RÉPLIQUE ANONYME AU COMMERCIUM

[A lu suite dé l'exemplaire VgiS du Commerciam Epistolicum de Wallis à la Bibliothèfiue Nationale, et dans l'un des manuserils de Boulliau (Bibl. Nal. franc. n° 13040) se trouve un imprimé anonyme de trois pages sue une demifeuille petit 10-4°. Celle pièce, qui constitue une réplique au Commercium, étant très rare ('), j'en reproduis ci-après le texte lalin, suivi de la traduction. Quant à l'auteur, si la question est posée entre Frenicle et Fermât, il ne peut guère, ce semble, y avoir de doute, quoique Libri ait bésité un moment {voir Tome 1, Avertissement, pages xxm, lignes 9 à 12), et que, dans ses Recherches sur les manuscrits de Fermât, M. Ch. Henry se soi), contre Libri, prononcé en faveur de la seconde hypothèse. J'estime, en effet, que Fermât doit êlre absolument écarté, si l'on considère le fait môme de l'impression, le ton de la réplique, enfin certaines particularités de l'orthographe; tout, au contraire, nous indique Frenicle, si ce n'est qu'en tous cas l'auteur aura voulu déguiser sa personnalité. C'est, en effet, Frenicle lui-même qui esl désigné dans la pièce sous l'initiale « F. », tandis que Fermât est indiqué par l'expression « amicus noster- «. On ne peut donc exclure absolument la possibilité que l'imprimé anonyme soit dû à un troisième mathématicien français, plus ou moins lié également avec Digby (par exemple, Carcavi, Mylon ou Martin de Laurendière); mais il aurait alors été au moins inspiré par Frenicle; la pièce doit donc valoir comme de ce dernier. ]

Illl-stbissimo et ci.arisbimo yiro I). K, !) (-).

Commcrcii Epistolici tandem data nobis tuo beiieflcio est copia, in qua primuiii illud inquirendum venit an in commercium publicum cadere debueriiit epistolse privatte, non solum non consentientibus, sed ne suspicantibus iilud quidem aut scientibus earum authoribus : hac enim in re aliquam saltem juri gentium vim factam nemo merito inficias eat. Sed nil forsan expcdit qusestionibtis mathematicis etbicas

(') La réédition, donnée par M, Cli. Henry dans ses Itecherches (pages 178 à 180), a été faite, en réalité, sur une copie d'Arbogost, et prosenlc par suite quelques inexactitudes. Oj D(omino)8,(6nelm)D(igby).

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immisccri : detur itaquc venia illustrissimœ et doctissimae natioiii, qute gloriatn suam intra sepfa nimis aQgusfa noiuit continere. Vicit nempc amor patrise, cujus famam exteodere enixe semper et cupiunt et laborant, boni cives. Sed an ipsi satis liac in parte ab illis consultum sit, videntur aliquantulum ambigere nostrates el ad illud poetÉe, tcntabundi licetac dubitabiindi, quadaintenus respicere.

Quondain ctiam viclis redit iii priBcordia virUis, Victoresqiic cadunl Danai ( ' ) ....

An autem instaurarc ipsis praelium liceat aiit, aliqua sallem rationc, victoriae a se dcdecus amoliri, tuum (Vir clarissimc), postquam haîc paucissima legeris, erit judicium.

Quse hactenus viris vestratibus proposita sunt, in duas commodn species dividi possunt : vel enim in problemata specialia, vel in theorcmata aut problemata universalia et generalia. Ad priorem speciem spectant problemata de partibus aliquotis, et spéciales qusestionis de quadratis unitate diminutis casus. Horum legittniam solutionem ab ipsrs accepimus : attamen prœcesserat libelius Doraini F. (-), cujus ope cum facillimum fuerit numéros ab ipso exhibitos àvaXûstv ('), ot construclionis formam et processum inde nnilo negotio elicerc. i-nv/ouGi (') nonnulli et, ad reraovendum, si quis supersit, scrupulum, demonstrationes theorematum generalium, qua; estsecunda propositarum qusestionum species, et in qua nuUum aut spécimen aut anxilium à nosfris habaerunt, ab ipsïs merito exposcunt : qua in parte quid aut tentaverint aut produxerint veslrates, en accipe :

Theorema prœcipuum hoc erat : Dato quovis numéro non quadrato in integris, dantur infîniti quadrati in integris, qui in datum numeruin ducti, adscita unitate, conficiunt quadratum. Verba autem in m- /Cjorâ bic addimus; licet enim, ex iis qua; in scripto amici nostri (M

(1) Virgile, Enéide, II, 367^8.

('} La Solutio duorum prohlematum etc. qui est perdue.

(^) àvakùaivt I.

(S) Pièce 8r de la Correxpondance de Fermât : traduction ci-avant p. Jiï.

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prsecesserant, luce clarius sit do integris tantum ibi qua;stionem essi', tollere tamen omnino ambigua non gravamur. Hujus theoremalis dcmonstrationem facilem sibi author Commercii asscrit paginis 82 et 8'i imo hanc ibi coiitineri diserte innuit; sed analystse nostri ne vestî^ gium quidem demonstrationis illic agnoscunt.

