Principes de la théorie générale des eaïuitique

Nous allons maintenant développer plusieurs conséquences des lois de l'optique géométrique qui nous seront d'un utile secours dans l'exposé de la théorie ondulatoire.

De ce nombre sont les remarques qui vont suivre sur les propriétés des faisceaux réfléchis ou réfractés, remarques qui servent de base k la théorie des caustiques par réflexion et par réfraction.

Considérons en premier lieu le cas où , sur une surface réfléchissante plane xy (fig. i), tombe un faisceau de rayons incidents SI, SI',..., tous parallèles entre eux; coupons ces rayons par un plan qui

leur soit normal , et soit MM' la trace de ce plan sur le plan de la figure auquel il est perpendi-* culaire. Il résulte immédiatement de la -loi de la réflexion que les rayons réfléchis sont tous normaux à un plan Ml Ml' qui est symétrique du pian MM' Fil?. I . par rapport à la surface

réfléchissante, et que les distances IM, l'M' sont respectivement égales aux distances IM] « l'Mi. Nous arrivons ainsi au théorème suivant :

Si un faisceau de rayons parallèles tombe sur une surface réfléchissante plane , et qu'on considère un plan normal à tous ces rayons, les sphères tangentes à ce plan normal et ayant pour centres les différents points d'incidence ont pour enveloppe, de l'autre c6té de la surface réfléchissante, un pian normal aux rayons réfléchis; de plus, si les rayons incidents sont dirigés du pian qui leur est normal vers la surface réfléchissante, les rayons réfléchis sont dirigés du plan normal correspondant vers cette même surface.

Passons maintenaut h un cas plus général, et supposons qne la surface réfléchissante 2 soit quelconque et que les rayons incidents émanent d'un même point lumineux 0. Ces rayons sont alors tous normaux à une surface sphérique S, et, si l'on considère isolément les rayons incidents contenus dans un cône de dimensions infiniment petites, on pourra répéter, pour l'élément delà surface sphérique S intercepté par ce cône et pour l'élément correspondant de la surface réfléchissante 2, tout ce qui a été dit dans le cas d'une surface réfléchissante plane. Donc, si l'on mène les plans tangents aux sûrfaces S et 2 aux points où ces surfaces sont rencontrées par le cône infiniment petit, et si, par la droite d'intersection de ces deux plans, on fait passer un troisième plan symétrique du plan tangent à la surface S par rapport au plan tangent à la surface 2, ce troisième plan est l'enveloppe , de l'autre côté de la surface réfléchissante, de toutes les sphères tangentes k l'élément considéré de la surface S et ayant pour centres les différents points de l'élément correspondant de la surface 2. La même construction est applicable à tous les éléments de la surface sphérique S qui sont traversés par les rayons incidents; on peut donc construire par points la surface enveloppe qui est normale à tous les rayons l'éfléchis, et Ton est conduit ainsi d'une manière simple au théorème suivant, dont la démonstration analytique serait fort compliquée :

Si des rayons incidents émanés d'un point unique tombent sur une surface réfléchissante quelconque, les rayons réfléchis sont tous normaux k une même surface qui est l'enveloppe > de l'autre côté de la surface réfléchissante, de toutes les sphères ayant pour centres les différents points d'incidence et tangentes k une surface sphérique dont le centre est le point lumineux; de plus, si les rayons incidents sont dirigés de cette surface sphérique vers la surface réfléchissante, les rayons réfléchis sont dirigés de la surface qui leur est normale vers la surface réfléchissante.

Supposons enfin que les rayons réfléchis soient soumis à une seconde réflexion sur une autre surface réfléchissante 2'; soit S' la surface normale à tous les rayons ayant subi une première réflexion et que nous considérons maintenant comme rayons incidents : en raisonnant comme plus haut, nous déduirons d'un élément quel-

conque de cette surface S' et de Télément correspondant de la surface réfléchissante 2' un élément d'une surface enveloppe normale à tous les rayons réfléchis pour la seconde fois.

