Chapitre IX
Soient respectivement
deux séries réelles. La suite des expressions imaginaires
formera ce qu’on appelle une série imaginaire. Soit, de plus,
la somme des n premiers termes de cette série. Selon que, pour des valeurs croissantes de n, sn convergera ou non vers une limite fixe, on dira que la série (3) est convergente et qu’elle a pour somme cette limite, ou bien qu’elle est divergente et n’a pas de somme. Le premier cas aura évidemment lieu si les deux sommes
p0+p1+…+pn−1,q0+q1+…+qn−1
convergent elles-mêmes, pour des valeurs croissantes de n, vers des limites fixes, et le second, dans la supposition contraire. En d’autres termes, la série (3) sera toujours convergente en même temps que les séries réelles (1) et (2). Si ces dernières, ou l’une d’elles seulement, deviennent divergentes, la série (3) le sera également.
Dans tous les cas possibles, le terme de la série (3) qui correspond à l’indice n, savoir
pn+qn−1,
est ce qu’on nomme son terme général.
L’une des séries imaginaires les plus simples est celle qu’on obtient en attribuant à la variable x, dans la progression géométrique
une valeur imaginaire. Concevons, pour fixer les idées, que l’on fasse
z désignant une nouvelle variable supposée réelle, et θ un arc réel. La progression géométrique dont il s’agit deviendra
Pour obtenir l’équation qui détermine la somme des n premiers termes de la série précédente, il suffit de remplacer x par z(cosθ+−1sinθ) dans la formule
1+x+x2+…+xn−1=11−x−xn1−x.
On trouve de cette manière
et, comme, pour des valeurs croissantes de n, le module de l’expression imaginaire
zn(cosnθ+−1sinnθ)1−zcosθ−zsinθ−1,
savoir
±zn(1−2zcosθ+z2)12,
converge vers la limite zéro ou croît au delà de toute limite, suivant qu’on suppose la valeur numérique de z inférieure ou supérieure à l’unité, on doit conclure de l’équation (6) que la série (5) est, dans la première hypothèse, une série convergente qui a pour somme
et, dans la seconde hypothèse, une série divergente qui n’a plus de somme.
La somme d’une série imaginaire convergente s’indique, comme si la série était réelle, par la somme de ses premiers termes, suivie de points….
Cela posé, si l’on appelle s la somme de la série (3) supposée convergente, et que, dans la formule (4), on fasse croître n indéfiniment, on trouvera, en passant aux limites,
De même, lorsqu’on supposera la valeur numérique de z inférieure à l’unité, on tirera de l’équation (6), en faisant croître n au delà de toute limite assignable,
En vertu de la formule (7), le premier membre de l’équation (8) peut être présenté sous la forme suivante :
(1+zcosθ+z2cos2θ+…)+(zsinθ+z2sin2θ+…)−1.
On aura donc, pour des valeurs numériques de z inférieures à l’unité,
On en conclura
Ainsi la substitution d’une valeur imaginaire de x dans la progression géométrique
suffit pour conduire à la sommation des deux séries
toutes les fois que la variable z reste comprise entre les limites
z=−1,z=+1,
c’est-à-dire toutes les fois que ces deux séries sont convergentes.
Les premiers membres des équations (10) étant (en vertu du théorème I, Chapitre VI, § I) fonctions continues de la variable z, dans le voisinage de toute valeur particulière comprise entre les limites
z=−1,z=+1,
le premier membre de l’équation (9) sera lui-même, dans le voisinage d’une semblable valeur, fonction continue de z. Or, ce premier membre n’est autre chose que la somme de la série (5), dont les différents termes restent fonctions continues de entre des limites quelconques. En généralisant la remarque qu’on vient de faire, on obtient la proposition suivante :
Théorème I. — Lorsque les différents termes de la série (3) sont des fonctions d’une même variable z, continues par rapport à cette variable dans le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle cette série est convergente, la somme s de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de z.
Démonstration. — En effet, dans le voisinage de la valeur particulière attribuée à la variable 5, la série (3) ne peut être convergente et avoir pour ses différents termes des fonctions continues de z, qu’autant que les séries réelles (1) et (2) jouissent l’une et l’autre des mêmes propriétés : or, dans cette hypothèse, chacune des sommes
p0+p1+p2+…,q0+q1+q2+…,
étant (en vertu du théorème I, Chapitre VI, § I) fonction continue de la variable z, il en résulte que la somme de la série (3), savoir
s=(p0+p1+p2+…)+(q0+q1+q2+…)−1
sera aussi fonction continue de cette variable.
Supposons maintenant que l’on désigne par
ρ0,ρ1,ρ2,…
les modules des différents termes de la série (3), et par
cosθ0+−1sinθ0,cosθ1+−1sinθ1,cosθ2+−1sinθ2,…
les expressions réduites correspondantes, en sorte qu’on ait généralement
ρn=(pn2+qn2)12,
pn+qn−1=ρn(cosθn+−1sinθn).
La série (3) deviendra
et l’on pourra ordinairement décider si cette série est convergente ou divergente, à l’aide du théorème que je vais énoncer.
Théorème II. — Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge, tandis que n croît indéfiniment, l’expression (ρn)1n. Suivant que la plus grande de ces limites sera inférieure ou supérieure à l’unité, la série (3) sera convergente ou divergente.
Démonstration. — Considérons d’abord le cas où les plus grandes valeurs de l’expression (ρn)1n convergent, tandis que n croit indéfiniment, vers une limite inférieure à l’unité. Dans ce cas, la série
étant convergente (Chapitre VI, § II, théorème I), les séries
le seront également (Chapitre VI, § III, théorème IV), et la convergence de ces dernières entraînera celle de la série (12), qui n’est que la série (3) présentée sous une autre forme.
