DE POLARISATION AVEC LA SECTION L\ME

PRINCIPALE DE LA LAME ATTI'.Af.TIVE OU POSITIVE.

D'UN QUABT D'ONDE.

Section principale de la i Polarisation ellipliiiue de droite à gauche — ^ lame parallèle au petit' a.\e de l'ellipse ( de gauche à droite + ^

Section principale de lai Polarisation elliptique de droite à gauche

lameparallèleau grand< ,

axe de l'ellipse ( de gauche à droite + -

L'action d'une lame d'un quart d'onde sur la lumière polarisée elliptiquement peut donc servir à calculer le rapport des axes de l'ellipse de vibration et à déterminer le sens dans lequel cette ellipse est parcourue.

187. Com|ilénient à la description des expériences de MM. Fizeau et Foiicatalt. — Nous pouvons maintenant compléter la description des expériences exécutées par MM. Fizeau et Foucault pour démontrer que les lames épaisses et les lames minces agissent identiquement de la même manière sur la lumière polarisée. Supposons que dans ces expériences la section principale du Nicol qui sert d'analyseur soit parallèle au plan primitif de polarisation, et (|ue la section principale de la lame cristallisée fasse avec ce plan un angle de /i5 degrés. Les bandes noires qui apparaissent dans le spectre de l'image extraordinaire correspondent alors aux rayons polarisés dans le plan primitif, c'est-à-dire pour lesquels la différence de marche 0 — E est égale à un nombre pair de demi-longueurs d'ondulation; lesmaxima d'intensité qui se trouvent entre ces bandes proviennent des rayons qui sont polarisés ])erpendiculairement au plan primitif, c'est-à-dire pour lesquels la différence de marche 0 — E est égale à un nombre impair de demi-longueurs d'ondulation. Enfin les points intermédiaires entre les maxima et les bandes noires correspondent à des rayons pour lesquels la difféi^nce de marche 0 — E est égale à un nombre impair de quarts de longueur d'ondulation et

(pii doivent par conséquent être polarisés circulairement. Comme le

lapport — ^ — va en rroissanl riii roiigo au violet, on dinl, en parlant

d'une bande noire et en s'avanrant vers l'extréiniti'' la plus réfrangible du spectre, trouver en premier lieu, et avant le maximinn le plus voisin, un rayon polarisé circulairement de droite à [jaurlie si la lame cristallisée est répulsive, de gauclie à droite si cette lame est attractive, puis, entre le maximum et la bande noire suivante, un ravon polarisé circulairement en sens contraire. Chaque bande noire doit donc être placée entre deux rayons polarisés circulairement en sens contraire, et celui de ces deux rayons qui se trouve entre la bande noire et l'extrémité la plus réfrangible du spectre doit être polarisé de droite à gauche si la lame est répulsive, de gauche à droite si elle est attractive.

Pour s'assurer de l'existence de ces rayons polarisés cu'cuhurement, il suffit de placer sur le trajet des rayons au sortir de la lame cristallisée une lame d'un quart d'onde dont la section principale fasse un angle de /i5 degrés avec celle de l'analyseur: les rayons qui étaient polarisés circulairement sont alors transformés en rayons polarisés rectilignement, et réciproquement, et l'on voit dans le spectre les bandes noires se déplacer d'une quantité égale au quart de la distance qui sépare deux bandes consécutives, et dans un sens qu'il est toujours facile d'assigner à l'avance.

MM. Fizeau et Foucault ont constaté également que les rayons dont les teintes sont intermédiaires entre celles des rayons polarisés rectilignement et celles des rayons polarisés circulairement possèdent la polarisation elliptique.

CONSTITUTIOIS DE LA LUMIÈRE i\ATUP.ELLE ET DE LA LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE".

188. Explication des propriétés de la lumière naturelle ou partiellement polarisée au moyen de la succession rapide ou de la simultanéité de vibrations difîérentes. — La

forme la plus générale que puisse affecter la vibration d'une molécule d'éther est, comme nous l'avons vu précédemment (^5), l'ellipse; cependant, ni la lumière polarisée elliptiquement, ni la lumière polarisée circulairement ou rectilignement, n*^ reproduisent les propriétés de la lumière naturelle ou de la lumière partiellement polarisée : il y a donc lieu de rechercher quelle est la constitution de ces deux dernières espèces de lumière.

