INTRODUCTION

Dans son premier Mémoire sur la distribiilion de rélectricité (^), Poisson a posé, mais non résolu, le problème de Téquilibre électrique d'un sphéroïde conducteur. En écrivant que le potentiel est constant en tout point intérieur au sphéroïde, il arrive à une condition que l'on peut énoncer ainsi : si Ton divise la densité électrique en un point par la puissance n — i du rajon vecteur et qu'on dévelo[)pc le quotient en une série de fonctions de Laplace, la fonction d'ordre n doit manquer dans le développement. Cette condition détermine complètement la densité inconnue; mais son expression explicite paraît présenter des obstacles qui ont fait reculer Poisson. <( Userait difficile, dit-il, de donner une solution générale de celle question », et il se restreint au cas des sphéroïdes infiniment peu différents de la sphère, c'est-à-dire à des surfaces ayant en tous leurs points une excentricité dont le carré est négligeable. Il trouve alors pour la densité une série de fonctions sphériques, qui se déduit par une loi très simple de la série de même nature qui représente le rayon vecteur.

J'ai repris dans ce travail la question de la distribution électrique sur un sphéroïde sensiblement différent de la sphère; mais j'ai

(') Thèse do Doctorat, publiée dans les Annales de l'École Normale; 1886. (•) Mémoires de V Institut pour 181 1.

4 DISTRIBUTION DE L'ÉLEGTRICITÉ.

abordé le problème par une vole qui me semble nouvelle. Au fond, la méthode de Poisson revient, comme presque toutes les méthodes usitées dans la solution des questions d^équilibre électrique, à rintégration de l'équation aux dérivées partielles, à trois variables indépendantes, AV= o. Celle que j'ai adoptée consiste dans l'intégration d'une équation fonctionnelle à deux variables indépendantes seulement. Cette équation fonctionnelle convient à tous les conducteurs fermés; elle ne régit pas la classe infiniment plus étendue des conducteurs ouverts ; mais elle semble jouer dans certaines questions d'Électrostatique un rôle d'autant plus efficace que sa portée est plus limitée : c'est là une loi de compensation d'une application fréquente en Mathématiques.

Dans la solution du problème qui nous occupe, j'ai tenu compte de l'influence, négligée par Poisson, de masses électriques fixes. Ce point est capital; car trouver l'équilibre électrique d*un conducteur soustrait à toute influence, c'est traiter un problème d'Électrostatique très incomplet et parfois relativement très facile. On en peut juger par le cas bien connu de l'ellipsoïde. J'ai tenu à résoudre la question des sphéroïdes de forme quelconque pour donner une idée de l'énorme complication du problème général de la distribution électrique. Cette complication, quoique grande encore, se dissimule dans les solutions élégantes données pour des cocps à forme simple, tels que l'ellipsoïde, le tore, les deux sphères, les sphères sécantes, la calotte spliérique, le lemniscatoïde de révolution (*). On verra que la densité électrique sur un sphéroïde se présente sous la forme d'une série d'intégrales définies dont chacune, pour être évaluée, exige que l'on sache calculer la précédente; il est vrai qu'à défaut d'une évaluation exacte, ces intégrales donnent prise successivement aux méthodes d'approximation indéfinie des quadratures mécaniques.

Mais, lors même qu'on saurait trouver la distribution de l'électricité sur tous les conducteurs fermés imaginables, on n'aurait fait que le premier pas dans la solution du problème général de l'Électrostatique. L'électricité en équilibre réside tout entière à la surface des corps conducteurs; on peut donc supposer ces corps vidés, pour ainsi dire, de leur substance intérieure et réduits à

( ' ) Voir le tome II des Fonctions sphériques de Heine.