I -f- 2,324 sin* 2/7 I -h 2,324sin^2ij
cette équation produit autant d'équations que i a de valeurs. Si Ton réunit ces équations, on aura
V' I ^IT' E/COS2A7 — F/sina/f
^ I -+- 2,324 sin'2f9 ^ ' -^ 2,324 sin^2/j
le signe 2 exprimant la somme des valeurs du terme qu'il précède. On aura ainsi, pour la valeur de x la plus avantageuse,
in El cos 2 iq — F/ sin 2 iq
Zj I h- 2,324 sin^2i7 X -^ ~ v= •
^ I -f- 2,324 sin'-*2/ç Les équations (0) donnent
/-= F1COS2/Ç -\- E|Sin2i^;
on aura donc la valeur de y ia plus avantageuse en changeant, dans l'expression précédente de x^ cos 2 19 dans ^\ïï2iq et sin 21^ dans
— cos2iq, ce qui donne
V' Ei sinn iq 4- F/cos2/ç ^ I -4- a,324cos*ai<i
^ I -f-a,324cos^ 2IÇ
M. Bouvard a conclu de ces formules
a: = o,o3i758, j^=:o,oi534,
et rétendue entière aR du flux lunaire atmosphérique égale à 0,01763.
7. Je vais présentement déterminer la loi de probabilité des' erreurs de ces deux valeurs de x et de j. Il résulte des formules que j'ai données dans ma Théorie analytique des Probabilités que, si y, ^, 8, . . . sont des erreurs indépendantes, mais assujetties à la même loi de probabilité, la probabilité que Terreur de la fonction
my -h nl-h rd -h . , .
sera égale à une quantité quelconque / est proportionnelle à l'exponentielle
-kl*
H étant la somme des carrés de m, /t, r, ... et c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Si dans la valeur précédente de x on désigne par y, >>, S les erreurs des observations AJ'', A^'", AY\ il est facile de voir que les coefficients de ces erreurs sont
J^ I -h 2,324 sin^2/j
— 2(1-1 1 sin 21^ j-f—^-T, — r-
^ I + 2 , 324 sin* 2 iq
— I ( sîn 2 iq -h cos 2 iq ) 7— /—--—» — -
19/^ ^ '' I -f- 2,324 snH 217
^ I -h 2,324sin2 2i^
La somme des carrés de ces coefficients est
I H-:i,324sina2/j ^/^ i y
La somme des carrés des coefficients des erreurs des observations B^/\ BV", B^^'^ est égale à la précédente. En ajoutant donc ces deux sommes, on aura
I + 2,334 sin^^/f
\^ I -+- 2,^24 sm* 21^/
Chaque syzygie fournit une quantité semblable; la somme de toutes ces quantités sera donc, pour les n syzygies, la quantité précédente multipliée par le nombre n des syzygies. Cette somme sera donc, relativement à toutes les syzygies, et relativement à toutes les valeurs de 1, c'est-à-dire relativement à toutes les observations,
^ i-h 2,324sin^2/j
Ainsi la probabilité que / sera l'erreur de x peut être supposée égale à
H étant une constante qu'il faut déterminer. Pour cela, j'observe que, si l'on intègre cette différentielle depuis /= — 00 jusqu'à /= oo , l'intégrale doit être l'unité, puisqu'il est certain que la valeur de / est comprise dans ces limites; en faisant donc
nk
on doit avoir
dl,C'g*^=j^
Mais on a, par un théorème connu,
r gdLc'8'^--z^r.,
OEwret de L.^S, 63
fc98 MÉCANIQUE CÉLESTE.
t: étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité ; on a donc
Ainsi la probabilité que Terreur de la valeur de x sera comprise dans des limites données est
>Jtz
Tintégrale étant prise dans ces limites.
On trouve, de la même manière, que la probabilité que Terreur de la valeur de y sera comprise dans des limites données est
Tintégrale étant prise dans ces limites, et ^^ étant égal à
nk
nk in I
i6/r"^ I -h 2,324cos*2ij
Il faut maintenant déterminer par les observations la valeur numé-
k rique de p* Pour cela, j'observe que, par ma Théorie analytique des
probabilités, si Ton nomme e la somme des carrés des différences des variations journalières, de neuf heures du matin à trois heures du soir, d'un grand nombre s de jours à leur variation moyenne, on a, avec une très-grande vraisemblance.
