LETTRE DE LAGRANGE A LAPLACE, ETC

stantes, pendant que les quantités r et u varient de dr et du; car, comme

f* ■é=- = i — e sinl sinu — e cosl cosh, M/-

il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités esinl, ecosl; c'est-à-dire,

que

sinu.d(e sinl) -+- cosu.d(e cosl) = o;

mais

d(e sinl) = — Q du cosu, et (/(ecosl) = Q du sinu,

donc, etc. Je fais donc

x = esinl, y = ecosl;

Jai

= i — x sin u — y cos m,

et ensuite j'ai, en différentiant, les équations

dx = — Q cos m c/w, c?j = ^ sin ?< c/« ;

si l'on substitue, dans ces équations et dans les autres semblables, les valeurs de r et de u en x, y et t, et que l'on ne conserve que les termes où x, y, x', y',..- seront linéaires et multipliés par des coefficients constants, on aura les équations cherchées; il faut seulement avoir soin de ne pas rejeter, dans la quantité Q , les termes de la forme

I xsin u du, jx cosu du, I y sinu du, I y cos m du,

et les autres semblables; car ces termes, étant transformés en

x cos u 4- / dx cos u, . . . , produiront, dans les équations différentielles,

des termes de la forme demandée; à l'égard des quantités / dx cosu,...,

on pourra les négliger entièrement, parce que dx est déjà très-petit de l'ordre des masses des planètes perturbatrices.