /i-ljx-i + ... 4- W^-j

4- '«»-i-n-î7a:-t4- *n-i •«-i^or-î 4-/?„t .n-i/a:-i4- . . .),

yn . /t-i7x-i = /n (««-1 • n-lXx-t 4- ... 4- W«,