s ns. etc

Tl suffit de considérer la sixième figure pour se persuader de ceci. Car les demi-cercles font connaître que A 2 est à A 4, c'està-dire, à V appliquée 2 X, qui lui est égale, comme 2 X est à A 8; que A 18 est A 12, c'est-à-dire à Vappliquée 18 X, comme 18 X est à A 8, etc.; qu'ainsi les rectangles A 2 par A 8, et A 18 aussi par A 8, sont égaux aux carrés de 2 X, et de 18 X, etc., et par conséquent que ces carrés sont entre eux comme ces rectangles.

Les parallèles sur A B et sur A C qui se coupent aux points X. X. X font encore sensiblement connaître le chemin que doit tenir ce cbrps. Elles marquent les endroits où il doit être en un tel temps. Elles représentent enfin aux yeux la véritable grandeur du mouvement composé et de son accélération en un temps déterminé.

Supposant de nouveau qu'un corps se meuve de A vers C inégalement, aussi bien que de A vers B, si l'inégalité est' pareille au commencement et toujours , c'est-à-dire, si l'inégalité de son mouvement vers C est semblable à celui vers B, ou s'il augmente avec la même proportion, la ligne qu'il décrira sera droite.

Mais si l'on suppose qu'il y ait inégalité dans l'augmentation ou dans la diminution deà mouvements simples, quoique l'on suppose cette inégalité telle qu'on voudra, il sera toujours facile de trouver la ligne qui représente à l'imagination le mouvement composé des mouvements simples, en exprimant par des lignes ces mouvements, et en tirant à ces lignes des parallèles qui s'entrecoupent. Car 1» ligne qui passera par toutes les intersections de ces parallèles représentera le mouvement composé de ces mouvements inégaux, et inégalement accé'/f'm ou diminués.

Par exemple, si l'on suppose qu'un corps soit mu par deux forces égaies ou inégales telles qu'on voudra , qu'un de ces mouvements ajugmente ou diminue toujours selon une progression géométrique ou arithmétique telle qu'on voudra, et que l'autre mouvement au»:mente ou diminue aussi selon une progression arithmétique ou géométrique telle qu'on voudra ; pour trouver les points par lesquels doit passer la ligne qui représente aux yeux et à l'imagination le mouvement composé de ces mouvements, voici ce qu'il y a à faire.

Il faut d'abord tirer, comme l'on a dit, les deux lignes  B et A C, pour exprimer les deux mouvements simples, et diviser ces lignes selon la supposition de {^accélération de ces mouvements. Si l'on suppose que le mouvemenC exprinié par la ligne  C augmente ou diminue selon une progression arithmétique 4 , 3, 3^ ij 5, il ftiut la diviser aux points marqués 4 , 2, B, 4, 5; et si l'on suppose qtie le mouvement exprimé par la ligne A B augmehte selon la progression double 4, Sif 4, 8, 46; ou diminue selon la pçogrëssibn sous-double i 2) 4 ) î } i 1 ît il faut la diviser aux t)oints marqués 4 ^ S, 4, 8, 4 6, ou 4, 2, 4, I ; {, j. Ensuite il faut tirer par ces divisions des parallèled à A B et à A C; et la ligne AEj qui doit exprinler te mouvement composé ique l'on cherche, passera nécessairement par tous les points où ces parallèles s'entrecouperont. Et ainsi l'on voit le chemin que ce corps mu doit tenir.

Si Ton veut counailre exactement conihien il y a de temps que ce corps a commencé d'être reinué lorsqu'il est arrivé à un tel IH)intv les parallèles liréos do co [wint stir A B ou sur A (' le mnr-

queront, car les divisions de  B et de A C marquent le temps. De même, si l'on veut savoir le point où ce corps sera arrivé en un tel temps, les parallèles tirées des divisions des lignes A B et A G, qui représentent ce temps, marqueront par leur intersection ce point que l'on cherche. Pour l'éloignement du lieu d'où il a commencé à se niiouvoir, il sera toujours facile de le oonna!tr<3 en tirant une ligne de ce point vers A, car la longueur de cette ligne se connaîtra par rapport à A Bou à A C qui sont connues. Mais pour la longueur du chemin que ce corps aura fait pour arriver à ce point, il sera difficile de la connaître, à cause que la ligne de son mouvement A E étant courbe, on ne peut la rapporter à aucune de ces lignes droites. Que si l'on voulait déterminer les poiAts infinis par lesquels ce corps doit passer , c'est-à-dire décrire exactement, et par un mouvement continu, la ligne AE; il serait nécessaire de se faire un compas dont le mouvement des jambes fût réglé , selon les conditions exprimées dans les suppositions que l'on vient de faire. Ce qui est souvent très-difficile à inventer, impossible à exécuter, et assez inutile pour découvrir les rapports que les choses ont entre elles, puisque l'on n'a pas d'ordinaire besoin de tous les points dont cette ligne est composée, mais seulement de quelques-uns qui servent à conduire l'imagination lorsqu'elle considère de tels mouvpments.