La même démonstration est applicable quel que soit le nombre des réflexions que subissent les rayons.

Donc, lorsque des rayons émanent d'un même point, ces rayons, après un nombre quelconque de réflexions sur des surfaces quelconques, sont tous normaux à une même surface, que les théorèmes précédents nous apprennent à construire.

Un corollaire important de ce théorème général consiste en ce que l'effet d'un nombre quelconque de réflexions peut être remplacé par celui d'une réflexion unique sur une surface qu'il est facile de déterminer.

Soient en efiet S une surface sphérique ayant pour centre le point lumineux, et S' la surface à laquelle les rayons sont normaux après

leui dernière réflexion : la surface réfléchissante cherchée doit être telle, que toute sphère décrite d'un point de cette surface comme centre et tangente à la surface S soit également tangente à la surface S'. Par conséquent, cette surface réfléchissante est le lieu des points dont les distances nor- ''*'• '• maies aux deux surfaces S et S'

sont égales entre elles , condition qui est suffisante pour la définir complètement. ,

Les théorèmes que nous venons de démontrer pour la réflexion peuvent s'étendre facilement à la réfraction moyennant quelques changements dans leur énoncé.

Soient d'abord (fig. a) des rayons incidents parallèles SI, ST,... tombant sur un plan réfringent xy : coupons ces rayons par un plan qui leur soit normal, et soit MAA' la trace de ce plan sur celui delà figure. Par le point M menons un plan normal aux rayons réfractés.

pian qui rencontre en B, B\... les rayons réfractes correspondant aux rayons incidents SI, SI',.... En désignant par i et r les angles d'incidence et de réfraction , par n Tindice de réfraction du second milieu par rapport au premier, nous aurons

d'où

et

. . lA . IB

lA sin i

115 sin r

Si donc, du point I comme centre, on décrit deux sphères ayant pour rayons l'une lA et l'autre — , la première de ces sphères sera

tangente au plan AÂ' normal aux rayons incidents, et la seconde au plan BB' normal aux rayons réfractés. Le point I étant un point quelconque du plan réfringent , nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Lorsque des rayons incidents tous parallèles entre eux tombent sur une surface réfringente plane, si l'on décrit, des différents points d'incidence comme centres, des sphères tangentes à un plan normal aux rayons incidents et d'autres sphères dont le rayon soit à celui des précédentes comme l'unité est à n, la surface plane, enveloppe des sphères décrites en dernier lieu et située du même côté de U surface réfringente que le plan normal aux rayons incidents, est normale à tous les rayons réfractés.

De là, en suivant exactement la même marche que pourla réflexion , nous pouvons passer au cas où la surface réfringente est quelconque et où les rayons incidents émanent d'un même point lumineux, ce qui nou^ amène au théorème suivant :

Lorsque des rayons incidents émanés d'un même point lumineux tombent sur une surface réfringente quelconque 2 , si l'on imagine one surface sphérique S normale à tous les rayons incidents , et si , des différents points de la surface réfringente comme centres, on décrit des sphères tangentes à la surface S et d'autres sphères dont le

rayon soit à celui des précédentes comme Tunité est à n, ces dernières sphères ont pour enveloppe une surface dont la nappe S\ si<tuée du même c6té de la surface 2 que la surface S, est normale à tous les rayons réfractés ; de plus, si le rayons incidents sont dirigés de la surface S vers la surface 2 , les rayons réfractés sont dirigés de la surface S' vers la surface 2.

