d/ hVl-d

^--^^-i-J^ Vk>^ — Ig -f- ij)' i — dX ft {1 — rf=)

1 — dl A(l — (Jï) '

-T'^â-i-Fj Vh^ — jg-i-d^

(12) Si^in^)^

(13) ri!i:!±

§ 4. En partant des formules que nous venons d'obtenir, il est facile de montrer que la détermination, au moyen des quantités

A, a, r^, Xj, î/j,

qui donnent la solution du problème, dépend d'un système d'équations dont l'une est du second degré et les autres du premier degré.

A cet effet nous allons d'abord déterminer les quantités auxiliaires

g, h, P^, P^>P^, Ps,Pi,\ [i,

qui figurent dans nos formules.

En abordant ce problème, uous remarquons que les quantités 5, îi s'obtiennent immédiatement par les équations (5), (6), d'oii il résulte

(1 — d^) m (md •+- 1)

Substituant ces valeurs de g et h dans la formule (4), on en déduira aisément les expressions des quantités

Pp, Pj, P„ P3, P,

au moyen de X et ii.

En eifet, d'après cette formule, la différence entre le polynôme

P, -+- P33 -+- P4S' et l'expression

iPo-i-Pi^) y^^— 1 ~ U -H X -H fA y^^ — 1) Vis—gf — h^

ne doit renfermer que les puissances négatives de s, d'oii il résulte que

A, Ai P4

sont les coefficients de z'', ê, s^ dans les développement de cette expression suivant les puissances descendantes de s. En vertu de cela, il vient

F, = F, — ■>.->- g (l-t-fx);

Quant aux quautités

ou les détermiuera, d'après (4), par la couditioû que le développement de l'expression

G H- X -H [. yi^^] y(i—if—v — (p, -4- p,2) y^»— 1,

M contienne pas de termes en |-, i. Cela nous donne deux équations, d'où l'on tire ces valeurs pour P^, P,:

P„ = <,*=-i-»-i-(tf— l)!)|i;

P, = ilY -^ h* -^- ih'gl -t- (ihY -H (»' — If) p..

En les portant dans les égalités précédentes, on trouve ces valeurs pour P„ P„ P.:

F,= {» -4- l)iï-i-(*'— 1)À -i-*V;

P, = 4Sy -t- »' — 1 H- 4(;» -t- {4j» -f- *" — 2) » V.

Pour déterminer les quantités auxiliaires

nous remarquons que les équations (7) et (9), (8) et (11), en les divisant l'une par l'autre, conduisent à ces deux équations

-Piii V?t' — (g-i-rf)^'

/i(l — <iï)^

qui ne contiennent plus les quantités cherchées Â, a, r,, a:,, î/j, et qui, portant la valeur -- donnée par (5), se réduisent à

{\~d} Vh^ — (g~t-df=={P^d — P^) Vl — d^;

IxVl—d^ Vh''—(g-i-df = — I\-t^P^d~P^d\

Il est facile de voir que ces équations, si l'on y substitue les valeurs de h, g, P(|i P]! ■P2' -H> ^\ 1"^ "ous venons de trouver, se réduiront aux équations du premier degré eu X et [a. En résolvant ces équations par rapport à X, jA et eu portant les valeurs ainsi obtenues dans les expressions de Po, Pi, Pg, Fg, Pf, nous obtiendrons toutes les quantités auxiliaires, dont les quantités cherchées

dépendent d'après les équations (7), (8), (!)), (10), (11), (12), (13).

C'est la détermination de ces inconnues que nous allons aborder maiuteuaût.

§ 5. Pour déterminer l'angle A, nous remarquons que les équations (7), (8), si l'on divise l'une par l'autre, donneront

i^yi — d^

Ainsi la tangente de l'angle A se trouve déterminée complètement. Quant aux deux angles qui ont cette tangente et diffèrent l'un de l'autre de 180°, nous prendrons pour A celui qui est compris entre 0 et 180°, en choisissant conformément à cela le sens suivant lequel la ligne a = AA^ , à l'intérieur de l'angle A^AM, sera comptée positive.

Passant à la détermination des quantités a, 3;, , y^, nous remarquons que les mêmes équations (7), (8), si on les élève au carré et ajoute, donnent

(1 - <iÀ)>

-d'tv.'

Des deux signes on devra prendre ici celui qui correspond à la supposition que nous avons faite à l'égard de l'angle A. Comme cet angle est supposé être compris entre 0 et 180°, son sinus sera positif, et cela, d'après (7), ne peut avoir lieu que si le rapport

a un signe opposé à celui de

On déterminera ainsi la valeur absolue et le siguc du rapport

Pour abi'éger, nous désignerons la valeur de ce rapport par f, de sorte que nous aurons

En posant encore, pour abréger,

r (Pi - PqH Vif - (s nrajî ^ ^

i-Uk ft(l — dî) "

nous préseuterous les équations (10), (12) sous la forme

all,,~h)co^A-a.