La manière la plus simple de rendre compte des phénomènes que présen'e un rayon naturel ou un rayon partiellement polarisé consiste à admettre, comme Frcsnel l'a proposé pour la première fois, qu'en un point donné d'un tel rayon la forme et l'orientation de l'ellipse décrite par la molécule vibrante et la phase de la vibration subissent des variations très-fréquemment répétées, l'intensité et la période des vibrations demeurant seules constantes. On conçoit alors que, si le rayon est reçu sur un analyseur biréfringent , Tuitensité de chaque image est variable d'un instant à l'autre, mais paraît, à cause de la rapidité avec laquelle s'accomplissent ces variations, conserver une valeur uniforme qui, suivant la manière dont s'effectuent les changements que subissent les vibrations, peut être dépendante ou indépendante de l'orientation de l'analyseur, mais qui dans aucun cas ne peut se réduire à zéro. De plus, un rayon ainsi constitué doit évidemment conserver ces propriétés en traversant une lame cristallisée assez mince pour ne pas séparer les deux ravons issus de

<'' Pour plus do dévploppempnis, voyez, dans \o tome I"fles Œuvres de Verdet , le Mémoire intitulé : Etude sur la ronstituiion de \;\ lumière non [lolarisée et de la lumière partiellement polarisi'e. Ou peut coiisidler aussi le méirioire de Stnkes : On tlie Composition and Résolution of Polarized liglil from différent Sources [Caiiihr. Trnv.o.. 1\, .Scjq).

la double réfraction. Le rayon sera d'ailleurs naturel ou partiellement polarisé suivant que les différentes polarisations qui se succèdent rapidement en un point de ce rayon se compenseront exactement ou bien d'une manière incomplète.

Nous avons déjà eu occasion, lorsqu'il s'est agi d'expliquer la non-interférence des rayons émanés de deux sources physicjuement distinctes (28). de parler de ces changements rapides qui -surviennent dans l'état vibratoire d'une source lumineuse et d'en indiquer les causes.

Un point important, c'est que les propriétés de la lumière naturelle, de même que rim[)ossibilité de faire interférer des rayons provenant de deux sources distinctes, s'expliquent tout aussi bien par la coexistence de vibrations diverses dans un espace très-resserré que par leur succession dans un temps très-court. Soit, par exemple, un gaz incandescent qui, comme on sait, émet toujours et dans toutes les directions de la lumière polarisée : à un instant donné, une des molécules du gaz émet des vibrations polarisées d'une manière déterminée, mais une molécule voisine émet des vibrations polarisées d'une autre manière, et, à chaque instant, il y a compensation exacte entre les polarisations diverses sur une très-petite étendue de la flamme; en sorte que, si l'on regarde cette flamme avec un analyseur biréfringent, l'intensité lumineuse est réellement variable d'un point à l'autre dans chaque image à l'instant considéré, mais que ces variations, insensibles à cause de leur grand nombre, donnent l'apparence d'une intensité uniforme indépendante de l'orientation de l'anahseur. La durée de l'incandescence pourrait donc se réduire indéfiniment sans que la lumière émise offrît des traces sensibles de polarisation. Cette considération est peut-être nécessaire pour expliquer dans certains cas l'absence de polarisation de la lumière électrique. En effet, d n'y a rien d'impossible à ce que la durée de certaines étincelles descende h un dixmillionième de seconde; les expériences de MM. Fizeau et Foucault permettent d'ailleurs de supposer que le mouvement vibratoire d'un de leurs points ne subisse pas de perturbations [)endant la durée d'un million de vibrations. Dans ces conditions, le nombre des alternatives de vibrations que pourrait offrir la lumière serait au plus

80 POLARISATION Cfl HO M ATIQUE.

(le ()o pour une longueur d'onde éjode à o'"™,ooo5, puisque pour rette longueur d'onde le nombre des vibrations est d'environ Goo trillions par seconde. Il serait bien diflicile qu'un aussi petit nombre d'alternatives suffît à compenser les unes par les autres les diverses |)olarisations, et il semblerait, si on n'avait égard aux considérations que nous venons d'indiquer, (|ue la lumière de l'étincelle dût offrir des traces de polarisation.

Ainsi on doit prendre également en considération la succession et la coexistence des vibrations diversement polarisées, pour rendre compte des propriétés de la lumière naturelle ou partiellement polarisée, mais il n'est pas nécessaire de traiter à part des effets de ces deux causes, car tout ce qu'on peut dire de l'une peut se répéter de l'autre. Nous nous bornerons donc , conformément à l'usage général, à considérer les effets d'une succession rapide de ravons diversement polarisés, et nous sous-entendrons toujours l'effet identique de leur juxtaposition dans un espace très-resserré.

189. l'onditions aiiiLqiielles doit satisfaire un système de vibrations pour constituer de la lumière naturelle. —

La lumière naturelle est caractérisée par deux propriétés essentielles :

1° Lorsqu'un rayon de lumière naturelle rencontre sous l'incidence normale un cristal biréfringent, il se divise en deux rayons dont les intensités sont indépendantes de l'orientation du cristal '''.

2" Un rayon de lumière naturelle conserve cette première propriété après son passage à travers une lame cristalline à faces parallèles, trop peu épaisse pour séparer l'un de l'autre les deux ravons issus de la double réfraction, et assez faiblement biréfringente pour ne pas établir de différence sensible entre leurs intensités.