Supposons en second lieu que, pour des valeurs croissantes de n, les plus grandes valeurs de (ρn)1n convergent vers une limite supérieure à l’unité. Dans cette hypothèse, on prouvera, par un raisonnement semblable à celui que nous avons employé dans le Chapitre VI (§ II, théorème I), que les plus grandes valeurs du module
ρn=(pn2+qn2)12
croissent avec n au delà de toute limite, ce qui ne peut être vrai qu’autant que les plus grandes valeurs des deux quantités pn,qn, ou au moins de l’une d’elles, croissent de même indéfiniment. Or, comme ces deux quantités sont les termes généraux des séries (1) et (2), on doit conclure que, de ces deux séries, l’une au moins est divergente, ce qui suffit pour assurer la divergence de la série (3).
Scolie I. — Le théorème qu’on vient d’établir ne laisse d’incertitude sur la convergence ou la divergence d’une série imaginaire que dans le cas particulier où la limite des plus grandes valeurs de (ρn)1n devient égale à l’unité. Dans ce cas particulier, il n’est pas toujours facile de décider la question. Toutefois on peut affirmer que, si la série (13) est convergente, les séries (14), et par suite la série (12), le seront pareillement. La réciproque n’est pas vraie, et il pourrait arriver que, la série (12) restant convergente, la série (13) fût divergente. Ainsi, par exemple, si l’on suppose
ρn=1n+1,θn=(n+12)π,
on obtiendra, à la place des séries (12) et (13), les deux suivantes
−1,−12−1,+13−1,−14−1,…,1,12,13,14,…,
dont la seconde est divergente, tandis que la première reste convergente et a pour somme
−1l(2),
l désignant la caractéristique des logarithmes népériens.
Scolie II. — Lorsque, pour des valeurs croissantes de n, le rapport
ρn+1ρn
s’approche indéfiniment d’une limite fixe, cette limite est également celle vers laquelle convergent les plus grandes valeurs de l’expression (ρn)1n.
Le théorème V du § III (Chapitre VI) est évidemment applicable aux séries imaginaires aussi bien qu’aux séries réelles. Quant au théorème VI du même paragraphe, on doit, lorsqu’il est question des séries imaginaires, le remplacer par le suivant :
Théorème III. — Soient
deux séries convergentes, mais imaginaires, qui aient respectivement pour sommes s et s′. Si chacune de ces séries reste convergente lorsqu’on réduu ses différents termes à leurs modules respectifs,
sera une nouvelle série convergente imaginaire, qui aura pour somme ss′.
Démonstration. — Désignons respectivement par sn,s'n les sommes des n premiers termes des deux séries (15), et par s′'n la somme des n premiers termes de la série (16). On trouvera
sns'n−s′'n=un−1vn−1+(un−1vn−2+un−2vn−1)+…+(un−1v1+un−2v2+…+u2vn−2+u1vn−1).
Désignons encore par ρn et ρ'n les modules des expressions imaginaires un et vn, en sorte que ces expressions soient déterminées par des équations de la forme
un=ρn(cosθn+−1sinθn),vn=ρ'n(cosθ'n+−1sinθ'n).
Les séries réelles
ρ0,ρ1,ρ2,…,ρn,…,ρ'0,ρ'1,ρ'2,…,ρ'n,…
étant convergentes par hypothèse, on en conclura, comme dans le Chapitre VI (§ III, théorème VI), que la somme
ρn−1ρ'n−1+(ρn−1ρ'n−2+ρn−2ρ'n−1)+…+(ρn−1ρ'1+ρn−2ρ'2+…+ρ2ρ'n−2+ρ1ρ'n−1)
converge, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro. Il en sera de même a fortiori des deux sommes
ρn−1ρ'n−1cos(θn−1+θ'n−1)+[ρn−1ρ'n−2cos(θn−1+θ'n−2)+ρn−2ρ'n−1cos(θn−2+θ'n−1)]+………………………………………………+[ρn−1ρ'1cos(θn−1+θ'1)+ρn−2ρ'2cos(θn−2+θ'2)+…+ρ2ρ'n−2cos(θ2+θ'n−2)+ρ1ρ'n−1cos(θ1+θ'n−1)]
et
ρn−1ρ'n−1sin(θn−1+θ'n−1)+[ρn−1ρ'n−2sin(θn−1+θ'n−2)+ρn−2ρ'n−1sin(θn−2+θ'n−1)]+………………………………………………+[ρn−1ρ'1sin(θn−1+θ'1)+ρn−2ρ'2sin(θn−2+θ'2)+…+ρ2ρ'n−2sin(θ2+θ'n−2)+ρ1ρ'n−1sin(θ1+θ'n−1)],
dont la première représente évidemment la partie réelle de l’expression imaginaire
sns'n−s′'n
tandis que la seconde représente le coefficient de −1 dans cette expression. Par suite, sns'n−s′'n convergera aussi, pour des valeurs croissantes de n, vers la limite zéro ; et, comme sns'n s’approche indéfiniment de la limite ss′, il faudra de toute nécessité que l’expression s′'n, c’est-à-dire la somme des n premiers termes de la série (16), s’approche elle-même indéfiniment de cette dernière limite. Il en résulte 1 que la série (16) est convergente ; 2 que cette série convergente a pour somme ss′.
§ II. — Des séries imaginaires ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d’une variable.
