LIVRE SIXIÈME

la grandeur de la raison de 42 à 3 se marque par 4, où 4 est Y exposant de la raison de 12 à 3^ et 3 est l'expo* sant de 3 à i , et l'exposant de la raison des exposants 4 et 3 est |. Secondement, l'exposant de 8 à 2 est 4, et de 2 à i est % et l'exposant des exposants 4 et 2 est 2 ; enfin l'inégalité entre les rapports qui résultent des rapports de rapports est la différence entre | et 2, c'est-àdire |. Donc \ ajouté au rapport des raisons 12 et 3 et 3 à 1 , ou retranchés du rapport des autres raisons 8 à 2 et 2 à 1 y met en égalité ces rapports de rapports, et produit une proportion composée. Ainsi Ton peut se servir d'additions et de soustractions pour égaler les grandeurs et leurs rapports, tant simples que composés, et pour avoir une idée exacte de la grandeur de leur inégalité.

Jl est vrai que l'on se sert de multiplications et de dû visions tant simples que composées, mais ce ne sont que des additions et des soustractions composées. Multiplier 4 par 3, c'est faire autant d'additions de 4 que 3 contient d'additions de l'unité, ou trouver un nombre qui ait même rappbrt à 4 qu'à 3 avec l'unité ; et diviser 12 par 4, c'est soustraire 4 de 12 autant de fois qu'il se peut, c'est-à-dire trouver un rapport à l'unité égal à celui de 12 à 4; car 3, qui en sera l'exposant, a môme rapport à l'unité que 12 à 4. l^e^ extractions des racines carrées, cubiques ^ etc., ne sont que des divisions par lesquelles on cherche une, deux ou trois moyennes propor^ tionnelles.

Il est évident que l'esprit de l'homme est si petit, sa mémoire si peu fidèle, son imagination si peu étendue que, sans l'usage des chiffres et de l'écriture, et sans l'adresse dont on se sert dans l'arithmétique, il serait impossible de faire les opérations nécessaires pour connaître l'inégalité des grandeurs et de leurs rapports. LiOrsqu'il y aurait plusieurs nombres à ajouter ou à

soustraire, ou, ce qui est la môme chose, lorsque ces nombres sont grands, et qu'on ne les peut ajouter que par parties, on en oublierait toujours quelqu'une. Il n'y a point d'imagination assez étendue pour ajouter ensemble les fractions unpeu grandes, comme [JH, -îKiom) ^^ pour soustraire l'une de Tautre.

Les multiplications, les divisions et les extractions de racines des nombres entiers sont infiniment plus embarrassantes que les simples additions ou soustractions ; Tesprit seul, sans le secours de l'arithmétique, est trop petit et trop faible pour les faire, et il est inutile que je m'arrête ici à le faire voir.

Cependant l'analyse ou l'algèbre est encore tout autre chose que l'arithmétique; elle partage beaucoup moins la capacité de l'esprit, elle abrège les idées de la manière la plus simple et la plus facile qui se puisse concevoir. Ce qui se fait en beaucoup de temps par l'arithmétique se fait en un moment par l'algèbre, sans que l'esprit se brouille par le changement de chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d'arithmétique ne découvre qu'une vérité; une semblable opération d'algèbre en découvre une infinité. Enfin il y avait des choses qui se pouvaient savoir, et qu'il était nécessaire desavoir, dont on ne pouvait avoir la connaissance par l'usage de l'arithmétique seule; mais je ne crois pas qu'il y ait rien qui soit utile, et que les hommes puissent savoir avec exactitude, dontrils ne puissent avoir la connaissance par l'arithmétique et par l'algèbre. De sorte que ces deux sciences sont le fondement de toutes les autres, et donnent les vrais moyens d'acquérir toutes les sciences exactes, parce qu'on ne peut ménager davantage la capacité de l'esprit que l'on le fait par l'arithmétique, et principalement par l'algèbre.