Le système des vibrations diverses et diversement orientées dont la succession rapide constitue la lumière naturelle doit donc satisfaire à doux conditions : il faut d'abord que, si l'on projette à ciiatpie

"' On (lit lo [)liis souvent que ces fjenx rayons sont éjjaiix on intensili- , mais coia n'osl pas llicoriquenient vrai, et, même dans tes corps l'orlemenl l)iréirinf;ents, la dilTérence penl èlre rendue sensii)le à rexpérience. Voyez à ce sujet, les reclieicln'S pliiilomf'lriqurs de Al. Wilde, Ann. (Je chlm. cl i}c phyx., (.3), LXIX, ao.S.

instant la molécule vibrante sur un plan mené par la direction du rayon, la composante du mouvement vibratoire ainsi obtenue, considérée pendant un temps très-court mais suffisant pour contenir un nombre très-grand d'alternatives de vibrations, ait la même intensité moyenne, quelle que soit l'orientation du plan considéré; en outre, il est nécessaire que la même propriété subsiste après qu'on a soumis le rayon naturel à une action qui n'altère pas le rapport des intensités des composantes du mouvement estimées suivant deux directions rectangulaires, et qui ajoute une quantité constante à la différence de leurs phases. Nous allons nous proposer de trouver l'expression analytique de ces conditions et faire voir qu'il est possible d'y satisfaire.

Soient, dans un plan perpendiculaire à la direction d'un rayon lumineux non polarisé, deux axes rectangulaires quelconques. L'une quelconque des vibrations qui se succèdent en un point du rayon à de très-courts intervalles pourra être représentée par deux équations de la forme

^ = «sin 27r f j, -j-a y ^/'sin 27r f rp-r /S

ou, en faisant 277 (-T + a) ^ ?', 27r (/3— a) ==- <^, x = as[n(p. y=^bim(^(p -\- S).

On n'ôterarien à la jj^énéralité de ces équations, et on rendra la discussion plus facile, en supposant que a et b sont toujours positifs, pourvu qu'on regarde S comme susceptible de recevoir toutes les valeurs comprises entre zéro et 27r; les valeurs comprises entre zéro et TT répondront dans cette hypothèse à des vibrations polarisées elliptiquement de gauche à droite, et les valeurs comprises entre tjet 27r à des vibrations polarisées elliptiquement de droite à gauche.

Suivant deux autres axes rectangulaires menés dans le même plan, la même vibration elliptique aura pour composantes

x' = X cos co -f- y sin ûj , y' ~-^ X sin &> -f- y cosco,

VrriDFT, VI. — Optique, II. 6

en désignant par w l'angle de l'axe des a:! avec l'axe des x : en développant les valeurs de x et de y, il vient

X = (a COS&) + b cos<5'sin<y) sin(p + b sin^sinci) cos(p, y' = ( — a s'in 0) -\- b cos S cos <w) s'mÇ>-\-b sin S cos w cos (p.

Si l'on reçoit le rayon normalement sur un cristal biréfringent orienté de façon que les plans de vibration des deux rayons aux- ([uels il donne naissance soient parallèles aux axes des x' et des y', dont la direction est tout à fait arbitraire, les intensités de ces deux rayons seront proportionnelles aux intensités des composantes représentées par les deux dernières équations, et par conséquent égales à

m- («^ cos^ w -|- //- sin^ w + ^nb cos S sin ôj cos oo)

et à

«^ (a^ sin^ co + b'^ cos^ co — ^ab cos S sin co cos &; ) ,

m et n étant deux coefficients très-voisins de l'égalité, mais non exactement égaux. Ces expressions dépendent de l'angle w, mais elles varient d'un instant à l'autre avec les paramètres a, b, S, et, pour que le rayon jouisse de la première propriété de la lumière naturelle, il faut et il suffit que les valeurs moyennes, prises pendant un temps très-court, mais assez long pour contenir un nombre très-grand d'alternatives, soient indépendantes de co. Donc, en désignant généralement par M(c) la valeur moyenne ainsi définie d'une quantité quelconque z, il faut et il suffit que les expressions

M (fl^) cos^w -(- M (i^) sin^<w+ 2M ^ab cos^) sinw cosco

et

M (a^) sin^wH- M (i^) cos^<w — 2M [ab cos (5") sin a; cosct»

gardent les mêmes valeurs cpiel que soit co, et par suite que l'on ait

M{a^) = M(b^), M{abcosS) = o.

La même propriété devant subsister encore après le passage du rayon à travers une lame cristalline, et en particulier lorsque la section principale de celte lame est parallèle à l'axe des x, il faut et

LUMIERE NATUriELLE. 83

il sulïit (|iroii appelant s la diflV'rence de phase cpii s'ajoute dans ce cas à la dilTérence S, c'est-à-dire la quantité rpie nous avons désignée

précédemment par t^Tr — r — '-■> on ait, rpiel ipie soit e,

d'où

M ( ah cos <^) = 0 . M (ah sin J) = o .