Soit x une variable imaginaire. Toute série imaginaire ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la variable x sera de la forme
a0+b0−1,(a1+b1−1)x,(a2+b2−1)x2,…,
…,(an+bn−1)xn,…,
a0,a1,a2,…,an,…, b0,b1,b2,…,bn,…, dots désignant deux suites de quantités constantes. Dans le cas où les constantes de la seconde suite s’évanouissent, la série précédente se réduit à
Nous considérerons en particulier dans ce paragraphe les séries de cette dernière espèce. Si, pour plus de commodité, on pose
z désignant une variable réelle et θ un arc réel, la série (1) deviendra
Soit maintenant, comme dans le Chapitre VI (§ IV), A la plus grande des limites vers lesquelles converge, tandis que n croit indéfiniment, la racine n de la valeur numérique de an. La plus grande des limites vers lesquelles convergera dans la même hypothèse la racine n du module de l’expression imaginaire
anxn=anzn(cosnθ+−1sinnθ)
sera équivalente à la valeur numérique du produit
Az;
et en conséquence (voir ci-dessus le § I, théorème II) la série (3) sera convergente ou divergente suivant que le produit Az aura une valeur numérique inférieure ou supérieure à l’unité. On déduit immédiatement de cette remarque la proposition suivante :
Théorème I. — La série (3) est convergente pour toutes les valeurs de z comprises entre les limites
z=−1A,z=+1A,
et divergente pour toutes les valeurs de z situées hors des mêmes limites. En d’autres termes, la série (1) est convergente ou divergente suivant que le module de l’expression imaginaire x est inférieur ou supérieur à 1A.
Scolie. — Lorsque la valeur numérique du rapport an+1an converge, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite fixe, cette limite est précisément la valeur de la quantité positive désignée par A.
Corollaire I. — En comparant le théorème précédent au théorème du Chapitre VI (§ IV), on reconnaîtra que, si la série (1) est convergente pour une certaine valeur réelle de la variable, elle demeurera convergente pour toute valeur imaginaire dont cette valeur réelle serait, au signe près, le module. Par suite, si la série (1) est convergente pour toutes les valeurs réelles de la variable x, elle restera convergente, quelle que soit la valeur imaginaire que l’on attribue à cette variable.
Corollaire II. — Pour appliquer le théorème I et le précédent corollaire, considérons les quatre séries
μ désignant dans la seconde une quantité quelconque. De ces quatre séries les deux premières, ainsi que la dernière, restent convergentes pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites
et la troisième pour des valeurs réelles quelconques de la variable x. Mais si, au lieu d’attribuer à x une valeur réelle, on suppose
à la place de ces quatre séries, on obtiendra les suivantes
dont les deux premières et la dernière resteront convergentes pour toutes les valeurs de z comprises entre les limites
z=−1,z=+1,
tandis que l’avant-dernière sera toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle de z.
Après avoir fixé les limites entre lesquelles il faut renfermer z pour rendre la série (3) convergente, nous ferons remarquer que, en vertu des principes établis dans le paragraphe précédent, les théorèmes III, IV et V du Chapitre VI (§ IV), avec leurs corollaires, peuvent être étendus au cas où la variable x devient imaginaire. On devra seulement admettre, dans l’énoncé du théorème IV, que chacune des séries
a0,a1x,a2x2,…;b0,b1x,b2x2,…
reste convergente lorsqu’on réduit ses différents termes non plus à leurs valeurs numériques, mais à leurs modules respectifs. Cela posé, si l’on désigne par ϖ(μ) ce que devient le second membre de l’équation (15) (Chapitre VI, § IV), lorsqu’on attribue à x la valeur imaginaire
z(cosθ+−1sinθ),
ou, en d’autres termes, si l’on fait
on trouvera, au lieu de la formule (16) (Chapitre VI, § IV), la suivante :
Il est essentiel de remarquer que cette dernière formule subsistera uniquement pour les valeurs de z comprises entre les limites z=−1, z=+1, et qu’entre ces limites la fonction imaginaire ϖ(μ), c’est-à-dire la somme de la série (9), sera en même temps continue par rapport à z et par rapport à μ (voir ci-dessus le § I, théorème I).
Concevons à présent qu’au lieu de la série (9) on considère généralement la série (3), et que dans cette dernière on fasse varier la valeur de z par degrés insensibles. Tant que la série (3) sera convergente, c’est-à-dire tant que la valeur de z restera comprise entre les limites
−1A,+1A,
la somme de la série sera une fonction imaginaire continue de la variable z. Soit ϖ(z) cette fonction continue. L’équation
ϖ(μ)=a0+a1z(cosθ+−1sinθ)+a2z2(cos2θ+−1sin2θ)+…
subsistera pour toutes les valeurs de z renfermées entre les limites −1A,+1A, ce que nous indiquerons en écrivant ces limites à côté de la série, comme on le voit ici :
(z=−1A,z=+1A).
On doit observer que l’équation précédente équivaut toujours à deux équations réelles. En effet, si l’on pose
φ(z) et χ(z) désignant deux fonctions réelles, on tirera de l’équation (14)
(z=−1A,z=+1A).
Lorsque la série (3) est donnée, on peut quelquefois en déduire la valeur de la fonction ϖ(x) sous forme finie, et c’est là ce qu’on appelle sommer la série. Nous avons déjà, dans le § I, résolu cette question pour la série (8). Nous allons maintenant chercher à la résoudre pour les séries (9), (10), (11); et, en conséquence, nous traiterons l’un après l’autre les trois problèmes qui suivent.
Probleme I. — Trouver la somme de la série
dans le cas où l’on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites
z=−1,z=+1.
