DB

et si l’on sait que la fonction i inconnue ef @) reste | pour les valeurs de x entre a et b.

Il est facile d’en déduire les limites de la différence étre les one

[ (x) 0x et Ë |

[AG@or,

si l’on a les égalités

b b b b b b (FC) dù=[f, (0) dx, [a f(x) da {2 f (æ) 02, fa f(x) on = [a fi (a) de,

et si la fonction f,(x) reste aussi positive pour les valeurs de x entre x = a, x —b. En effet, dans ce cas on aura les mêmes résidus intégraux et les mêmes limites des différences entre les intégrales et les résidus intégraux, et par conséquent la différence entre les intégrales

v © [ f@)0x, | A@)ox

ne pourra pas surpasser le double de la limite de la différence entre chacune de ces intégrales et le résidu intégral

Do (2) (e), £ PC) (z) Donc, si les égalités b b b b [f (x) œ=|[f, (x) dx, [x f(x) œ=|[x f(x) 0x, .… ‘ f(x) 0x — je f, (æ) dx a a a a ont lieu pour deux fonctions

f(@), fi (@),

qui restent positives pour les valeurs de x entre a et b, la différence entre les intégrales

[ fox, | f(@)or,

ne pourra pas surpasser la valeur de la fraction

ax Do? (0) + Ge Da? (0) +... + Gun Va (0)

quelles que soient les limites a et b.

$ 9. Comme exemple de l’application de nos formules nous allons maintenant considérer le cas où l’on a

a—— co, b = + co

Dans ce cas, comme on va le voir, la limite supérieure de la fraction (8) pourra être déterminée quelle que soit la valeur de », et il en résulte un théorème qui peut avoir des applications utiles dans la Théorie des Probabilités.

D'après les formules données dans notre Mémoire Sur le développement des fonctions à une seule variable *), dans lequel nous avons étudié le

développemment de l'intégrale + 00

| Var me du

en fraction continue et les réduites

0 tee ne...

dE) 1) V6)

nous trouvons que, dans le cas que nous considérons maintenant, les fonctions

Yo(2), Y (2), de À) AE

pourront être représentées par la formule

et qu’on pourra les calculer successivement à l’aide de la formule

(9) hA=—da4 (2) —(— 194 ,() et l'égalité ba) = 1.

D'autre part nous trouvons d’après ce même mémoire la formule

+ [ET Por=1.2.5....1.9.

En vertu de cette formule la fraction (8) qui détermine la limite de la différence entre les intégrales …

[roûr, [fo

se ramène pour le cas que nous examinons à la fraction

712 “HR Ur rs NC ene ee

dans laquelle les fonctions vo … déterminées par (9). Pour déterminer la limite supérieure de cette fraction nous chercherons la limite inférieure de son dénominateur

2 2 | #° CES se D RÉ TE 1 qe | En posant 2 Es (10) sn

nous remarquons que ce dénominateur est égal à la somme

To + +. 7e

Pour trouver la limite émoure de cette somme nous allons Rs te déterminer la fonction @(t) définie par

CO= TARDE TP Le

où £ désigne une variable quelconque.

$ 10. Pour déterminer la:fonction: /({) nous remarquons que d’après (9) on aura

Ye) = —go di (v)—(—1) gb, (0), b o=—-doh ,()— au — 2) dr (0),

d’où l’on tire

Wo)= ge, @)+2 « — 1)9t vÙ. (o) LU. (o) + (1 a pe. ), Œ— 2) gd, (0) eV (v) na god, ,(e) Yi (o) + gui, (D),

et en éliminant entre ces deux équations le produit ne

Yi (v) Li, (0)

nous trouvons la relation

(a Get (— 2} d Ÿ,.(@)=9 (g° v—l+ 1) )p?, (4-09 Vs sa A

Si maintenant on y remplace les fonctions Ÿ (v), Po (v), Pi (v), Pi (v) par leurs valeurs tirées de (10), on aura l’équation IT, —(g ue —1+ 1) T,,+(g0—l+1)T, ,—(—2)7T, =

Multiplions tous les termes par &' et faisons la somme pour toutes les valeurs de ?, de Z — 0 à / — co; nous aurons alors l’égalité

CO C9 (e.e] C9 SITE (141), + D (014 1)T, D (2) T, 0.

En remarquant que d’après (10) on a T,=0, T,=0, T,—0,

nous trouvons

d'au—1+ 1) TL t=Ù (ge —) arr 0 0 C9

(ee) d'Œo—i+1) 7 = (go —i—1) TE,

en vertu de quoi l’égalité précédente se ramène à l’égalité