Ainsi les trois conditions suivantes caractérisent toute succession rapide de vibrations jouissant des propriétés par lesquelles on définit la lumière naturelle :

(l) \ M(^^AcOSe^)=0,

M(«/>sin^)=-o.

11 n'est pas difficile de prouver que, si ces conditions sont satisfaites relativement à deux axes rectangulaires OX et OY, elles le seront aussi par rapjjort à deux autres axes rectangulaires OX' et OY'. Si, en effet, on représente le mouvement vibratoire décomposé suivant ces nouveaux axes par les ('quations

x'==a'sm^', y' = h' sm[(p'-i-S'),

on doit avoir, d'après ce qui précède,

a' sin <p' = [a cos w -f- h cos ^ sin w) sin (p + 6 sin ^ sin w cos (p,

y sin (^' -f- (^' ) =: ^— a sin w + 6 cos ^ cos w) sin Ç» + A sin ^ cos w cos (^ ,

et par suite, en vertu des règles du calcul des interférences,

rt'^= ^«^cos^w + Z»^ sin^ «y -f- lah cos J" sin (w coso;,

h''^ =- n^ sin^ œ-{-h'^ cos^ &> — aaè cos «5" sin w cos (W ,

, , , 6 sin ^ sin a» tang (Ç' - (p = ^,-^- ,

^. - ^, fosincJ'coscc;

tang (p' + ^ (p .-^ : ^^

"^ ' — « sinw + o cosd C0S(W

On déduit de là par un calcul facile

a'b' cosS'= ah cos«^(cos^(y — sin^-o») — {a^— b^) sinw cosw, ah' sin S' = ab sin ^,

et il est évident, à l'inspection de ces formules, que, si les conditions (i) sont satisfaites, on a, quel que soit w, c'est-à-dire quelles que soient les directions des nouveaux axes,

M(V/Â'cos^') = o, M(//'i'sin^')==o.

190. Constitution des systèmes de vibrations les plus simples qui puissent former de la lumière naturelle. —

Les conditions que nous venons de trouver peuvent être satisfaites d'une infinité de manières qu'il est inutile de spécifier, mais il est intéressant de rechercher cjuelle est la combinaison de vibrations la plus simple qui y satisfasse. Une vibration à polarisation constante ayant des propriétés parfaitement distinctes de celles de la lumière naturelle, il faut au moins deux espèces de vibrations diverses alternant l'une avec l'autre. Soient o^, h^ , S-^ et «25 ^2' ^2 ^^s paramètres caractéristiques des deux vibrations, t la durée pour laquelle on prend la moyenne des expressions «^, è^, ab cos S et ab sin ^, m^ et m^ les fractions de cette durée qui appartiennent aux deux modes de vibrations; on aura

M («^) = mya\ + 7?«2«oî

U\h^)=m,h\ + m,hl, M [ah cos<^) =m^(ij)^ cos<^j -{-m.2n.^b.2(io?>^=^, -M i^nh sin <J) =^ /Mj r/^ Aj sin S^ -(- wio^'o io sin (5'o ;

et par suite, si la succession alternante de ces rayons possède les propriétés de la lumière naturelle,

i >»j (t\ + m.^a':^ = m^ b^ -\- m-^b":^ , (2) • mjf/j A, cos Sy -r m.ja.^hc^ cos ^2 =- o ,

( 7;?, r/] /», sin •^j -r m.joji^ f^in ^2 ^ ^-

On déduit iinmédiateinent de ces deux dernières équations

tang<5'i = tang^i c'est-à-dire

S^ = Sç, ou ^^ = TT + <5'2.

La première hypothèse conduit immédiatement à

et, comme les quantités /%, /%, «j, «o» ^i' ^2 ^^^^ positives, d'après ce que nous avons supposé phis haut, cette relation ne peut être sa-tisfaite qu'autant que l'on a

ou

ce qui montre que les deux rayons doivent être polarisés à angle droit l'un sur l'autre, et que leurs intensités doivent être en raison inverse de leurs durées. La seconde hypothèse indique que les deux vibrations doivent être polarisées elliptiquement en sens contraires et donne de plus la condition

en la combinant avec la première des équations (2), on trouve facilement

mj^in^d^al + »«2^'9 = tn^m.^albl + nqalbi, (niial + m.^al) (m2a| — ni^b^) = 0 , d'où

m^b\^= m^ul, et par suite

m^rtj = m^bl.

Les équations des deux rayons dont l'alternance peut constituer de la lumière naturelle sont donc

x^ = a^ûn(p, ^2=^i\/||^sin(p,

y^ = èj sin ( (? -h ^1 ) , y2 = - «1 y ni; sin {(p + S, ).