Solution. — Soit ϖ(μ) la somme cherchée. En désignant par μ′ une quantité réelle différente de μ, on trouvera
L’équation précédente, étant semblable à l’équation (2) du Chapitre VIII (§ V), se résoudra de la même manière ; et l’on en conclura
ϖ(μ)=rμ(cosμt+−1sinμt),
le module r et l’angle t étant deux quantités constantes par rapport à μ, mais qui dépendent nécessairement de z et de θ. On aura donc, entre les limites z=−1, z=+1,
Pour déterminer les valeurs inconnues de r et de t, on fera, dans l’équation (17), μ=1, et l’on en tirera
ou, ce qui revient au même,
1+zcosθ=rcost,zsinθ=rsint.
On trouvera par suite
r=(1+2zcosθ+z2)12;
puis, en observant que cost=1+zcosθr reste positif pour toute valeur numérique de z inférieure à l’unité, et désignant par k un nombre entier quelconque,
t=arctangzsinθ1+zcosθ±2kπ.
Cela posé, si l’on fait, pour abréger,
l’équation (17) deviendra
(z=−1,z=+1),
la valeur de t étant déterminée par la formule
dans laquelle le nombre entier k ne peut dépendre que des quantités z et θ.
Remarquons à présent que le premier membre de l’équation (19) est, entre les limites z=−1, z=+1, une fonction continue de z, qui varie avec z par degrés insensibles, quelle que soit la valeur de μ. Le second membre de l’équation devra donc jouir de la même propriété, ou, en d’autres termes, les quantités
(1+2zcosθ+z2)μ2cosμt,(1+2zcosθ+z2)μ2sinμt
et, par conséquent, les suivantes
cosμt,sinμt
devront varier avec z par degrés insensibles, pour toutes les valeurs possibles de μ. Or cette condition ne peut être remplie que dans le cas où t lui-même varie avec z par degrés insensibles. En effet, si un accroissement infiniment petit de z produisait un accroissement fini de t, de manière à changer t en t+a, a désignant une quantité finie, les cosinus et sinus des deux arcs
μt,μ(t+a)
ne pourraient demeurer sensiblement égaux, qu’autant que la valeur numérique du produit μa serait à très peu près un multiple de la circonférence, ce qui ne peut être vrai que pour des valeurs particulières du coefficient μ, et non pas généralement pour des valeurs finies quelconques de ce coefficient. On doit donc conclure que l’arc t=s±2kπ est fonction continue de z; et, comme des deux quantités s,k, la première, déterminée par l’équation (18), varie avec z d’une manière continue entre les limites z=−1, z=+1, tandis que la seconde, assujettie à rester toujours entière, n’admet que des variations finies d’une ou de plusieurs unités, il est clair que, pour satisfaire à la condition énoncée, la quantité s devra varier toute seule, et la quantité k demeurer constante. Cette dernière quantité sera donc indépendante de z, et, pour en connaître la valeur dans tous les cas possibles, il suffira de la chercher en supposant z=0. Comme on a, dans cette hypothèse, s=0, t=±2kπ, on tirera de l’équation (19)
quelle que soit la valeur de μ, et par suite
k=0.
Cela posé, la formule (20) donnera généralement
t=s,
et l’équation (19) se trouvera réduite à
(z=−1,z=+1).
De plus, si l’on a égard à la formule (27) du Chapitre VII (§ IV), on reconnaîtra facilement que le second membre de l’équation (21) peut être représenté par la notation
[1+z(cosθ+−1sinθ)]μ.
On aura donc, en supposant toujours la valeur de z comprise entre les limites −1 et +1,
(z=−1,z=+1),
En d’autres termes, l’équation (20) du Chapitre VI (§ IV), savoir
subsistera, non seulement si l’on attribue à la variable x des valeurs réelles comprises entre les limites −1,+1, mais encore si l’on fait
la valeur numérique de z étant inférieure à l’unité.
Corollaire I. — La formule (21), comme toutes les équations imaginaires, équivaut à deux équations réelles, qu’on obtient en égalant de part et d’autre les parties réelles et les coefficients de −1. On trouvera de cette manière
(z=−1,z=+1),
la valeur de s étant toujours déterminée par l’équation (18).
Corollaire II. — Si dans les formules (22) et (23) on pose μ=−1, et que l’on y remplace z par −z, on obtiendra les équations (8) et (10) du § I.
Corollaire III. — Si l’on pose θ=π2 ou, ce qui revient au même,
cosθ=0,sinθ=1,
la valeur de s, donnée par la formule (18), deviendra
s=arctangz,
et restera comprise entre les limites −π4,+π4 pour toute valeur numérique de z inférieure à l’unité. Dans la même hypothèse, on aura évidemment
z=tangs=sinscoss,
(1+2zcosθ+z2)μ2=(sécs)μ=1(coss)μ,
et l’on tirera des équations (23), mais seulement pour les valeurs de s comprises entre les limites dont il s’agit,
(s=−π4,s=+π4).
Par conséquent, si dans les formules (12) du Chapitre VII (§ II) on remplace le nombre entier m par une quantité quelconque μ, ces formules, qui avaient lieu pour toutes les valeurs réelles possibles de l’arc z, ne seront plus vraies généralement que pour des valeurs numériques de cet arc inférieures à π4.
Problème II. — Trouver la somme de la série
quelle que soit la valeur numérique de z.
Solution. — Si dans les équations (18) et (21) on remplace z par αz et μ par 1α, α désignant une quantité infiniment petite, on trouvera, pour toutes les valeurs de αz comprises entre les limites −1,+1, ou, ce qui revient au même, pour toutes les valeurs de z comprises entre les limites −1α,+1α,
(z=−1α,z=+1α),
l’arc s étant déterminé par la formule
Si maintenant on fait décroitre indéfiniment dans l’équation (25) la valeur numérique de α, on trouvera, en passant aux limites,
(z=−∞,z=+∞).
