VI

2" Lorsqu'on fera usage de la série des différences de la méthode, il n'y aura d'autres changements à faire aux procédés qu'on vient d'enseigner, sinon qu'à la place de la somme S + (R) on prendra la différence S — (R) pour avoir une série de la même nature que la primitive, et susceptible des mêmes opérations; et qu'ensuite à la place de la différence R— (R)a?P il faudra prendre la somme R + (R)x?, qu'on divisera par i -t- ce, pour avoir le polynôme réciproque P.

3° Dans le cas où l'on emploie la nouvelle méthode et où l'on veut opérer sur la série des sommes, on suivra encore les mêmes procédés, si ce n'est qu'on prendra S H- (R)a? pour la série qui doit être de même

nature que la primitive et qui doit fournir la fraction en y, ^i et qu ensuite, pour avoir le polynôme réciproque P, on prendra le polynôme R— (R)a?P"M, qu'on divisera par i — ar.

4° Enfin, lorsqu'il s'agira de la série des différences de la même méthode, il fandra prendre pour (R) le polynôme réciproque de R diminué de son dernier terme, c'est-à-dire, le polynôme réciproque de celui qui est formé par les p — 2 premiers termes de la série après qu'elle aura été multipliée par II; ensuite on procédera comme ci-dessus (20), avec cette seule différence qu'il faudra prendre immédiatement P + (R);rp pour le polynôme P.

Nous ne nous étendrons pas davantage sur cette matière, et nous ne chercherons pas non plus à l'éclaircir par des Exemples, parce que cela nous mènerait trop loin, et que d'ailleurs elle ne doit plus être sujette à aucune difficulté, après tout ce que nous avons démontré dans le cours de ce Mémoire.

Remarque V.

47. Au reste, quoique les méthodes exposées ci-dessus soient principalement destinées pour les séries composées de sinus et de cosinus d'angles, elles peuvent néanmoins être appliquées, en général, à toutes sortes de séries récurrentes; et il suffit pour cela de remarquer que, lorsque parmi les racines ts, p, a,... qu'on a supposées égales à 2 cosa,

2COS|3, 2COS7,... il s'en trouvera d'égales ou de plus grandes que l'unité ou d'imaginaires, alors la série ne contiendra plus simplement des sinus et cosinus, mais elle contiendra une partie algébrique ou des exponentielles réelles; et il sera facile de résoudre ces différents cas par des méthodes connues.

Enfin je dois remarquer, en finissant ce Mémoire, que les différentes méthodes que nous y avons données peuvent aussi être d'un grand usage dans la Physique, lorsqu'il s'agit de découvrir la loi des phénomènes d'après les résultats de plusieurs expériences; et, en général, elles pourront servir pour résoudre un grand nombre de questions dont on ne pourrait venir à bout qu'en tâtonnant, et d'une manière très-imparfaite, sans le secours de ces méthodes.