11 est évident que les deux vibrations ainsi définies sont polarisées

elliptiquement en sens contraires, qu'elles s'exécutent suivant des ellipses semblables, mais tellement orientées que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre, et que leurs intensités sont en raison inverse de leurs durées relatives. Cette solution comprend comme cas particulier la précédente, car deux vibrations rectilignes perpendiculaires l'une à l'autre peuvent être regardées comme deux ellipses semblables placées de manière que le grand axe de l'une coïncide avec le petit axe de l'autre : en outre , comme dans des vibrations rectili[;ncs il n'y a rien d'analogue aux deux sens de la polarisation elliptique, on peut toujours les assimiler à deux vibrations elliptiques de polarisations opposées.

En ayant égard à cette remarque on peut énoncer connne il suit le résultat des calculs précédents :

La lumière naturelle peut résulter de l'alternance de deux espèces de vibrations elliptiques seulement, pourvu :

1° Que les intensités de ces vibrations soient en raison inverse de leurs durées;

2° Que l'une des vibrations puisse être considérée comme dérivée de l'autre par une rotation de 90 degrés et par une réduction des axes dans un rapport déterminé;

3° Que les deux polarisations elliptiques soient d'espèces contraires.

M. Slokes a proposé d'appeler rayons contuiivcmcnt polarisés deux rayons polarisés elliptiquement qui satisfont aux deux dernières conditions. En adoptant cette définition on peut dire que le moyen le plus simple d'obtenir de la lumière naturelle consiste à faire alterner l'un avec l'autre deux rayons contrairement polarisés, les durées de leurs alternatives étant inversement proportionnelles à leurs intensités. Un nombre quelconque de couples de rayons contrairement polarisés satisfaisant à ces conditions est encore une solution du problème.

Le théorème (ju'on vient de démontrer donne une infinité d(î manières de constituer de la lumière naturelle; mais il y en a encore une infinité d'autres sur lesquelles nous présenterons quelques remarques générales.

Considérons d'abord un système de y) -- 1 vibrations rectilignes, f'utièrement ;ui)ilr;urcs. Le svstèine satisfera toujours à l'uno des

LUMIERE NATUllELLE. 87

conditions caractéristiques de la lumière naturelle, puisque, S ne pouvant être égal qu'à zéro ou à tt, on aura nécessairement

M (ab sin S) = 0.

Désignons maintenant par A, B, C les valeurs des trois expressions M (a^), M (6-), i\I [ab cose^'), c'est-à-dire faisons

m^ rtj 4- w<2«2 + . . . + m^, 1 a^, ^ = A ,

d= nii «1 ^1 ± >Mo«2 b.^zt . . . ±: m^, i ^f,, i ^p i = C ;

pour que le système jouisse des propriétés de la lumière naturelle, il suffira d'ajouter à ce groupe une jf""' vibration définie par les paramètres a^, b^,, m^ et satisfaisant aux conditions

)/< a"^ + A = m />); + B , ^'»Yi,,b,,-i-C^o,

ce qui a lieu si m a^^, ni bj^ sont respectivement les racines positives des équations

et si l'on fait S^ o ou S -= tï suivant que C est positif ou négatif. 11 y a donc une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle avec des vibrations rectilignes, sans qu'il soit nécessaire que ces vibrations se répartissent en groupes de rayons contrairement j)olarisés.

Un calcul tout à fait semblable montrerait qu'il y a aussi une infinité de manières de constituer de la lumière naturelle avec des vibrations elliptiques d'une forme déterminée, et a fortiori avec des vibrations elliptiques de formes diverses. Il est toujours nécessaire qne dans ces divers systèmes les deux espèces opposées de vibrations elliptiques existent simultanément, car avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce on pourra satisfaire aux conditions

M(.^'^) = M(//-^). M{abcosS)^o,

mais non à U\ coiublion

M(r^/vsin «^)= 0,

88 POLARISATION GHROMATIQLE.

fl^sin<^ étant toujours positif ou toujours négatif suivant que, tétant compris entre zéro et 77 ou entre tt et 277, les vibrations sont polarisées de gauche à droite ou de droite à gauche.

191. Imitation des propriétés de la lumière naturelle à l'aide de la rotation d'un rayon polarisé. — L'impossibilité d'obtenir de la lumière naturelle avec des vibrations elliptiques d'une seule espèce fournit l'explication des résultats obtenus par M. Dove dans ses expériences sur la rotation des ravons polarisés '^^K Si l'on fait tourner rapidement un prisme de Nicol sur lequel arrive de la lumière naturelle, le faisceau émergent a toutes les propriétés de la lumière naturelle; mais si l'on fait tourner avec la même vitesse et dans le même sens que le prisme de Ni col une lame de mica, le faisceau émergent, formé de vibrations elliptiques identiques dirigées dans tous les azimiits, produit les mêmes phénomènes de polarisation chromatique qu'un faisceau polarisé circulairement. Pour obtenir de la lumière naturelle, il aurait fallu laisser le prisme de Nicol immobile et faire tourner la lame de mica, ce qui aurait changé le sens de la polarisation elliptique à chaque demi-révolution.