ce qui donne
Le calcul de p devient pénible lorsque s est très-considérable ; mais on
peut le simplifier de la manière suivante :
Je conçois le nombre s de jours partagé en groupes de jours, par exemple, dans un nombre i de mois moyens, et je suppose s assez grand
pour que i soit lui-même un grand nombre. Je désigne par k et kf\ relativement à ces mois» ce que j'ai nommé k etkf relativement aux jours. Soit encore Ë la somme des carrés des différences des erreurs des variations moyennes de chacun de ces mois à la variation moyenne de tous ces mois. On aura, par ce qui précède,
Mais la probabilité de Terreur u de la variation moyenne de tous ces jours ou de tous ces mois est, par la théorie citée, proportionnelle à l'exponentielle
-su*
Elle est encore proportionnelle à l'exponentielle
-lit»
En comparant ces exponentielles, on aura
/r*' " ï p ™ jE'
Le calcul de E est beaucoup plus simple que celui de e, et c'est ainsi
que la valeur numérique de t^ a été déterminée. Il y avait pour cela
quelques précautions à prendre. La variation diurne du baromètre n'est pas la même à Paris dans tous les mois; elle est la plus petite dans ceux de novembre, décembre et janvier, et la plus grande dans les trois mois suivants. Dans les six autres mois, elle diSère peu de la variation moyenne de l'année. Il y a donc des causes régulières de ces phénomènes, et que l'on ne doit pas confondre avec les causes irrégulières de la variation diurne. Les causes régulières agissant de la même manière sur la variation diurne des syzygies et sur celle des quadratures, elles n'influent point sur les valeurs de x et de j, qui ne dé-
pendent que des différences de ces variations; les valeurs de E,- et de F, ne dépendent que de ces différences. Il faut donc, pour avoir la loi de probabilité des erreurs dont ces valeurs sont susceptibles, ne considérer que les variations diurnes dépendantes des seules causes irréguliëres, et qui paraissent être celles des mois de mai, juin, juillet, août, septembre et octobre ; ce sont celles dont on a fait usage pour avoir
la valeur de p- On a trouvé ainsi, en prenant le millimètre carré pour
unité, E = 2,565i i8, d'où Ton tire
On a ensuite
i,3i/l sin^i iq ' 9^^7>
^,324cos^2i9 '^^"
Pour déterminer le flux lunaire, j'observe que l'on a n = 298, d'où l'on tire
et, en supposant que la valeur de x soit le résultat des causes accidentelles, la probabilité qu'elle sera comprise dans les limites ± o,o3i758 sera
l'intégrale étant prise, relativement à /, dans ces mêmes limites. On trouve, au moyen des données précédentes, 0,3617 pour cette probabilité. Si cette probabilité était fort approchante de l'unité, elle indiquerait, avec une grande vraisemblance, que la valeur de x n'est pas due aux seules anomalies du hasard, et qu'elle est en partie l'effet d'une cause constante qui ne peut être que l'action de la Lune sur l'atmosphère. Mais la différence considérable entre cette probabilité
et la certitude, représentée par Tunité, montre que, malgré le trèsgrand nombre d'observations employées, cette action n'est indiquée qu'avec une faible vraisemblance, en sorte que l'on peut regarder son existence sensible à Paris comme incertaine. La valeur de y, considérée de la même manière, donne encore plus d'incertitude sur cette existence.
8. Je vais soumettre au Calcul des probabilités quelques singularités que la variation diurne du baromètre a présentées à M. Bouvard. Ce savant astronome a trouvé, par onze années d'observations barométriques faites tous les jours à neuf heures du matin et à trois heures du soir, que la variation moyenne diurne du baromètre dans cet intervalle a été o"™,557 pour les trois mois de novembre, décembre et janvier; o'°",94o pour les trois mois de février, mars et avril; o"",752 pour les trois mois de mai, juin et juillet; enfin o^^.'jHg pour les trois mois d'août, septembre et octobre. Il a trouvé o™™, 8oa pour la variation moyenne de l'année. Déterminons la probabilité des différences de ces variations en les supposant dues aux anomalies du hasard.
Si l'on nomme u Terreur de la variation conclue par une moyenne de onze années ou de cent trente-deux mois, la probabilité de cette erreur sera proportionnelle à
comme il est facile de s'en assurer par le n^ 20 du Livre II de ma Théorie analytique des probabilités. Pareillement, si Ton nomme u' l'erreur de la variation conclue par une moyenne des mois de février, mars et avril pendant onze années, la probabilité de u' sera proportionnelle à
la probabilité de l'existence simultanée de u et de u' sera donc proportionnelle à
Soit u'=u-hz; la probabilité de Texistence simultanée de u et de s sera ainsi proportionnelle à
En multipliant cette exponentielle par du et intégrant le produit depuis u— — ce jusqu'à M = ao , on aura une quantité proportionnelle à la probabilité de la valeur de z correspondante à l'ensemble de toutes les valeurs de u, et cette exponentielle sera proportionnelle à
En faisant donc
la probabilité que la valeur de z sera comprise dans des limites données <»si
l'intégrale étant prise dans ces limites. Par les observations précédentes, z est égal à o""",94o — o"",763 ou à o""°,r77; ainsi la probabilité que z est au-dessous de o""", 177 est
o.tn*
On a, par le n^ 44 de ma Théorie analytique des probabilités^ 1 r* , ,. 6-T* / I 1.3 1.3.5 \
et la série a l'avantage de donner une valeur alternativement plus grande et plus petite, suivant que Ton s'arrête à un nombre pair ou impair de ses termes.
