DES LENTILLES ET DES MIROIRS
i ANNALES DE CHIMIE ET DE PHYSIQUE. 3' SÉRIE, TOME XXXI, PAGE 189.
« li W
On admet généralement que l'intensité lumineuse d'une image formée au foyer d'une lentille ou d'un miroir est, à grossissement égal, proportionnelle à l'étendue superficielle de l'ouverture de la lentille. Cette relation paraît, au premier abord, assez évidente; elle est conforme au principe des forces vives, et, les conséquences qu'on en déduit dans la théorie des instruments d'optique se trouvant vérifiées par l'expérience, on n'en saurait révoquer en doute l'exactitude.
Néanmoins on a proposé une difficulté théorique assez sérieuse. D'après le système des ondulations, le foyer d'une lentille est le point où tous les rayons, partis en même temps du point lumineux et réfractés par la lentille, arrivent à la même époque. Ces rayons apportent tous au foyer des vitesses de vibration égales et constamment de même phase; la vitesse de vibration de l'éther est donc, en ce point, proportionnelle au nombre des rayons réfractés, c'està-dire à l'ouverture de la lentille, et, comme l'intensité de la lumière est proportionnelle au carré de la vitesse de vibration, il semble qu'elle soit aussi proportionnelle au carré de l'ouverture de la lentille w.
Cette difficulté vient uniquement de ce qu'on ne distingue pas
(,) Cette difficulté a été indiquée par M. Rabinet dans une communication verbale à l'Académie des sciences, le 1 9 juillet 18A7.
> effets d'un point lumineux de ceux d'un objet lumineux d'étendue nsible.
Un point lumineux dont les rayons viennent tomber sur une lenle convergente donne lieu à la formation d'un point brillant, en n foyer conjugué, où l'intensité est réellement proportionnelle au rré de Faire du diaphragme qui limite la section efficace de la i tille. Mais, autour de ce point brillant, la lumière est sensible wpi'à une certaine distance, et forme une série de franges, altertivement obscures et brillantes, dont la grandeur et la figure déndent de la grandeur et de la figure du diaphragme. C'est ainsi le, dans les lunettes astronomiques, les images des étoiles brilates s'entourent tantôt d'une série de cercles, tantôt de rayons sergents suivant la forme du diaphragme placé devant l'objectif, observations de M. Arago et des deux Herschel.) Si, au lieu d'un point lumineux, c'est un objet uniformément illant et d'étendue angulaire sensible qui envoie ses rayons sur la itille, à chaque point de cet objet correspond, comme il vient Hre dit, un système de franges qui environnent le foyer conjugué, les dimensions de l'image géométrique sont grandes par rapport celle d'un de ces systèmes, en chaque point de cette image, expté tout près de ses limites (1) , il y aura une intensité lumineuse nstante, résultant de la superposition d'un grand nombre de inges obscures et brillantes appartenant à divers systèmes. On nçoit que cette superposition puisse produire une intensité lumiuse simplement proportionnelle à l'aire du diaphragme. Ces remarques très-simples suffisent pour écarter les difficultés; us, pour résoudre complètement la question, il est nécessaire de montrer que la théorie des ondes conduit au principe de l'exacte oportionnalité entre l'éclairement des images et l'étendue de la rface efficace des lentilles. On y parvient à l'aide des principes qui rvent à l'explication de la diffraction.
Considérons d'abord le cas particulier où la lentille est limitée r un diaphragme rectangulaire. Prenons un point lumineux situé
{l) En raison de la politesse des longueurs d'ondulation par rapport aux dimensions de lilles, celle condition peut être satisfaite par des images réellement Irès-petites.
86 INÎ ENSITÉ DES IMAGES LUMINEUSES
sur l'axe de la lentille. On sait que Tonde émanée de ce point est transformée par la lentille en une onde sphérique concave ayant pour centre le foyer conjugué (1} . Soit, en ce foyer, l'origine d'un système de coordonnées rectangulaires dont l'axe des z soit dirigé suivant Taxe de la lentille, et les deux autres axes parallèlement aux côtés du diaphragme. Désignons par x, y, z les coordonnées d'un élément d 2 co de l'onde sphérique; par £, >j, celles d'un point voisin du foyer, situé dans le plan des x, y, c'est-à-dire dans le plan où se forme l'image lumineuse. Si l'on représente, à un instant donné,
par
Sin 27T?jp
la vitesse de vibration des molécules de l'onde sphérique, la vitesse de vibration envoyée par l'élément (Pgj au point (?,»/) pourra être représentée proportionnellement par
a? (k> sin 27T l r-p — — j* -
En appelant K la distance focale, on a
et, par suite,
\J{x - £) 2 + (y - tjf+ z* - V^R 2 - *xÇ - 9.yrj + £ 2 + i\ et , à cause de la petitesse de £ et de 17,
D'ailleurs, dans le cas d'une lentille peu étendue, le seul qu'il y ait à considérer, d 2 co est sensiblement égal à dx dy, et l'expression ci-
{l) Ce principe esl démontré dans plusieurs ouvrages d'oplique, notamment dans le* Mathematical TracU de M. Airy. Il était d'ailleurs connu de Fresnel, qui en a fait usa/f dans son mémoire sur la diffraction.