Au point de vue d'une théorie tout à fait rigoureuse, ces expériences de M. Dove sont plutôt une imitation des propriétés de la lumière naturelle qu'une reproduction exacte de sa constitution. Un rayon polarisé dont le plan de rotation tourne avec une vitesse uniforme doit être, ainsi que l'a fait remarquer M. Airy ■-', considéré comme étant réellement la superposition de deux ravons polarisés circulairement en sens contraires, dont les périodes de vibration ne sont pas les mêmes. Soient en effet

x = acosctJsin27r f'T + a) '

fi , \ t/ = asm&;sin27r ( ^, + a m

les équations d'une vibration rectiligne qui fait avec l'axe des x un angle w; si l'on suppose que co varie proportionnellement au temps i

Cî Pogg. Anti.. LWI, 97.

''' Undulatonj Thcory o/Lighl, arl. i85 (3' édihoin).

en sorte que co = [x-i-vt, on aura

y = asm (jn + fO sin 977 ( j + a et , par une transformation connue ,

j7 = -sin (y""^'7 '+ 27ra + i« +2 sin (% "" ^ ) t+û-na — y. -

a I /27Î" \ T , f 1/2 TT \ i

y=— -cos (-^+î') i+27ra+f>t +-COS I -7|^ — y 1 i+avra — f/j •

Ces deux dernières équations représentent évidemment la combinaison de deux vibrations circulaires de périodes différentes définies par les deux groupes d'équations

:»! = - sin f -7jr+ t-j ^+27ra + |^t h

2/1 = — |cos[(^^ + yj t+-2iia + ix.y

et

^^2= - sin \{-7f — v\ t-\- aira — [i h

y2 = -cosj^(^-^~yj /+27ra-fz| •

Les mêmes remarques s'appliquent aux deux composantes d'une vibration elliptique et, par suite, à la vibration elliptique elle-même.

Mais, dans toute expérience du genre de celle de M. Dove, la décomposition d'un faisceau polarisé tournant en deux faisceaux de périodes diverses, et, par conséquent, différemment réfrangibles et différemment colorés, est absolument inappréciable. Les nombres

de vibrations de ces deux faisceaux sont représentés par Tr.+ ■ — et T^ — — -1 c'est-à-dire, si l'on suppose qtie le prisme de Nicol fassd 1000 révolutions par seconde, sont entre eux comme 600 billions plus l'unité et 600 billions moins l'unité, pour une longueur d'ondr! égale à o""",ooo5. Il n'y a aucun moyen d'étabh'r entre de pareils»

rayons une séparation sensible. Une vitesse d'un million de tours par seconde serait encore très-éloignée d'être suffisante.

192. Incompatibilité des cliaugeaiients contiiatis dans les vibrations avec l'Iiontogénéité de la lumière. — Les

développements précédents conduisent à une conséquence curieuse, que M. Airy a sommairement indiquée sans la démontrer en détail, c'est cjue les changements qu'éprouvent dans la lumière naturelle la forme et l'orientation des ellipses de vibration ne peuvent être supposés continus si la lumière est absolument homogène. Tout changement continu d'une vibration elliptique consiste en effet en une série de rotations infiniment petites des axes de l'ellipse, accompagnées d'altérations infiniment petites simultanées du rapport des grandeurs de ces axes, et chacune de ces altérations elles-mêmes peut être censée résulter de la combinaison de mouvements vibratoires de périodes différentes. L'homogénéité absolue de la lumière n'est donc compatible c[u'avec des changements tout à fait brusques et discontinus : une homogénéité sensiblement équivalente à l'homogénéité absolue exigerait des changements continus très- lents par rapport aux vibrations de la lumière, mais des changements continus qui s'accomplissent avec une vitesse comparable à celle du mouvement vibratoire résulteraient en réalité de la superposition de rayons différemment réfrangibles en même temps que différemment polarisés.

193. Constitution de la lumière partiellement polarisée. — Ijorsqiie les conditions caractéristiques de la lumière naturelle ne sont pas satisfaites, on a, en prenant pour axes deux droites rectangulaires quelconques dans un plan perpendiculaire au ravon ,

M(/»2)==B, M(>Acos/) = C, M(//6sinf) D,

les (piantités A, B, (i, 1) ayant des valeurs (|U('lcon(|iies. et la lumière esl dile alors iKirlielIpiuciif polarisée.

LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISEE. 91

Si l'on désigne par A', B', C, D' les valeurs <jue prennent respectivement les expressions M(a'^), M (6-), M (ahcosS), M(rtèsin^) lorsqu'on passe du système donné d'axes rectangulaires à un autre système défini par l'angle co compris entre l'axe des x' et l'axe des x, on aura, en vertu des calculs développés plus haut,

A'= Acos'^w + Bsin-w — aCsinw cos«, B' = Asin^w-f-Bcos^w— aCsinwcosw, C = C (cos^ M — sin^ coj " (A — B) sin cocos co, D'=D.