De là, en posant d'après (14) a=fxi, nous obtenons ces deux équations

(15) f{h — -f/j) sîn^ — fXj^ cosA = Ni;

(16) fiVi — 'b) cosA—fx^^nA — '^^N^.

qui serviront à déterminer x^ et y^ .

En résolvant ces équations, on tire de la première d'entre elles

(17) 2/i = 6 — cotang^.a;^ — T^ï^î

et en portant cette valeur de î/, dans la deuxième équation, on obtient une équation du second degré que voici:

g (N. — m) 003 A-^N„ sÏQ A (fb sin A-N.) m ^

Si l'on tire de cette équation la valeur de x^ et qu'on la porte dans les formules (14), (17), on obtiendra les valeurs de a;,, t/;, qui représenteront la solution de notre problème, en considérant comme données les quantités r, m, h et d^sina,.

A chacune des racines de cette équation il con-espondra une solution à part, et si cette équation n'admet pas de racines réelles, on conclura que, pour les valeurs considérées de d, r, m, h, le problème est impossible.

§ 6. Sans nous arrêter aux calculs que demande, d'après ce que nous venons de montrer, la solution de notre problème, nous allons examiner la relation qui existe entre ses deux solutions lorsqu'elles sont possibles. Cette relation donne, comme nous verrons, des changements que l'on peut faire dans la composition des parallélogrammes les plus simples sans altérer le degré de précision, avec laquelle ils réalisent un mouvement rectiligne.

Soient œ/, a;/' les deux valeurs de x^ tirées de l'équation ci-dessus et

Vi, y"

les valeurs correspondantes de y^^ , o, les égalités

appartenant à la solution représentée (fig. 2) par le point A^ et le centre C, et celles-ci

Xj = ic/', î/j = î/i", a = a"

Fig. 2.

à la solution représentée par le point A^ et le centre 6^ . Cela posé, nous aurons

a':=AA^, a"=AA.-^,

et les équations (14), (15), (16) seront vérifiées par ces deux systèmes de valeurs:

, !li =

ce qui suppose

les

égalités

suivantes:

f{b — î/i') siii A — fx^ z(isA = N^', f(h — y") sin A — fx^' cos A^N^\ fdl^ —t) eosA—fi; smA — ^ = N,;

f(b — y^) siii A — fx^' cos A = f(h — ?//') sin A — fx" cos A ; f {î// — l) cos A — /»; sin ^ — ^ =f{i)" — ï>)cos^ — fx"û\iA — ^^■

et les deux âeraières égalités se réduisent à

yl sin A ■+- x,' cos A = y" sin A ~*-x" cos A, yl cos A — xl sin ^ — T ^' = Vl' '^^^ -^ — ^i" ^^^ -^ — T I^'j ou bien, ce qui revient au même, à

^V3=^ = cotaug^; (2// — y") cos A — {x-[ — a:/') sin ^ := y fe — |V/)' Comme d'après la première de ces égalités on trouve

-i— tang A,

on aura, en portant ces valeurs de x^ — x^', y^ — *//' dans la deuxième,

[/à;/-m(l-+-fv;tang^)cos^](|4-|<) = 0, et cette équation se décompose en deux, à savoir

fx^ — mil-t- ^T, tang Al\ cos A=<i.

Or, en vertu de (19), la première de ces équations suppose les égalités x"=:x^, y"=yj'. Donc, les deux solutions étant distinctes, les valeurs de

^l'î ^i') ^i"i y/' doivent vérifier la deuxième équatiou, laquelle, çant, d'après (18), f par -JV, se réduit à

a' — m cos ^ — m ^, sin ^ ^ 0.

et les mêmes raisonnements, en changeant seulement x^, yl, a' en x^', y", a" et inversement, donneront

y,' a" — m cas A

Xi' m 3in A

Nous remarquons maintenant que les rapports

EL, yîl, y" - yi

représentent les tangentes des angles que font avec l'axe des x les droites C(7j, C(7j, CjC, menées par les centres

G„ G„ et que les rapports

où, d'après nos notations,

a":=AA^, a=^AÂ^, m^AM,

représentent les cotangentes des angles AA^M et AA^M.

Donc les équations que nous avons trouvées expriment l'égalité entre les angles que font les droites CC\, GC^, G^G^ avec l'axe des x, ou bien avec la droite FG, qui lui est parallèle, et les compléments des angles que les droites AM, A^M, A^M font avec la ligne AA^.

En vertu de cela, si l'on connaît un des deux points A^ , A^ et le centre Cj- ou G^ qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le centre correspondant; car, d'après ce que nous avons montré, par chacun des points A^^, A^, avec le centre correspondant, le triangle CC^^G^ est complètement déterminé, et ce triangle donne l'inclinaison des lignes A^M, A^M à la ligne AJ^.

§ 7. Le passage que nous venons de signaler d'un des deux points A-^^ A^h un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut être utile dans tous les cas, où l'on veut qu'un point du triangle décrive une courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins l'un de l'autre.

En effet, il est facile de montrer que, les pointa A^, A^et les centres C^ , C^ étant tels qu'on ait

G^SG = ~~MAA^, ' C/Jx^^—MA^A, G^Cx = ^~MA,A, la différence