Il reste à chercher la limite du produit
(1+2αzcosθ+α2z2)12α(cossα+−1sinsα),
et, par conséquent, celle de chacune des quantités
(1+2αzcosθ+α2z2)12α,sα.
Or, en premier lieu, si l’on fait
2αzcosθ+α2z2=β,
on en conclura
(1+2αzcosθ+α2z2)12α=(1+β)zcosθ+αz22β
et, par suite,
lim(1+2αzcosθ+α2z2)12α=[lim(1+β)1β]lim(zcosθ+αz22)=ezcosθ.
De plus, la valeur de s donnée par l’équation (26) étant infiniment petite, le rapport
stangs=1sinsscoss
aura pour limite l’unité ; et, comme on tire de l’équation (26)
tangsα=zsinθ1+αzcosθ,sα=stangszsinθ1+αzcosθ,
on trouvera, en passant aux limites,
lim(sα)=zsinθ.
Cela posé, il est clair que le second membre de l’équation (25) aura pour limite l’expression imaginaire
ezcosθ[cos(zsinθ)+−1sin(zsinθ)].
en sorte que la formule (27) deviendra
(z=−∞,z=+∞).
la valeur de la variable réelle z étant complètement arbitraire, puisqu’elle peut être choisie à volonté entre les valeurs extrêmes z=−∞, z=+∞.
Corollaire I. — Si, en comparant les deux membres de l’équation (28), on égale de part et d’autre : 1 les parties réelles ; 2 les coefficients de −1 on obtiendra les deux équations réelles
(z=−∞,z=+∞).
Corollaire II. - Si l’on suppose θ=π2 o ou, ce qui revient au même,
cosθ=0,sinθ=1,
les équations (29) deviendront
(z=−∞,z=+∞).
Ces dernières subsistant, aussi bien que les équations (29), pour des valeurs réelles quelconques de z, il en résulte que les fonctions sinz et cosz sont toujours développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de la variable qu’elles renferment. Comme cette proposition mérite d’être remarquée, je vais la démontrer ici directement.
La série
étant convergente pour toutes les valeurs réelles possibles de la variable x, restera convergente (en vertu du théorème I, corollaire I) pour des valeurs imaginaires quelconques de cette même variable. Si l’on multiplie la somme de cette série par la somme de la série semblable y
en ayant égard à la fois au théorème III du § I et à la formule (6) du Chapitre VIII (§ IV), on trouvera, pour toutes les valeurs possibles réelles ou imaginaires attribuées à x et à y,
Lorsque, dans l’équation qui précède, on remplace x par x−1 et y par y−1, on obtient la suivante
dans laquelle on pourra, si l’on veut, supposer réelles les variables x et y. Faisons, dans cette hypothèse,
ϖ(x)=1+x−11−x21.2−x3−11.2.3+….
L’équation (32) deviendra
ϖ(x)ϖ(y)=ϖ(x+y);
et l’on en conclura [voir le Chapitre VIII, § V, équation (12)]
ϖ(x)=Ax(cosbx+−1sinbx)
ou, ce qui revient au même,
(x=−∞,x=+∞),
les lettres A et b représentant deux constantes inconnues dont la première est nécessairement positive. On aura par suite
(x=−∞,x=+∞).
Pour déterminer les constantes inconnues A et b, il suffira d’observer :
1 que les formules (34) doivent subsister lorsqu’on y change x en −x, et que, pour remplir cette condition, il faut nécessairement supposer
Ax=A−x,
par conséquent
A=1;
2 que, si, après avoir divisé par x les deux membres de la seconde des formules (34), on fait converger la variable x vers la limite zéro, le premier membre convergera vers la limite 1, et le second membre, savoir
Axsinbxx=Axsinbxbx×b,
vers la limite b; d’où résulte l’équation
b=1.
Cela posé, les formules (33) et (34) deviendront respectivement
(x=−∞,x=+∞),
(x=−∞,x=+∞).
Si dans les deux dernières on remplace la variable x par la variable z, on retrouvera les formules (30).
Il est essentiel d’observer que l’équation (35), lorsqu’on y suppose x=zsinθ, fournit le développement de
cos(zsinθ)+−1sin(zsinθ)
suivant les puissances ascendantes de z. Si l’on multiplie ce développement par celui de
ezcosθ,
en ayant égard à la formule (31), qui subsiste pour toutes les valeurs réelles et imaginaires des variables qu’elle renferme, on obtiendra précisément l’équation (28).
Problème III. — Trouver la somme de la série
dans le cas où l’on attribue à la variable z une valeur comprise entre les limites
z=−1,z=+1.
Solution. — Si l’on prend à l’ordinaire la lettre l pour la caractéristique des logarithmes népériens, on aura
(1+2zcosθ+z2)12μ=e12μl(1+2zcosθ+z2),
et par suite l’équation (21) pourra être mise sous la forme
=e12μl(1+2zcosθ+z2)(cosμs+−1sinμs)
(z=−1,z=+1),
la valeur de s étant toujours donnée par la formule (18). Si dans l’équation précédente on développe les deux facteurs du second membre en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de μ, puis, que l’on effectue le produit des deux développements à l’aide de la formule (31), on trouvera
1+μ1z(cosθ+−1sinθ)+μ(μ−1)1.2z2(cos2θ+−1sin2θ)+…=1+μ1[12l(1+2zcosθ+z2)+s−1]+μ21.2[12l(1+2zcosθ+z2)+s−1]2+…
(z=−1,z=+1).