dessus se réduit à
dx dy sin a * l t " ~ X în — j
, . (x£ + yri\ . (t \\\
=--=-- dx dy cos 27r ( — tt* — ) sm ri7r ( q-, - «- )
dx dy sm 37r ( ' R ^ J cos 97r ( q-, - - j- 1
La vitesse de vibration au point (£,>/) étant la somme algébrique des vitesses envoyées par les divers éléments de l'onde, on en aura la valeur en intégrant l'expression précédente entre les limites déterminées par le diaphragme. Soient a et b les coordonnées parallèles aux x et aux y d'un des sommets du diaphragme rectangulaire, c et à les dimensions des côtés de ce diaphragme, on aura à déterminer
(i R\rb + d fa + Cj (x£+yn\
8in9 *lT-jJJ & d yJ a tew^K-mr)
+ C0S2 *(ï-ï)/^ dy£^ C dxsin^(^--^)^
et, d'après les règles connues de la théorie des ondulations , la somme des carrés des deux intégrales, par lesquelles sin 27r hj— srj et
= — v- J sont respectivement multipliés, exprimera l'intensité
lumineuse résultante. Or il n'est pas difficile de voir que les deux intégrales se réduisent à
Sin 7T ôt • Sin 7T ôT COS 97T
et à
R'X' • ,? ■ rf. • ( ' + s)g+(» + ;)- ^^sinw^j-sinirgj «ma»— -^
dont la somme des carrés est
En posant
cf dm
celte expression se met sous la forme
sin*u sin*f
et l'on voit qu'en chaque point l'intensité de la lumière est proportionnelle au carré de cd, c'est-à-dire au carré de l'ouverture rectangulaire.
Un autre point de l'objet lumineux, ayant son foyer conjugué dans le plan qui a été pris pour plan des xy, au point (a, /3), donnera un autre système de franges qui sera représenté, à très-peu près, par les formules précédentes, où l'on aura changé Ç en f — a, ti en >/ — /3 , c'est-à-dire par
Les intensités développées par les divers points de l'objet lumineux au point (£»>/) s'ajouteront arithmétiquement , en vertu de la règle connue de l'addition des lumières qui proviennent de sources différentes. La valeur définitive de l'intensité résultante au point (£«»/) sera donc l'intégrale
— T7£ -77 ^71 • Sin*7T ni • SHT7T ôT
prise enlre les limites convenables.
Si, comme on Ta supposé, les dimensions de l'image géométrique de l'objet lumineux sont très-grandes par rapport à celles de la portion sensible d'un système de franges, la différence des limites sera très-grande par rapport aux longueurs d'ondulation, et l'on pourra, excepté si le point (£, rj) est très-voisin de la limite de l'image géométrique, remplacer l'intégrale précédente par celle-ci, dont la valeur est indépendante de £ et de rj, et peut, d'ailleurs, s'ob-
tenir aisément :
/°° r°° R*X* c£ dn
= J -co *S? Sm » RXj - oo * ^V Sl " ' RX '
En posant
*RX = a ' *RX = r '
et faisant usage de la formule connue
°° , sin' u du — — = 7r,
cette intégrale se réduit à
expression qui est simplement proportionnelle à l'étendue de l'ouverture rectangulaire.
Le principe est donc démontré pour le cas d'une ouverture rectangulaire. Prenons maintenant le cas où le diaphragme est percé de deux ouvertures rectangulaires, égales ou inégales , situées à une distance quelconque l'une de l'autre , mais ayant leurs bords parallèles.
Conservons les mêmes notations que précédemment , et représentons par a l ,b l ,c ly d x les données relatives à la seconde ouverture qui sont représentées par a, b, c, d pour la première; le point de l'objet lumineux situé sur l'axe de la lentille enverra au point (Ç, v) une vitesse de vibration représentée par
tb + d , ftt+c , xÇ+yy
(t R\ / n>+« , fu+c sin97M;p — -j-1 ( I dy \ dxcosfM
RX
+ 1 dy I a#cos97r
RX
yrj
(,) Kkllam), Tramartions de In Société phibnophique de Cambridge* t. VII, p. 1 56.
En effectuant les intégrations, et exécutant quelques transformations très-simples, cette expression se met sous la forme
il R\ R'X S sin97r (___j__
f • dt,
sin ir jtt sin ir ^- cos air
IU
RX
+ sin 7T ^> sin tt îtv cos
RX
aw iû J
[sin n jû sin ir ^ sin air ^
. . e,e . d,n . ( fl '"^) g+ ( 6 - + r)"
+ sin7r^r sin7r^-r sin qw rrj
D'où Ton conclut l'intensité de la lumière au point £, rj y savoir
sur 7r «>r sur w ïtt + sin^w -ôy sin 2 n t^
et* . cf»? . c,£ . rf^ + a smw Ri Slnw RX Sln n RX Sln * RX
XCOS 27T
RX
XCOS97T
RX
+ 9 sin 7i ôt sin 7i ^r sin 7r ^- sin n ôt
Xsin Qw
RX
Xsin îitt
RX
Les mêmes raisonnements que dans le cas d'une seule ouverture ont voir que l'intensité définitive s'obtient en multipliant l'expression précédente par dtzdrj, et l'intégrant par rapport aux deux variables le — oo à + oo . Les parties de l'intégrale données par les deux preaiers termes de la quantité entre crochets se réduisent évidemment à
[uantité proportionnelle à la somme des étendues des deux ouverures rectangulaires. Quant aux autres parties de l'intégrale, on peut lémontrer qu'elles sont nulles , et qu'en conséquence l'intensité est >ien proportionnelle à la somme de ces étendues.
En effet, on peut remplacer la somme du troisième et du quarième terme de l'expression comprise entre les crochets par la suiante, qui lui est identique :
cç . drj . c.£ . d t rt
a sm * jû sin * ïû sin * iû sin * ïtt