Ayant obtenu une surface S' normale aux rayons réfractés après une première réfraction, nous pourrons en déduire une surface S" normale à ces rayons après une seconde réfraction , et ainsi de suite. En combinant ces résultats avec ceux acquis pour la réflexion, nous arrivons définitivement à ce théorème général, qui embrasse tous les cas particuliers que nous venons d'examiner :

Les rayons lumineux issus d'un même point, après avoir subi un nombre quelconque de réflexions sur des surfaces quelconques et un nombre quelconque de réfractions par leur passage à travers des milieux limités jouissant de pouvoirs réfringents différents, sont toujours normaux à une même surface ^^\

Les constructions indiquées plus haut permettent de déterminer une surface normale à tous les rayons après un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions ; mais il faut remarquer qu'il existe une infinité d'autres surfaces jouissant .de la même propriété : si, en effet, sur les droites normales à la première surface, on porte à partir de cette surface des longueurs égales, le lieu des points ainsi obtenus sera encore une surface normale a tous les rayons. »

Le lien intime qui rattache le théorème précédent à la théorie des caustiques est facile à saisir : si tous les rayons réfléchis ou réfractés sont normaux à une même surface , le lieu des intersections de ces rayons, c'est-à-dire la surface caustique, ne sera autre que la surface à deux nappes, lieu des centres de courbure de celle qui coupe orthogonalement les rayons. Par suite, si la surface normale aux rayons est de révolution, l'une des nappes de la surface caus-

(*> Ce Ihéorème porte tantôt le nom de Maiiu , tantôt celui de Gcrgoone : tel qu'il est énoQcë ici, il n'est vrai qae pour les milieux iaotropea ou uniréfringents , mais il est susceptible d'une généralisation qui permet de l'étendre â toute espèce de milieu homogène. (L.)

tique se réduit à Taxe de celte surface de révolution , et f autre est elle-même une surface de révolution ayant pour méridien la développée de la courbe méridienne de la surface normale aux rayons.

Nous avons vu plus haut que Teffet d'un nombre quelconque de réflexions peut être remplacé par celui d'une réflexion unique : on démontrerait de même que TefTet d'un nombre quelconque de réfractions peut être remplacé par celui d'une réfraction unique s'eflectuant suivant un indice choisi arbitrairement. Si l'on donne une surface S normale aux rayons incidents et une surface S' normale aux rayons après leur dernière réfraction, la surface réfringente unique dont l'effet peut remplacer. celui de toutes les réfractions que subissent les rayons s'obtiendra en cherchant le lieu des points dont les distances normales aux surfaces S et S' sont entre elles dans le rapport de l'unité à l'indice donné, condition qui suflitpour définir complètement cette surface.

En considérant la réflexion comme une réfraction s'effectuant suivant l'indice — i , on peut réunir dans un énoncé unique ce qui est relatif à la réflexion et à la réfraction , et dire que l'effet d'un nombre quelconque de réflexions et de réfractions peut être remplacé par l'effet d'une réfraction unique s'effectuant suivant un indice choisi arbitrairement.

Les propositions qui font l'objet de ce paragraphe, bien que leur démonstration paraisse^aujourd'hui fort simple, n'ont cependant été établies que par les efforts de nombreux géomètres. Malus, qui le premier s'est occupé des systèmes de rayons dans l'espace, reconnut au moyen d'une analyse assez laborieuse ^^^ l'existence d'une surface normale à tous les rayons réfléchis ou réfractés; mais, par suite d'une erreur de calcul, il fut conduit à restreindre son théorème au cas d'une réflexion ou d'une réfraction unique. M. Ch. Dupin ^*^découvrit la généralité du théorème et en donna une démonstration géométrique pour le cas de la réflexion , démonstration qui fut étendue au cas de la réfraction, d'abord par Timmermans^'^ et ensuite

(0 Jimm.deCEc, Pofytechn., cAh.XW, t.

(') Applic. de Géom. et de Méc. , A* mémoire , p. 1 87.

(') Correepond. math, et phy$., 1 , 336.

par Gergonne^^L Quant au ihëorèmeque nous venons d'énoncer en dernier lieu, il est dû à Geigonne^^^.