Enfin, si, après avoir retranché l’unité de chaque membre, puis divisé les deux membres par μ, on fait converger la quantité μ vers la limite zéro, on obtiendra l’équation
(z=−1,z=+1).
Corollaire I. — Si l’on égale, dans les deux membres de l’équation (37) : 1 les parties réelles ; 2 les coefficients de −1, et que l’on remette pour s sa valeur déterminée par la formule (18), on obtiendra les deux équations réelles
(z=−1,z=+1).
Corollaire II. — Si l’on suppose \theta=\frac\pi2 ou, ce qui revient au même,
cosθ=0,sinθ=1,
la seconde des équations (38) deviendra
La série qui forme le premier membre de cette dernière équation étant convergente, non seulement pour toute valeur numérique de z inférieure à l’unité, mais aussi lorsqu’on suppose z=1 (voir le Chapitre VI, § III, théorème III), il en résulte que l’équation subsistera dans cette dernière hypothèse ; et, comme on a d’ailleurs
arctang(1)=π4,
on en conclura
La formule (40) peut servir à calculer par approximation la valeur de π, c’est-à-dire le rapport de la circonférence au diamètre.
§ III. — Notations employées pour représenter quelques fonctions imaginaires auxquelles on est conduit par la sommation des séries convergentes. Propriétés de ces mêmes fonctions.
Considérons les six notations
Ax,sinx,cosx,Lx,arcsinx,arccosx.
Si l’on attribue à la variable x une valeur réelle, ces six notations représenteront, comme l’on sait, autant de fonctions réelles de x, qui, prises deux à deux, seront inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire données par des opérations inverses, pourvu toutefois que, A désignant un nombre, L exprime la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est A. Il reste à fixer le sens de ces mêmes notations, dans le cas où la variable x devient imaginaire. C’est ce que nous ferons ici, en commençant par les trois premières.
On a prouvé que, dans le cas où la variable x est supposée réelle, les trois fonctions représentées par
Ax,sinx,cosx
sont toujours développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de cette variable. On aura, en effet, dans cette hypothèse,
la caractéristique l désignant un logarithme népérien. De plus, comme (en vertu du théorème I, corollaire I, § II) les séries qu’on vient de rappeler restent convergentes pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de la variable x, on est convenu d’étendre les équations (1) à tous les cas possibles, et de les considérer comme pouvant servir à fixer, lors même que la variable devient imaginaire, le sens des trois notations
Ax,sinx,cosx
Observons maintenant que, si dans la première des équations (1) on fait
A=e,
e désignant la base des logarithmes népériens, on en tirera
puis, en écrivant successivement, au lieu de x, xlA,x−1,−x−1,
On aura par suite
la variable x pouvant toujours être ou réelle, ou imaginaire. De plus, l’équation (31) (§ II) donnera, quels que soient x et y,
Cela posé, il deviendra facile d’obtenir sous forme finie les valeurs de Ax,sinx et cosx correspondantes à des valeurs imaginaires de la variable x. En effet, si l’on suppose
α,β représentant des quantités réelles, on conclura des deux premières équations (4) jointes à l’équation (5)
et des deux dernières équations (4)
puis, en remettant pour x sa valeur α+β−1, et développant les seconds membres,
Ainsi, dans l’hypothèse admise, les trois notations
Ax,sinx,cosx
désignent respectivement les trois expressions imaginaires
Ax(cosβlA+−1sinβlA),
eβ+e−β2sinα+eβ−e−β2cosα−1,
eβ+e−β2cosα−eβ−e−β2sinα−1.
Dans la même hypothèse, si l’on fait
A=e,
l’équation (7) fournira pour la notation
ex
la valeur suivante :
eα(cosβ+−1sinβ).
Les valeurs des trois fonctions
Ax,sinx,cosx
se trouvant fixées par ce qui précède, dans le cas où la variable x devient imaginaire, nous avons encore à chercher quelles définitions on doit donner, dans le même cas, des fonctions inverses
ou plus généralement quel sens on doit alors attribuer aux notations
L((x)),arcsin((x)),arccos((x)).
Supposons toujours
α,β désignant deux quantités réelles qui peuvent être remplacées par le module ρ et l’arc réel θ. Toute expression imaginaire u+v−1 propre à vérifier l’équation
sera ce qu’on appelle un logarithme imaginaire de x pris dans le système dont la base est A. Comme l’équation (10) fournit, ainsi qu’on le verra ci-après, plusieurs valeurs de u+v−1, dans le cas même où β se réduit à zéro, il en résulte que toute expression, soit imaginaire, soit réelle, a plusieurs logarithmes imaginaires. Lorsque l’on voudra désigner indistinctement un quelconque de ces logarithmes (parmi lesquels on doit comprendre le logarithme réel, s’il y en a), on emploiera la caractéristique L ou l suivie de doubles parenthèses, en ayant soin d’énoncer dans le discours la base du système. Nous choisirons de préférence la caractéristique l, lorsqu’il s’agira de logarithmes népériens pris dans le système dont la base est e. En vertu de ces conventions, les divers logarithmes des quantités réelles ou expressions imaginaires
se trouveront respectivement désignés, dans le système dont la base est A, par
et, dans le système népérien dont la base est e, par
l((1)),l((−1)),l((α+β−1)),l((x)).
Cela posé, pour déterminer ces divers logarithmes, il suffira de résoudre les problèmes suivants.
Problème I. — Trouver les diverses valeurs réelles ou imaginaires de l’expression
l((1)).
Solution. — Soit u+v−1 l’une de ces valeurs, u,v désignant deux quantités réelles. On aura, d’après la définition même de l’expression l((1)),
ou, ce qui revient au même,
eu(cosv+−1sinv)=1.