Ces exemples suffisent pour faire connaître que l'on peut exprimer par lignes, et représenter ainsi à l'imagination la plupart de nos idées; et que la géométrie, qui apprend à faire toutes les comparaisons nécessaires pour connaître les rapports des lignes, est d'un usage beaucoup plus étendu qji'on ne le pense ordinairement. Car enfin l'astronomie, la musique, les mécaniques et généralement toutes les sciences qui traitent des choses capables de recevoir du plus ou du moins, et par conséquent que l'on peut regarder comme étendues, c'est-à-dire, toutes les sciences exactes, se peuvent rapporter à la géométrie, parce que toutes les vérités spéculatives ne consistant que dans les rapports des choses et dans les rapports qui se trouvent entre leurs rapports, elles se peuvent toutes rapporter à des lignes. On «n peut tirer géométriquement plusieurs conséquences; et ces conséquences étant rendues sensibles par les lignes qui les représentent, il n'est presque pas possible de se troDfiper, et l'on peut pousser les sciences fort loin avec beaucoup de facilité.

La raison , par exemple ^ pour laquelle on reconnaît très-distinctement et l'on marque précisément dans la musique une octave, une quinte , une quarte, c'est que l'on exprime les sons avec de:*

DE LA MÉTHOBE. — 1" PARTIE. ft77

cordes cxaolemonl divisées, et que l'on sait que la corde qui sonne l'octave est en proportion double avec l'autre avec laquelle se fait loctave; que la quinte est en proportion sesquialtère ou de trois à deux, et ainsi des autres. Car l'oreille seule ne peut juger des sons avec la précision et la justesse nécessaire à une science. Les plus habiles praticiens , ceux qui ont l'oreille la plus délicate et la plus fine, ne sont pas encore assez sensibles pour reconnaître la difTérence qu'il y a entre certains sons; et ils se persuadent fausse-^ ment qu'il n^ en a point, parce qu'ils ne jugent des choses que par le sentiment qu'ils en ont. Il y en a qui ne mettent point de différence entre une octave et trois ditons ^ Quelques-uns même s'imaginent que le ton majeur n'est point différent du ton mineur ; de sorte que le conima, qui en est la ditférence, leur est insensible, et à plus forte raison le schisma, qui n'est que la moitié du comma.

Il n'y a donc que la raison qui nous fasse manifestement voir que l'espace de la corde, qui fait la différence entre certains sons, étant divisible en plusieurs parties, il peut y avoir encore un trèsgrand nombre de différents sons utiles et inutiles pour la musique, lesquels l'oreille ne peut discerner. D'où il est clair que sans l'arithmétique et la géométrie la musique régulière et exacte nous serait inconnue, et que nous ne pourrions réussir en cette science que par hasard et par imagination; c'est-à-dire que la musique ne serait plus une science fondée sur des démonstrations incontestables , quoique les airs que l'on compose par la force de l'imagination soient plus beaux et plus agréables aux sens que ceux que l'on compose par les règles.

De même dans les mécaniques la pesanteur de quelques poids et la distance du centra de pesanteur de ce poids d'avec le soutien étant capable du plus et du moins, l'une et l'autre se peuvent exprimer par des lignes. Ainsi, )'on se sert utilement de la géométrie pour découvrir et pour démontrer une infinité de nouvelles inventions très-utiles à la vie, et même très-agréables à Tesprit à cause de l'évidence qui les accompagne.

Si, par exemple, on a un poids donné, comme de six livres, que l'on veuille mettre en équilibre avec un poids de trois livres seulement, et que ce poids de six livres soit attaché au bras d'une balance éloigné du soutien de deux pieds ; sachant seulement le principe général de toutes les mécaniques : que les poids pour demeurer en équilibre doivent être en proportion réciproque avec leur distance du soutien , c'est-à-dire qu'un poids doit être à l'autre poids comme la distance qui est entre le dernier et le soutien