&. Tliéarèaie de Sturoi. — Broltes focAles. — Sturm 9 déduit de la théorie des caustiques une série de conséquences remarquables dans ses études sur la théorie de la vision, où il écarte les restrictions en vertu desquelles on se borne ordinairement à considérer les surfaces qui limitent les milieux réfringents de l'œil comme étant des sphères dont les centres se trouvent sur une même droite. Dans ce travail ^^^ il cherche la manière dont sont distribués les rayons lumineux après un certain nombre de réflexions ou de réfractions, les surfaces de séparation des milieux étant quelconques; et la propriété dont jouissent les rayons réfléchis ou réfractés d'être toujours normaux à une même surface , propriété qui les distingue complètement d'un faisceau de droites situées arbitrairement dans l'espace» le conduit à une remarque importante sur la constitution d*un faisceau lumineux infiniment mince.

Considérons en effet un élément infiniment petit de la surface normale à un système de rayons réfléchis ou réfractés : soient (fiig. 3) MN, M'N', M^N^..., sur cet élément, les lignes de courbure appartenant à un certain système. On sait que les normales menées à une surfece le long d'une ligne de courbure constituent une surface développable : il en résulte que les normales menées à la surface considérée aux diflérents points de MN, qui est un élément d'une des lignes de courbure, sont tangentes à un élément de l'arête de rebroussement de la surface développable dont ces normales font partie, et qu'en prenant MN pour infiniment petit du premier ordre et nageant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, on peut dire que ces normales se rencontrent toutes en un même point H. De même, les normales menées k la surface le long de la courbe M'N' se rencontrent en un même point H\ et, en général, à chaque ligne de courbure de même espèce que MN, tracée sur l'élément superficiel, correspond un point de rencontre des normales. Ces

(') Ann.de Math., \\l,Zo7.

M Ann. de Math., Xiy, lag.

(») C.iî.,XX, 554,761, ia38.

points de rencontre H, H',... forment un élément de courbe qui peut être considéré comme une droite infiniment petite, que doivent rencontrer tous les rayons qui traversent l'élément superficiel.

En menant sur cet élément les lignes de courbure du second système , telles que PQ, on voit de même que tous les rayons qui traversent l'élément rencontrent une seconde droite infiniment petite KK'. Il est d'ailleurs facile de prouver que les deux droites HH' et kk' sont situées dans ^'»-' des plans rectangu-

laires. En effet , les normales menées à la surface aux points A, A', A^..., où la courbe PQ coupe les courbes MN, M'N', MW, ... de l'autre système, passent par les poinis H , H', H^...; donc la droite HH' est sur la surface développable formée par les normales menées le long de la courbe PQ ; on démontrerait de même que la droite kK' est sur la surface développable formée par les normales menées le long de la courbe MN. Or, ces deux surfaces développables , qui se coupent suivant la normale en A, sont, comme on sait, orthogonales : donc tous les rayons qui constituent un faisceau infiniment mince passent par deux droites infiniment petites situées dans deux plans rectangulaires. Sturm a donné à ces deux droites la dénomination de droites focales. Les deux droites focales sont en général à une distance finie l'une de l'autre, mais elles peuvent, dans des cas particuliers, être situées dans un même pian et se couper; lorsqu'il en est ainsi, il existe un véritable Coyer, car alors les rayons qui composent le faisceau infiniment ttûnce, devant tous rencontrer les droites focales qui se coupent et n'étant pas situés dans le même plan, passent nécessairement tous par le point d'intersection de ces droites.

Il résulte de ce que nous venons âe .direqiie, si les rëfflexions et les réfractions successives ont lieu sur des surfaces de révolution ayant toutes le même axe, et si, de plus, le point lumineux est situé sur cet axe, il existe un véritable foyer pour les rayons qui font avec Taxe un angle infiniment petit. En effet, la surface normale à tous les rayons après leur dernière réflexion ou réfraction est évidemment alors de révolution autour de Taxe commun des surfaces réfléchissantes et réfringentes; cette surfacîe présente donc un ombilic au point où elle est rencontrée par Taxe, d*où il suit que cet axe est coupé au même point par tous les rayons qui forment avec lui un ang^e infiniment petit.

