D ARE

On rencontre souvent des fonctions numériques qui jouissent de la propriété D 0 SEE lorsque a et b sont premiers entre eux (voir Chap. I, n° 14). Il est clair qu’une telle fonction est parfaitement déterminée lorsqu'on connaît sa valeur pour les puissances des nombres premiers, mais ces valeurs-là peuvent être prises arbitrairement.

On voit facilement que, si la fonction f qui figure dans la relation (1) jouit de cette propriété (3), on aura aussi, a et b étant premiers entre

eux,

a} Voie Luce ‘role ro x

et l’on reconnaît maintenant par les formules (2) ou (2’) que, réciproquement, si deux fonctions f et F sont liées par la relation (1), et si la fonction F satisfait à la relation (4), la fonction f satisfera à la relation analogue (3).

Le théorème, souvent utile, de ce numéro est dû à M. Dedekind (Journal de Crelle, t. 54, p. 21). On l'établit ordinairement par une simple vérification. En exprimant au second membre de (2') partout la fonction F par la fonction f, on constate qu’il ne reste que le terme f(M): tous les autres termes se détruisent.

6. En revenant au cas particulier de la fonction (M), F(M =M,

on trouve pa=M (1) GG). (1);

pM)=pt-1qg8—1,..u—l(p—1)(g—1)...(u — 1).

Ayant (ab) = y (a) p (b) lorsque a et b sont premiers entre eux, on peut remarquer que, a étant impair , on a, à cause de (2) = 1,

A l’exception de p(1)—=y(2)— 1, (a) est toujours pair.

7. Dans la théorie des nombres, on se propose, sur les congruences, des problèmes analogues à ceux qu’on traite en Aloèbre sur les équations.

Ainsi on pose la question de trouver les nombres + qui satisfont à une congruence, telle que

f(x) =0 (mod M), où le premier membre est un polynôme à coefficients entiers en x.

Si l'on satisfait à cette congruence en faisant + — x,, &, est une racine de la congruence. Il est clair que tout nombre congru à x, suivant le module M satisfera alors aussi à la congruence, mais on a l'habitude de ne pas considérer comme différentes ces solutions. Aussi, si l’on dit qu'une congruence admet k racines, cela veut dire 4 racines incongrues, ou encore, ce qui revient au même, l’ensemble des nombres qui satisfont à la congruence se répartit en 4 classes. Il est clair,

d’après cela, qu’on obtient toutes les racines d’une congruence, en essayant successivement tous les nombres d’un système complet de résidus, par exemple les nombres 0, 1, 8: sem

mais ce moyen devient impraticable dès que M est un peu grand. Si tous les coefficients du polynôme f(x) sont divisibles par M, la congruence est identique, un nombre quelconque y satisfait. La congruence est impossible évidemment lorsque tous les coefficients de f(x) sont divisibles par M, à l'exception du terme indépendant de x.

Il est clair, du reste, qu’il est permis de remplacer un coefficient quelconque de f(x) par un nombre congru suivant le module M.

8. Considérons la congruence du premier degré ax + b—=0 (mod M).

Supposons d’abord a premier avec M. Pour voir si la congruence admet des racines, mettons pour æ successivement les valeurs