Si Ton fait —^ — q, la série i 7^ -h ^^ — . . . peut être mise
SOUS la forme suivante de fraction continue
Ici Ton a
et Ton a, par le numéro précédent,
A = 33. p;^ = 33x0,42884 =,4,15172; on a donc
T« = (0, 177)» X 26,4 Xi4»»5i7a;
c'est le logarithme hyperbolique de c*^*, et, pour avoir le logarithme tabulaire de cette exponentielle, il faut le multiplier par 0,434394* On trouvera ainsi, à fort peu près,
oooooo655o;
en retranchant ce nombre de l'unité, on aura la probabilité que l'excès de la variation diurne observée pendant les trois mois de février, mars et avril, et pendant onze années, sur la variation moyenne des onze années, serait moindre que o*^, 1 77, s'il était dû aux simples anomalies du hasard. L'excès observé indique donc avec une extrême vraisemblance une cause constante, qui augmente à Paris la variation diurne du baromètre pendant les trois mois cités.
On trouve de la même manière que l'excès o™", 2o5 de la variation moyenne de l'année sur la variation moyenne des trois mois de novembre, décembre et janvier indique avec une vraisemblance encore plus grande une cause constante, qui diminue la variation diurne pendant ces mois.
Enfin on trouve que les différences observées entre la variation moyenne de l'année et les variations moyennes soit des trois mois de mai, juin et juillet, soit des trois mois d'août, de septembre et octobre, peuvent sans invraisemblance être attribuées aux seules anomalies du hasard.
Les observations de la variation diurne du baromètre, de neuf heures du matin à trois heures du soir, discutées par M. Bouvard, présentent ce phénomène remarquable, savoir, que la variation moyenne de chacun dos cent trente-deux mois qu'il a considérés a été positive. Pour apprécier la probabilité de ce phénomène, je supposerai que la variation moyenne des trois mois de novembre, décembre et janvier serait, indépendamment des anomalies du hasard et par l'effet des seules causes régulières, celle que M. Bouvard a conclue de onze années d'observations, savoir o'^^jSSy. Je ferai une supposition semblable relativement à la variation des trois mois suivants, février, mars et avril, qui a été trouvée de o*""',94o. Enfin je supposerai que la variation moyenne des six autres mois, qui ne parait être soumise qu'à l'action des causes accidentelles, est celle que l'on a trouvée pour l'année entière, savoir o"^",762. Cela posé, si l'on nomme u l'erreur de la variation d'un mois, due aux seules causes accidentelles, la probabilité de cette erreur sera, par ce qui précède, proportionnelle à ^-i2.525.w« d'qii il est facile de conclure que la probabilité que u ne sera pas au-dessous de o"™,557 sera
VTT
en supposant
et l'intégrale étant prise depuis /= 0,557. v/i4ji5i72 jusqu'à /= 00. La probabilité qu'aucun des trois mois de novembre, décembre et janvier n'aura de variation négative, ou que l'erreur négative de u n'atteindra jamais — o™°S557, sera
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It . c-^' \
yTi" )
et celle que le même résultat aura lieu pendant onze années sera
On trouvera de la même manière que la probabilité semblable relative aux trois mois de février, mars et avril est
l'intégrale étant prise depuis / = 0,940. v'T47ï5i72 jusqu'à / = oo .
Enfin on trouvera que la probabilité semblable relative aux six autres mois est
l'intégrale étant prise depuis t = o^^9^G2.)/l^,l5l']2 jusqu'à / = oo .
Le produit de ces trois probabilités est la probabilité du phénomène observé, que l'on trouvera ainsi à peu près égale à 0,9; en sorte que, loin de présenter une chose invraisemblable, il est lui-même vraisemblable.
J'ai supposé, dans tous ces résultats, tous les mois égaux et de trente jours. On leur donnerait plus d'exactitude en y introduisant l'inégalité des mois, ce qui n'a d'autre difficulté que la longueur du calcul. Mais comme il suffit que ces résultats soient approchés pour que nos conclusions soient justes, soit relativement à l'existence des causes régulières qui produisent le maximum et le minimum de la variation, soit relativement à la vraisemblance du phénomène suivant lequel tous les cent trente-deux mois ont donné une variation diurne positive, on peut se dispenser de ce calcul.