Nous allons maintenant indiquer quelques conséquences du théorème de Sturm propres à éclaircir certains points qu'on discute en général d'une manière incomplète dans l'optique géométrique. Nous nous occuperons en premier lieu de la manière dont s'opère la vision des objets plongés dans l'eau. Soit (fig. 4 ) un point lumineux S situé dans Teau, et supposons l'œil de l'observateur placé dans l'air en 0; quelle sera la véritable position de l'image virtuelle du point S? Cette question paratt comporter deux réponses différentes. Considérons, en effet, un faisceau infiniment mince de rayons partant du point S pour pénétrer dans l'œil 0 après réfraction : si, parmi les rayons du faisceau réfracté , nous en prenons un certain nombre qui fassent des angles égaux avec la perpendiculaire SA abaissée du point lumineux sur le plan réfringent, nous voyons que les prolongements de tous ces rayons concourent en un même point S' situé sur SA; si, d'autre part, nous coupons le même faisceau par un plan passant par SA, nous nous assurerons facilement que les prolongements des rayons situés dans ce plan viennent converger en un point S^ différent de S' et qui n'est pas, en général, sur là droite SA. Il semble donc, au premier abord, que la position de l'image virtuelle du point S soit indéterminée; mais cette difficulté disparaît si l'on remarque que les deux points S' et S' appartiennent aux deux droites focales du faisceau infiniment mince formé par les rayons réfractés : l'une de ces droites est ici une portion de la normale SA menée par le point S à la surface réfringente, l'autre est perpendiculaire au plan moyen de réfraction. En réalité, il n^y

a donc aucune image proprement dite du point S; si les rayons réfractés sont reçus sur une lentille sphérique, ces rayons ne convergeront jamais en un point unique, mais formeront, à des distances différentes de la lentille , deux courbes lumineuses. Si , au lieu d'un point lumineux S, on a dans l'eau une droite lumineuse normale au plan réfringent, l'ensemble des droites focales situées sur la normale à la surface réfringente et correspondant aux différents points de la droite lumineuse peut être considéré comme formant une image de cette droite, assez nette, sauf aux deux extrémités, et, en recevant sur une lentille sphérique les rayons réfractés, on obtiendra, à une certaine distance de la lentille, une image de la droite lumineuse, qui, sauf à ses deux extrémités, sera nettement délimitée.

Si, au lieu d'un plan réfringent, les rayons en ont à traverser deux qui se coupent de manière à former un prisme, et si l'on considère un faisceau lumineux de dimensions infiniment petites qui rencontre le prisme très-près de l'arête réfringente, il est facile de s'assurer par le calcul que les deux droites focales du faisceau réfracté se coupent lorsque le prisme est dans la position du minimum de déviation; cette position est donc la seule où un prisme puisse donner une image virtuelle nette des objets qu'on regarde au travers : c'est ce qui explique la nécessité de placer le prisme dans la position du minimum de déviation pour obtenir un spectre pur*

5. ne réctolpenient des surfaces. — Les lois delà réflexion et de la réfraction ne constituent pas à elles seules toute l'optique géométrique : il faut y joindre la loi du décroissement de l'intensité lumineuse en raison inverse du carré des distances, loi qui a

14 INTRODUCTIDN.

servi de point de dîSpart aux méthodes photomëtriques ordinaires. Mais il importe de remarquer que cette dernière loi suppose que les rayons lumineux dont on évalue la faculté éclairante divergent tous à partir d'un point unique, condition qui n'est pas remplie eo général lorsque ces rayons ont subi des réflexions ou des réfractions. Si les rayons lumineux qui éclairent une certaine surface, bieii qu'émanant primitivement d'un même point lumineux, ne sont phis dirigés de façon » concourir en un même point, par suite 4es ter flexions et des réfractions qu'ils ont éprouvées, ia loi du carré de3 distances n'est plus applicable, et on devra alors procéder de h manière suivante pour calculer la quantité de lumière reçue par ufi élément de k surface sur laquelle tombent les rayons.