On tirera de cette dernière équation
eu=1,
cosv+−1sinv=1
et, par suite,
u=0,
cosv=1,sinv=0,v=±2kπ,
k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités u et v étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de u+v−1 propres à vérifier l’équation (11) seront évidemment comprises dans la formule
u+v−1=±2kπ−1.
En d’autres termes, les diverses valeurs de l((1)) seront données par l’équation
Parmi ces valeurs une seule est réelle, savoir, celle qu’on obtient en posant k=0, et qui se réduit elle-même à zéro. C’est pour représenter cette valeur réelle qu’on emploie communément la notation simple
l(1)oul1.
Quant aux valeurs imaginaires de l((1)), elles sont évidemment en nombre infini.
Problème II. — Trouver les diverses valeurs de l’expression
l((−1)).
Solution. — Soit u+v−1 l’une de ces valeurs, u,v désignant deux quantités réelles. On aura, d’après la définition même de l’expression l((−1)),
ou, ce qui revient au même,
eu(cosv+−1sinv)=−1.
On tirera de cette dernière équation
eu=1,
cosv+−1sinv=−1
et, par suite,
u=0,
cosv=−1,sinv=0,v=±(2k+1)π,
k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités u,v étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de u+v−1 propres à vérifier l’équation (13) se trouveront évidemment comprises dans la formule
u+v−1=±(2k+1)π−1.
En d’autres termes, les diverses valeurs de l((−1)) seront données par l’équation
Par conséquent ces valeurs seront toutes imaginaires et en nombre infini.
Problème III. — Trouver les diverses valeurs de l’expression
l((α+β−1)).
Solution. — Soit u+v−1 l’une de ces valeurs. On aura, d’après la définition même de l’expression l((α+β−1)),
ou, ce qui revient au même,
eu(cosv+−1sinv)=ρ(cosθ+−1sinθ),
ρ désignant le module de α+β−1. On tirera de l’équation précédente
eu=ρ,
cosv+−1sinv=cosθ+−1sinθ
et, par suite,
u=l(ρ),
cosv=cosθ,sinv=sinθ,v=θ±2kπ,
k représentant un nombre entier quelconque. Les quantités u,v étant ainsi déterminées, les diverses valeurs de u+v−1 se trouveront comprises dans la formule
u+v−1=l(ρ)+θ−1±2kπ−1.
En d’autres termes, les diverses valeurs de
seront données par l’équation
Il est bon d’observer que dans cette dernière équation la valeur de ρ est complètement déterminée et égale à
α2+β2,
tandis que l’arc θ peut être l’un quelconque de ceux qui ont pour cosinus αα2+β2, et pour sinus βα2+β2.
Corollaire I. — Si l’on fait, pour plus de commodité,
il sera facile d’introduire dans la formule (16) l’arc ζ au lieu de l’arc θ. En effet, on pourra supposer
θ=ζ
si α est positif, et
θ=ζ+π
si α est négatif. On trouvera, dans la première hypothèse,
et, dans la seconde,
Si dans cette dernière équation on fait, en particulier,
α+β−1=−1c’est-à-direα=−1,β=0
et, par suite,
ρ=1,ζ=0,
on obtiendra la suivante
Il en résulte qu’on aura généralement, pour des valeurs négatives de α,
Supposons maintenant que dans les formules (18) et (21) on substitue à la place de ρ et de ζ leurs valeurs
(α2+β2)12etarctangβα.
On trouvera, pour les diverses valeurs de
1 Si α est positif,
2 Si α est négatif,
Corollaire II. — Si, dans les équations (22) et (23), on suppose β=0, elles donneront respectivement, pour des valeurs positives de α,
et, pour des valeurs négatives de α,
k devant toujours être un nombre entier. Il suit de ces dernières formules qu’une quantité réelle α a une infinité de logarithmes imaginaires, parmi lesquels se trouve un seul logarithme réel, dans le cas où α est positif. On obtient ce logarithme réel, désigné par la notation simple l(α) ou lα, en posant, dans l’équation (24), k=0.
Scolie I. — Parmi les diverses valeurs de l((1)), ainsi qu’on l’a déjà remarqué, il en est une égale à zéro, que l’on indique par la notation l(1) ou l1, en faisant usage de parenthèses simples, ou même les supprimant tout à fait. Si l’on substitue cette valeur particulière dans l’équation (22), on obtiendra une valeur correspondante de
que l’analogie nous porte à indiquer, à l’aide de parenthèses simples, par la notation
l(α+β−1).
C’est ce que nous ferons désormais. Par suite, on aura, en supposant α positif,
Si, au contraire, α devient négatif, −α étant alors positif, on trouvera
ou, ce qui revient au même,
En faisant usage des notations précédentes, on réduira les équations (22) et (23) à celles qui suivent
la première se rapportant à des valeurs positives de α, et la seconde à des valeurs négatives de la même quantité. En d’autres termes, suivant que la partie réelle d’une expression imaginaire représentée par x sera positive ou négative, on aura
ou bien
En résumant ce qu’on vient de dire, on voit que la notation
a une signification précise déterminée par l’équation (26), dans le cas seulement où la partie réelle de l’expression imaginaire représentée par x est positive, tandis que la notation
a, dans tous les cas possibles, une infinité de valeurs déterminées par l’une des équations (28) et (29).
Problème IV. — Trouver les diverses valeurs de l’expression
la caractéristique L indiquant un logarithme pris dans le système dont la base est A.