Si le système des vibrations traverse une lame cristalline biréfringente, on peut toujours supposer la section principale de cette lame parallèle à Taxe des .c' dont la direction est arbitraire; le passage à travers la lame n'altère pas les valeurs des coefficients A' et B', mais la difTérence de phase ^ devient égale à ^+£, et, si l'on désigne par C" et D" les nouvelles valeurs de M (^tih cosS) et de M (c^^sin^), on a

C" = C cos £ — D sin £ , D"=C'sin£-f Dcose.

Les changements c[ue peut subn^ un système de vibrations par suite d'une réflexion ou d'une réfraction simple ou double se traduisent toujours, soit par une variation dans le rapport des grandeurs des deux composantes du mouvement vdjratoire parallèles à deux axes rectangulaires, soit par une altération de la différence de phase de ces deux composantes. On voit donc que, si les valeurs des coefficients A, B, C, D sont connues pour un système de vn)rations, toutes les modifications que pourra éprouver ce système par réflexion , réfraction, double réfraction sont entièrement déterminées, et deux systèmes pour lesc^uels ces coefficients ont les mêmes valeurs jouissent de propriétés tellement identiques qu'aucun des phénomènes que nous venons d'énumérer ne |)ermettra de les distinguer.

Les valeurs des coefficients A , B , C , D étant données par raj)porl à deux axes (pielconques, on peut toujours trouver deux valeurs de w, diIFérant entre elles de qo degrés, telles que 0'==^ o : il siillil pour

cela de résoudre l'équation

tang^<w-f — ç— tangw — i = o.

Donc, quelle que soit la constitution d'un système de vibrations, on pourra toujours trouver deux axes rectangulaires tels, que, par rapport à ces axes, la quantité M (ah cos<î) soit nulle : c'est évidemment pour ces axes que les coefficients M (w^) et M (6^) ont leurs valeurs maximum et minimum. Si l'on désigne par 0^^ et par 0^^ les axes pour lesquels G est nul, par Aj et B^ les valeurs que prennent respectivement M(«^) et M{b~) lorsqu'on rapporte le mouvement vibratoire à ces axes, enfin par co^ l'angle formé par l'axe O-Tj avec l'axe 0^, il vient

Aj = A cos^ Wj + B sin^ a^ , Bi = Asin^Wi H-Bcos^Wj.

Supposons que les quantités Aj et B, soient inégales; on appelle alors plan de polarisation partielle le plan qui passe par le rayon et par l'axe Ox^ ou par l'axe Oyi , suivant que l'on a A^ < B^ ou Ai>>B,.

Si les quantités A^ et B, sont égales, il en résulte que A est égal à B, quelle que soit la direction des axes, et, par suite, que le coefficient G est toujours nul. Il est donc impossible que l'on ait par rapport à deux axes quelconques

sans avoir en même temps

M {abcosS)=- 6.

Gherchons maintenant ce qui se produit lorsque, A^ et B^ ayant des valeurs différentes, la lumière partiellement polarisée tombe sur un analyseur biréfringent dont la section principale fait avec le plan de polarisation j)artielle un angle égal à 0. On aura dans ce cas pour l'intensité de l'imago ordinaire

A,sin2^4 Bjcos^^,

LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 93

et pour celle de l'image extraordinaire

Aicos2 0 + Bisin2 0.

Les intensit(5s de ces deux images dépendent de l'orientation de l'analyseur : l'intensité de l'image ordinaire est minimum quand 6= 90°, c'est-à-dire quand la section principale de l'analyseur est perpendiculaire au plan de polarisation partielle, et ce minimum est égal à Bj; l'intensité de l'image extraordinaire est minimum quand Q^o, c'est-à-dire quand la section principale de l'analyseur est parallèle au plan de polarisation partielle , et ce minimum est égal à Aj. Aucune de ces intensités minima ne peut être nulle, à moins que l'on n'ait Ai= o ou B^ ^ 0 , c'est-à-dire à moins cjue toutes les vibrations du système ne soient rectilignes et contenues dans un même plan.

Si l'on a A= B et par suite A^ = Bj , les intensités des deux images dans l'analyseur sont indépendantes de l'orientation ; C est alors nul, quelle que soit la direction des axes. Cependant si , en même temps que l'on a A--=B, D n'est pas nul, le système de vibrations ne constitue pas de la lumière naturelle. Si, en effet, on fait traverser à ces vibrations une lame cristalline, S devient égal à ^-\-z\ G cesse en général d'être nul, et par suite l'égalité entre les quantités A^ et B^ ne subsiste pas, de sorte qu'après son passage à travers une lame cristalline cette lumière donne, sauf pour certaines valeurs particulières de l'épaisseur de la lame, deux images d'intensités variables dans un analyseur biréfringent. Si, au contraire, la lumière est naturelle, D est toujours nul, et par suite, après le passage de la lumière à travers une lame cristallisée d'une épaisseur quelconque, C reste nul et l'égalité entre les quantités A^ et B^ subsiste toujours, d'où il résulte que la lumière naturelle conserve après son passage à travers la lame la propriété de donner dans l'analyseur deux images d'intensités constantes. Comme nous le verrons plus loin, lorsque A = B sans que D soit nul, la lumière peut être considérée comme. résultant de l'addition d'une certaine quantité de lumière polarisée circulairement à de la lumière naturelle.