Secundum theorema negatiïum hoc erat ; NuUus numerus ciibus in duos cubos rationales diçidi potest, Hujus cum demonstrationem non dederit F. in libello à se anno 1G57 edifo ('), — licet in eo quœstioncm proposuerit liuic consimilem his verbis : Invenire 2 vel 3 vri 4 etc. hexagona (*) centralia quorum latus unitate tantum différât, el eorum summa sit œqualis cubo. Quœstio eniin illa ad problema nos^ trum (') reduci potest, in quo datum cubum in duos cubos rationales dividendura proposuimus, modo unitas, ut vultipseF. exhexagoni (') definitione, inter hœc hexagona (^) non computetur ; — debuerani vestrates huic statim démon stratio ni incumbere. Sed nescio qua ra^tione factum sit ut neglexerlnt omnino ea in quibus nostratcs ipsis non praeiverant.

Tertium theorema générale, quod sub forma problematis concipi potest, hoc erat : Datus quivis numerus de (") duobus cubis composllus in duos alios cubos est divisibilis; — vel, si problema universaiti proponendutn mavis : — Datum numerum ex duobus eubis composilum in duos alios cubos rationales dividerc; quae diviaioper nos potest infinities variari. Huic autem propositioni non tantum canon nulliis generalis datus est, quem tamen inquirebamus, sed in spécial! problematis in numéro 9 propositione, ioco summîe quae profond* et alistrusje est disquisitionis, data est differentia tantum; in quo easu nu!lam aut Vieta aut Bachetus in Diopliantum agnoverant difficultatem.

(I) La Solutio précédommenl meatioimée, {') Exagonal.

(') Le problème avait été proposé par Fermât (Lettre LXXXIU, traduction ci-avant p. 3i3). mais nostrum doit s'entendre : « de notre compatriote ". (*) Exagnni I.

(S) Exagonal,

(i06 ŒUVKES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

cuin problema nostrum ne attiiigorinl (') quidcin, imo illiid ditficîlli-

mum videaiitur judioasse (-).

Quartum problema nugativum hoc eral : NuUum iti nurnoris est triangulum rectangulum cujas area sit numerus quadratus. Hujus démo lis trationem existimat author Commepcii dédisse in pagina soi libeili uUima : sed ne hîc quidem deraonstrationem uUam deleximus. Supponit quippe pt'o medio demonstrationis theorema sequens : Differentia duorum qnadratorum atquo eorumdem médius proportionalis non possuiit esse plani similes : qiiod nihil aliud est quam obseurum per obscurius aat saltem seque obseurum probare. Licet enim verum nobis esse constet theorema illud suppositum, cur tamen illud non demonstraverit author non video, cum non minorem ipsius demonstratio, quam demonstratio tlieorematis, habeat dilficultatem.

Vides itaque (Vîr Clarissime) quos evelli nostratibus scrupulos ab authore iUo operse pretium sit, ut omni ex parte victoriani consequatui". Major certe (*) vise pars ab ipso jam peracta est, nec Phiiistinis ul!a satis tuta latebra aut offugium est contra Samsoncm. Effice (') igitiir (Vir Clarissime) ut tanti et tam célèbres viri fractos jam et iabantes adversarïos ab his quatuor vix satis fidis propugnaculis actutum dejiciant, quo peracto plen* vestratium victorije, consentientibus vel nostratibus, plenus etiam triumphus acccdet. Nec addictum me minus ant jussis vestris obsequentem aut tu, Vir Illustrissime, aut ipsi quoque in posterum experientur. Vale.

A l'illubtiussiuk et cl*hissi.«e Sm Kdmilm Dighv.

Grâce :i vous, nous avons enfin entre les mains ce Commercium epàtolicum qui soulève nne première question, à savoir si des lettres particulières auraient dû être livrées au public non seulement sans l'aveu

(1) VSs,Q7.attigennt.

(') ceflcC I.

(1) Effigel.

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de leurs auteurs, mais même ii leur issu et avant qu'ils en eussent conçu le moindre soupçon; personne ne pourra contester à juste titre que dans cette occasion le droit des gens n'ait au moins subi une certaine atteinte. Mais il ne faut peut-être pas mêler des questions morales à des sujets matliématiques; souffrons donc une pareille licence à une illustre et savante nation, qui n'a pas voulu limiter sa gloire par des barrières trop étroites. C'est l'amour de la patrie qui l'a emporté; les bons citoyens désirent à tout prix étendre sa renommée et consacrent leurs efforts à ce but. Mais a-t-il été, dans ce cas, complètement atteint? Nos compatriotes semblent quelque peu en douter et, quoique avec hésitation et sans assurance, se rappeler ces vers du

poète :

Mais parfois le courage revient iiu %'aiiifiu, lîL le Grec trioinpiiant sucijomhe à so» loai:

Peuvent-ils renouveler la lutte ou, pour quelque motif au moins, éviter le déshonneur de la défaite? Il vous appartiendra d'en juger, quand vous aurez lu ces quelques lignes.