Solution. — Soit toujours u+v−1 l’une des valeurs de l’expresque l’on considère. On aura, d’après la définition même de cette expression,
ou, ce qui revient au même,
e(u+v−1)lA=α+β−1,
l étant la caractéristique relative aux logarithmes népériens. On en conclura
(u+v−1)lA=l((α+β−1))
et, par suite,
u+v−1=l((α+β−1))lA
ou, en d’autres termes,
Cette dernière équation subsiste dans le cas même où β s’évanouit, c’est-à-dire lorsque l’expression imaginaire α+β−1 se réduit à une quantité réelle.
Scolie. — Si l’on suppose la quantité α positive, à la valeur particulière de l((α+β−1)) représentée par l(α+β−1) correspondra une valeur particulière de L((α+β−1)), que l’analogie nous porte à désigner à l’aide de parenthèses simples par la notation
L(α+β−1).
Cela posé, on aura, pour des valeurs positives de α,
De plus, si dans l’équation (33) on substitue pour l((α+β−1)) sa valeur tirée successivement des formules (28) et (29), on trouvera, pour des valeurs positives de la quantité α,
et, pour des valeurs négatives de la même quantité,
En d’autres termes, suivant que la partie réelle d’une expression imaginaire représentée par x sera positive ou négative, on aura
ou bien
k désignant un nombre entier quelconque. On peut ajouter que des deux formules précédentes la première subsiste pour toutes les valeurs réelles positives x, et la seconde pour toutes les valeurs réelles négatives de la même variable.
Après avoir calculé les divers logarithmes de l’expression imaginaire
proposons-nous de trouver les arcs imaginaires dont le cosinus est égal à x. Si l’on désigne par
arccos((x))=u+v−1
l’un quelconque de ces arcs, on aura, pour déterminer u+v−1 l’équation
cos(u+v−1)=α+β−1
ou, ce qui revient au même, la suivante
laquelle se divise en deux autres, savoir
Àces dernières on peut substituer le système équivalent des deux formules
De plus, si l’on élimine v entre les formules (41), on en tirera successivement
α2cos2u−β2sin2u=1,
sin4u−(1−α2−β2)sin2u−β2=0;
puis, en observant que sin2u est nécessairement une quantité positive,
sin2u=1−α2−β22+(1−α2−β22)2+β2.
On aura, par suite,
cos2u=1+α2+β22−(1+α2+β22)2−α2=α21+α2+β22+(1+α2+β22)2−α2;
et, comme [en vertu de la première des équations (40)] cosu et α doivent être de même signe, on trouvera, en extrayant les racines carrées,
Cela posé, si l’on fait, pour plus de commodité,
on conclura des équations (41) et (42)
k désignant un nombre entier quelconque, et les deux lettres U,V devant être affectées du même signe ; en sorte qu’on aura définitivement
Parmi les diverses valeurs de arccos((x)) que fournit l’équation précédente, la plus simple est celle qu’on obtient en posant k=0 dans le premier terme du second membre, et prenant l’autre terme avec le signe +. Nous la désignerons à l’aide de parenthèses simples, et nous écrirons en conséquence
arccos(x)=U+V−1
ou même, en supprimant tout à fait les parenthèses,
Dans le cas particulier où, β étant nul, la quantité α reste comprise entre les limites −1,+1, la formule (46) se réduit, comme on devait s’y attendre, à l’équation identique
arccosα=arccosα.
D’autre part, si l’on observe que ±2kπ représente un quelconque des arcs qui ont l’unité pour cosinus, on reconnaîtra que l’équation (45) peut être mise sous la forme
Il est encore essentiel de remarquer que, dans le cas où l’on suppose β=0 et la valeur numérique de α supérieure à l’unité, l’expression
arccosα
obtient toujours une valeur imaginaire. Cette valeur sera donnée par l’équation
si α est positif, et par la suivante
si α devient négatif.
Considérons maintenant les arcs imaginaires dont le sinus est x=α+β−1. Si l’on désigne un quelconque de ces arcs par
arcsin((x))=u+v−1,
on trouvera, en ayant égard à la seconde des équations (9),
et l’on en conclura
Si, dans la formule précédente, on substitue les diverses valeurs de arccos((x)), dont l’une a été désignée par la notation arccos(x) ou arccosx on obtiendra les diverses valeurs de arcsin((x)), dont l’une
sera désignée par la notation arccos(x) ou arcsinx, et déterminée par l’équation
Àl’aide des principes que nous venons d’établir, il est aisé de reconnaître les propriétés les plus essentielles dont jouissent les fonctions de la variable imaginaire x représentées par les notations
Ax,cosx,sinx,Lx,arccosx,arcsinx.
Pour obtenir ces propriétés, il suffit d’étendre les formules que ces fonctions vérifient dans le cas où la variable x est réelle, au cas où la variable devient imaginaire. Cette extension s’effectue d’ordinaire sans difficulté pour chacune des trois fonctions
Ax,cosx,sinx.
Ainsi, par exemple, A,B,C,… désignant plusieurs nombres, on prouvera facilement que les équations
subsistent également pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires quelconques des variables x,y,z,…. Mais, si l’on considère des formules dans lesquelles entrent les fonctions inverses
on trouvera le plus souvent que ces formules, étendues au cas où les variables deviennent imaginaires, ne subsistent plus qu’avec des restrictions considérables, et pour certaines valeurs des variables dont il s’agit. Par exemple, si l’on fait
et, si l’on désigne par μ une quantité réelle quelconque, on reconnaîtra que la formule
subsiste seulement dans le cas où, α,α′,α″,… étant positifs, la somme
arctangβα+arctangβ′α′+arctangβ″α″+…
reste comprise entre les limites −π2,+π2; et la formule
dans le cas où, α étant positif, le produit
μarctangβα
reste compris entre les mêmes limites.