19A. C/lasisificationi des rïifîés'entes espèces de lumière partiellement polarisée. — Une seule question nous reste encore à examiner, celle de savoir si les divers systèmes de vibrations caractérisés par des valeurs diverses des coeilicienls A, B, C, D peuvent se répartir en un petit nombre de groupes, présentant chacun un ensemble de propriétés communes, ou s'il faut se borner, dans chaque cas particulier, à déterminer, par une application des méthodes précédentes, les propriétés des divers systèmes qu'on rencontrera.

Il faut remarquer d'abord qu'à tout système de valeurs numéricpies des coefficients A, B, C, D ne répond pas nécessairement un système possible de vibrations diversement polarisées. Il est bien évident, par exemple, que les coefficients C et D ne sauraient être tous deux très-grands par rapport aux coefficients A et B. Il est même facile de démontrer cpi'on a nécessairement, dans tout svstème réel de vibrations,

AB-((7 + D2)>o.

En eff'et, si l'on reprend les notations précédentes (189), on a

AB = (^mia^-\-m2a^-\ ) (mj/>j -\-m^bl-\ ),

€^+02 = (ni^ «1 />! cos ^1 -|- m^ f/o Ag cos 4 -f- • • ■ )"

+ ( m^ f/j 1)^ sin <5'i + ni.j a.^ h^ sin ^2 H f-,

et on groupe aisément les termes de ces deux expressions de manière à leur donner la forme suivante :

k^ = ni\a\h'\ + mlalbl+. ■ -fm^m, [a\h\ + a\hX) + - ■ -

(r 4- D^ = mj nj b^ -f m\ a\ h\^ + m^ m^a^ n., />, b.j cos (^1 — ^^2 ) -f

+ m,, m,^ a^, b,^ a,^ />,, r os ( ^^ - (5"J + • • •

11 en résulte que AB — (C^ -f I)-) se réduit à une somme de termes de la forme

»";, '",, \«l /'? + »-c, '>i - fip kl "^ bp cos (<^,, - ^J].

LUMIÈRE PARTIELLEMENT POLARISÉE. 95

Or cliacun de ces termes est évidemment plus grand (juc

c'est-à-dire qu'une cjuantité qui est toujours nulle ou positive.

AB -- (C- + D^) est donc nécessairement nul ou positif. Si d'abord on suppose AB — (C^+D^) égal à zéro, le système est équivalent à une vibration unique, invariable de forme, de grandeur et de position; car en faisant

rt2 = A, />2==B,

tangd = Y^

on a

ah cosS^\/AB— ' =C.

q/>sin<^=i/ÂB ^ = D.

Si AB est plus grand que C" + D^, il y a une infinité de systèmes satisfaisant aux conditions

M («2)= A, M (P) = B, M {ah cos ^) = C, M [ah sin ^) ^D.

En effet. AB étant plus grand que G^+ D^, on peut trouver une infinité de groupes de nombres A' et B' tels que l'on ait

Les nombres A', B', C, D peuvent être considérés comme caractéristiques d'une vibration elliptique déterminée, et si l'on suppose que cette vibration alterne avec un système de vibrations cjui satisfait aux conditions

M(fl2)A-A', M(62) = B-B', M {ab cos (J") = G , M ( ah sin ^) = o ,

on aura obtenu un des systèmes caractérisés par les valeurs données de A, B, C, D.

Parmi les systèmes en nombre infini qui jouissent tous des mêmes propriétés, il en est un qui, par sa simplicité, offre un intérêt par-

ticuiier : c'est le système pour lequel A~-A'=B — B', et qui, par conséquent, peut être représenté par un faisceau de lumière naturelle et par un faisceau de lumière elliptique. Ces deux faisceaux sont l'un et l'autre entièrement déterminés. En appelant H la valeur commune de A— A' et de B — B', on a en effet

(A-H)(B-H) = G2+D2, d'où

Ces valeurs sont toutes deux réelles et positives; mais la plus grande étant supérieure à A et à B, la plus petite répond seule à la ques- (ion, de sorte que

^y/(A-Br + A(C^ + D-^).

Le double de cette expression est l'intensité du faisceau de lumière naturelle qui peut être censé entrer dans la constitution du faisceau que l'on considère : cette intensité n'est nulle que dans le cas où l'on a