Ce qui, jusqu'à présent, a été proposé à vos compatriotes peut être aisément distingué en deux classes de questions : d'une part, les problèmes particuliers, de l'autre, les théorèmes ou problèmes universels et généraux. Dans la première classe rentrent les problèmes des parties aliquotes et les cas particuliers de la question sur les carrés diminués de l'unité. Nous avons reçu d'Angleterre une solution légitime pour tous les problèmes de cette classe ; cependant elle avait été précédée par l'opuscule de M. F(renicle), grâce auquel il était très facile d'analyser les nombres qu'il avait donnés et de déduire ainsi sans aucune peine le mode et le procédé de construction. On peut donc suspendre son jugement et afin d'écarter tout scrupule, s'il en reste, réclamer à bon droit de vos compatriotes les démonstrations des théorèmes généraux qui constituent la seconde classe des questions proposées et pour lesquels ils n'ont eu de notre côté ni modèle ni secours. Or qu'ont-iis tenté ou produit à ce sujet? Je vais le dire.

Le principal théorème était le suivant : Etant donné un nombre

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(i08 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS.

entier non carré, on peut déterminer une infinité de carrés entiers, tels que le produit de chacun d'eux par le nombre donné, après addition de l'unité, fasse un carré. J'ajoute ici le mot entiers; quoiqu'en effet, d'après ce qui précédait dans l'écrit de notre ami (Fermât), il soit plus clair que le jour que la question portait seulement sur les nombres entiers, je n'ai aucune raison pour ne pas écarter désormais toute ambiguïté. Or l'auteur du Commercium affirme, pages 82 et 83 ('), qu'il peut facilement démontrer ce théorème; bien plus il fait entendre que la démonstration est expressément contenue dans ce passage; mais nos analystes ne peuvent en reconnaître aucune Irace.

Le second thcorcme était celui-ci : Aucun nombre cube ne peut être partagé en deux cubes rationels. Dans l'opuscule qu'il a publié en 1657, F(renicle) n'a pas donné la démonstration de ce théorème ; cependant ii y a proposé une question analogue en ces termes : Trouver deux, trois ou quatre, etc. hexagones centraux, tels que leurs côtés diffèrent seulement d'une unité et que leur somme soit égale à un cube ('). Cette question peut en effet se ramener au problème précédemment énoncé, partage d'un cube donné en deux cubes rationels, pourvu que l'on ne compte pas l'unité parmi les hexagones centraux, ainsi qu'au reste l'entend F(renicle) d'après sa définition de l'hexagone. Vos compatriotes auraient donc dû s'attacher aussitôt à chercher la démonstration désirée; mais je ne sais comment il se

(1) Foir- ci-avant pages 433 à 435-

(') Frenicle entend par hexagone contrai do côté n, le nombre

La somme de/i hesagones eenlraux consécutifs (des côtés n à «-!-/) — i) s

Demander qu'elle l'asse un cube, revient donc à proposer do résoudre entiers l'équation

Frenicle esclnt naturellement la solution n = 1, p = 1/.

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fait qu'ils aient absolument négligé les questions pour lesquelles ils n'ont pas été devancés par les nôtres.

Le' troisième théorème général, qui peut être con(;a sous forme de problème, était le suivant : Tout nombre donné somme de deux cubes peut être partagé en deux autres cubes; ou si vous préférez la proposition comme problème général : Un nombre somme de deux cubes étant donné, le partager en deux autres cubes. Nous pouvons faire varier ce partage à l'infini. Or pour ce problème aucune règle générale n'a été fournie, comme nous le demandions, et dans le cas particulier du nombre donné g, au lieu de le donner comme somme, ce qui demande une profonde et abstruse recherche, il n'a été donné que comme différence; chose à laquelle ni Viète ni Bachet sur Diophante n'ont trouvé aucune difficulté, tandis qu'ils n'ont pas même abordé notre problème, qu'au contraire ils semblent l'avoir trouvé très difficile.

Enfin il y avait un quatrième théorème général négatif : Il n'y a en nombres aucun triangle rectangle dont l'aire fasse un nombre carré. L'auteur du Commercium estime qu'il en a donné la démonstration à la dernière page de sou Livre ('); mais nous n'avons pas davantage pu y découvrir aucune démonstration. Il suppose, en effet, comme moyen de démonstration le théorème suivant : La différence de deux carrés et leur moyen proportionel ne peuvent être des plans semblables [c'est-à-dire des nombres dans le rapport de deux carrés entiers]. Mais ce n'est là que prouver ce qui est obscur par une autre assertion'encore plus obscure ou au moins aussi obscure. Nous reconnaissons à la vérité comme exact ce théorème supposé, mais je ne vois pas pourquoi l'auteur du Commercium n'en a pas donné la démonstration qui certainement présente autant de difficulté que celle de l'énoncé proposé.

Vous voyez ainsi quels scrupules cet auteur doit encore écarter poui' remporter sur les nôtres une victoire complète. Sans aucun

(■1) LoUi-û XLIV, pagGGiK).

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