Soit 0 (fig. 5) le point lumineux dont émanent originairement les rayons : après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions , ces rayons sont tous normaux à une certaine surface S' ( 3 ) ; de plus, l'effet de toutes ces réflexions et ces réfractions peut être remplacé par celui d'une réfraction unique s'opérant par une surface 2 que nous avons appris à déterminer. Ceci posé, pour avoir la quantité de lumière reçue par l'élément MN de la surface éclairée, il suffit de mener, par les difl^érents points du contour qui limite cet élément, des normales MC, ND,... à la surface S', et de

joindre les points oii ces normales rencontrent la surface réfringente 2 air point lumineux 0, puis de multiplier la quantité de lumière contenue dans le faisceau AOB ainsi obtenu par le produit des coefiicients de déperdition correspondant aux diverses réflexions et réfractions que subit la luf»ff»' mière. Si, du point 0

comme centre, on décrit mie surface sphérique ayant pour rayon l'unité, le faisceau AOR

interceptera sur cette surface un certain élément : désignom; par à/ ia surface de cet élément , par ûi la surface de Vêlement MN , enfin par K le produit des coefficients de déperdition dont nous Tenons de parler : Téclairement de Félément MN aura évidemment

pour mesure

Nous allons montrer par deux exemples comment la loi du carré des distantes peut se modifier lorsque les rayons émanés d'un point lumineux ne sont reçus sur un écran qu^après avoir été réfléchis ou réfractés.

Soit d'abord une surface réfléchissante , ayant la forme d'un cylindre parabolique convexe^^ sur laquelle tombent des rayons parallèles à Taxe de la parabole qui forme la directrice de cette surface cylindrique (fig. 6). Si nous prenons pour plan de figure le plan d^ celte parabole, nous voyoas itnmédiatement que les rayons contenus dans ce plan sont dirigés» après réflexion, comme s'ils provenaient du foyer F de la larabole ; le même fait e reproduisant dans tous es plans parallèles à celui te la figure , il existe une igné focale virtuelle pas- ^^y par le point F et paallèle aux génératrices lu cylindre. Si nous conidérons uniquement les p;^ e rayoïfô situés dans le plan

de la figure» il est évident que la quantité de lumière reçue par une droite ajS infiniment petite, mais de longueur constante, située dans ce même plan, varie en raison inverse de la distance de cette droite au point F; si, d'ailleurs^ on déplace la droite ajS parallèlement à la ligne focale, elle recevra toujours la même quantité de lumière, puisque tout est semblable dans tous les plans qu'on peut mener parallèlement à celui de la figure. 11 résulte de là que la quantité de lumière reçue par un élément superficiel quelconque varie en raison inverse de la

simple distance de cet ëiément h ia droite focale, cette distance étant évaluée parallèlement au plan de la parabole directrice.

Dans d'autres circonstances, la loi de l'éclairement peut devenir plus complexe. Ainsi , soit (fig. 7 ) une surface de révolution engendrée par une branche d'hyperbole ayant pour foyer le point F et tournant autour d'un axe OD qui passe par l'autre foyer de l'hyperbole et qui est perpendiculaire k son axe réel. Supposons que des rayons lumineux issus du point 0 se réfléchissent sur cette surface. Si nous considérons un plan quelconque passant par l'axe OD, par exemple le plan de la figure, nous voyons que les rayons contenus dans ce plan sont dirigés, après réflexion, comme s'ils provenaient du foyer F,

et que, par conséquent, la quantité de lumière reçue par une droite infiniment petite, mais de longueur constante, située dans ce plan , varie en raison inverse de la distance de cette droite au foyer F. D'autre part, les rayons qui se réfléchissent aux différents Fig. 7. points d'un parallèle de

la surface vont tous couper l'axe OD en un même point, et la quantité de ces rayons 'que reçoit une droite infiniment petite, de longueur constante et perpendiculaire au plan de la figure, est, par suite, en raison inverse de la distance de cette droite à l'axe OD. Donc la quantité de lumière reçue par un élément superficiel est en raison composée de l'inverse de la distance de cet élément à l'axe OD de la surface réfléchissante et de l'inverse de sa distance à la circonférence que décrit le foyer F lorsqu'on fait tourner la branche d'hyperbole autour de OD.

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